Аналітичні функції

Аналіти́чна фу́нкція — функція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення.

У випадку функції комплексної змінної ця властивість збігається із властивістю голоморфності.

Означення

Означення 1

Однозначна функція ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ називається аналітичною в точці ${\displaystyle \displaystyle z_{0}}$, якщо вона розкладається в ряд Тейлора в околі з центром у цій точці, і цей розклад збігається до функції ${\displaystyle \displaystyle f}$ (в цьому околі). Тобто це функції, які можуть бути виражені степеневими рядами.

Дійсна функція ${\displaystyle \displaystyle f(x)}$ дійсного аргументу ${\displaystyle \displaystyle x}$ називається аналітичною функцією у точці ${\displaystyle \displaystyle x}$ числової осі, якщо можна вказати такий окіл ${\displaystyle \displaystyle (x_{0}-h,x_{0}+h)}$ точки ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$, в якому ${\displaystyle \displaystyle f(x)}$ визначена і може бути виражена формулою виду:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k}(x-x_{0})^{k}}}$

де ${\displaystyle \displaystyle a_{k}}$ — дійсні числа.

Можна показати, що ${\displaystyle \displaystyle a_{0}=f(x_{0})}$, ${\displaystyle \displaystyle a_{k}={1 \over {k!}}{f^{k}(x_{0})}}$, де ${\displaystyle \displaystyle k=1,2,3,4,\dots }$

(Дивись Тейлора ряд).

Зауваження

Функція, аналітична в кожній точці інтервалу ${\displaystyle \displaystyle (a,b)}$, називається аналітичною функцією на цьому інтервалі. Така функція необмежено диференційована на ${\displaystyle \displaystyle (a,b)}$, але обернене твердження взагалі не має сили, як показує хоч би приклад функції

${\displaystyle f(x)=10^{1 \over x^{2}}\ \ (-1<x<1)}$

${\displaystyle f^{k}(0)=\lim _{n\to 0}{f^{k}(x)}=0\qquad \ (k=1,2,3,4,\dots )}$

де

що

не є А. ф. у точці x = 0.

Аналогічно визначається дійсна аналітична функція кількох дійсних аргументів. Усі ці визначення без принципових ускладнень поширюються і на комплекснозначні функції.

Означення 2

Функцію ${\displaystyle \displaystyle f(z)}$ комплексного аргументу ${\displaystyle \displaystyle z=x+iy}$ називається аналітичною функцією від ${\displaystyle \displaystyle z}$ у точці ${\displaystyle \displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ комплексної числової площини, якщо ${\displaystyle \displaystyle f(z)}$ визначена в певному круговому околі ${\displaystyle \displaystyle (z-z_{0})<\rho }$ точки ${\displaystyle \displaystyle z_{0}}$ і може бути виражена в цьому околі формулою виду:

${\displaystyle \displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k}(z-z_{0})^{k}}}$

де ${\displaystyle \displaystyle a_{k}}$ — певні комплексні числа.

Можна показати, що

${\displaystyle \displaystyle a_{0}=f(z_{0})\ \qquad }$, ${\displaystyle \displaystyle a_{k}={1 \over {k!}}{f^{k}(z_{0})},\ \ (z=1,2,3,4,\dots )}$

(див. Тейлора ряд).

Означення 3

Функція, аналітична в кожній точці якоїсь ${\displaystyle G}$ комплексної числової площини, називається аналітичною в області ${\displaystyle \displaystyle G}$.

Зауваження

Виявляється, що аналітичність ${\displaystyle \displaystyle f(z)}$ в області ${\displaystyle \displaystyle G}$ є наслідком звичайної її диференційовності в ${\displaystyle \displaystyle G}$. Аналітична функція кількох комплексних аргументів визначають аналогічно. Аналітичні в області ${\displaystyle \displaystyle G}$ функції тісно пов'язані з гармонічними функціями в цій області, що часто зустрічаються при розв'язуванні так званих . Цим в основному пояснюється і важливе застосовне значення самих аналітичних функцій.

Розвиток теорії аналітичних функцій

У розвитку теорії аналітичних функцій важливу роль відіграли праці Леонарда Ейлера, Оґюстена-Луї Коші, Бернгард Рімана, Карла Вейєршраса.

В дореволюційній Росії істотні результати в застосуванні цієї теорії одержали Софія Василівна Ковалевська, Микола Єгорович Жуковський, С. О. Чаплигін, Г. В. Колосов. Після Жовтневої соціалістичної революції великих успіхів у розвитку теорії аналітичних функцій та їх застосуванні здобули наукові школи, очолювані академіком АН СРСР і УРСР М. О. Лаврентьєвим і професором Г. М. Голузіним. Розроблення проблематики теорії аналітичних функцій в СРСР тісно пов'язане з потребами народного господарства (авіабудівництва, будівництва гідротехнічних споруд та ін.). В УРСР над розробленням проблем теорії аналітичних функцій працюють члени-кореспонденти АН УРСР Наум Ахієзер і М. Г. Крейн, професори Б. Я. Левін, Володимир Олександрович Марченко, , В. А. Зморович, П. П. Фільчаков та ін.

Аналітична калібрувальна функція

Вираз, в якому вимірювану величину x елемента i представлено як функцію концентрації c або якоїсь певної величини q для одно- або багатокомпонентних систем, де взаємовпливом елементів можна знехтувати: x_i = F_i(c_i) або x_i = F_i (q_i).

Див. також

• Числова функція
• Алгебраїчні функції
• Трансцендентні функції
• Теорема Хартогса

Література

• Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
• Ахієзер М. І. Курс теорії функцій. К., 1933;
• Соколов Ю. Д Елементи теорії функцій комплексної змінної. К., 1954;
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Изд. 9. М., 1954,
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М — Л., 1950;
• Маркушевич А. И. Кратний курс теории аналитических функций. М., 1957;
• Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.—Л., 1951.

Посилання

• АНАЛІТИ́ЧНА ФУ́НКЦІЯ [ 21 квітня 2016 у Wayback Machine.] //ЕСУ