Відносно компактна множина

У математиці відносно компактною підмножиною ${\displaystyle Y}$ топологічного простору ${\displaystyle X}$ називається підмножина, замикання якої є компактною множиною. Множина ${\displaystyle Y}$ із індукованою топологією також називається відносно компактним підпростором простору ${\displaystyle X}$. Іноді також використовується термін предкомпактна множина чи простір але ці терміни використовуються і в інших значеннях.

Приклади і властивості

• Оскільки замкнуті підмножини компактного простору є компактними, кожна підмножина компактного простору є відносно компактною.
• У випадку метричної топології або, загалом, коли послідовності можуть бути використані для перевірки на компактність, критерієм відносної компактності є те, що будь-яка послідовність у ${\displaystyle Y}$ має підпослідовність збіжну в ${\displaystyle X}$.
• Повний метричний простір є відносно компактним тоді і тільки тоді, коли він є цілком обмеженим.
• Підмножина у скінченновимірному евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} }$ просторі є відносно компактною тоді і тільки тоді, коли вона є обмеженою.
• У гаусдорфому просторі ${\displaystyle X}$ підмножина ${\displaystyle Y}$ є відносно компактною тоді і тільки тоді, коли вона міститься у деякій компактній підмножині простору.

В одну сторону доведення очевидне. Нехай тепер X — гаусдорфів простір і ${\displaystyle K}$ компактна множина у ${\displaystyle X}$ для якої ${\displaystyle Y\subset K}$. Оскільки в гаусдорфових просторах кожна компактна множина є замкнутою то ${\displaystyle K}$ є замкнутою підмножиною ${\displaystyle X}$. Оскільки ${\displaystyle K}$ є замкнутою множиною, що містить ${\displaystyle Y}$, то ${\displaystyle {\bar {Y}}\subset K}$. Оскільки кожна замкнута підмножина компактної множини є компактною, то ${\displaystyle {\bar {Y}}}$ є компактною.

• Окіл особливої точки нескінченного простору з точковмісною топологією може бути компактним, але не є відносно компактним, оскільки його замикання є рівним цілому простору, що не є компактним.
• Теорема Асколі — Арцела. Для того, щоб сім'я ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$  неперервних функцій визначених на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$ була відносно компактною в ${\displaystyle C[a,b]}$ необхідно і достатньо, щоб ця сім'я була рівномірно обмеженою та рівностепенево неперервною
• У комплексному аналізі велике значення має поняття нормальної сім'ї функцій, яка є відносно компактною множиною функцій щодо компактно-відкритої топології.

Див. також

• Компактний простір

Література

• Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука, 1968 (рос.)