Непредикативність визначення в математиці та логіці, нестрого кажучи, означає, що осмисленість визначення передбачає наявність визначуваного об'єкта. Приклад: об'єкт визначається як такий елемент деякої множини, який задовольняє певному відношенню між ним і всіма елементами цієї множини (включно зі самим ). У деяких випадках непредикативне визначення може призвести до непорозумінь чи навіть суперечностей. Протилежне за змістом поняття — предикативність.
Для визначень формальною мовою «Математична енциклопедія» наводить строгий варіант:
Властивість (точніше, мовний вираз, що виражає цю властивість) називають непредикативною, якщо вона містить пов'язану змінну, в область зміни якої потрапляє визначуваний об'єкт. Властивість називають предикативною, якщо вона не містить таких пов'язаних змінних. Немає загальновизнаного точного визначення непредикативності, різні джерела дають подібні, але різні визначення. Наприклад, зустрічається таке: визначення об'єкта X непредикативне, якщо воно або посилається на сам X, або (найчастіше) на множину , що містить X; при цьому виглядає закінченою, хоча це визначення може вплинути на її склад. |
Приклади
Найвідоміший приклад непредикативної побудови — парадокс Рассела, в якому визначається сукупність усіх множин, що не містять самих себе. Парадокс полягає в тому, що визначена так множина внутрішньо суперечлива — вона одночасно і містить себе, і не містить. Наочний історичний варіант цього парадоксу — «парадокс цирульника»: визначення «житель села, який голить тих жителів цього села, які не голяться самі», є непредикативним, оскільки визначає жителя села, використовуючи його стосунки з усіма жителями села (а, отже, і з ним самим). Непредикативність виявляється і в інших парадоксах теорії множин.
До непредикативних формулювань часто відносять і парадокс всемогутності: «Чи може Бог створити камінь, який він не зможе підняти?». Тут використовується поняття «всемогутність», визначення якого внутрішньо суперечливе. Аналогічно влаштований «парадокс брехуна», в якому твердження заперечує саме себе.
У математиці існує, однак, чимала кількість часто використовуваних непредикативних визначень, які не створюють проблем і не мають простого предикативного варіанту. В класичному аналізі, наприклад, таким є визначення точної нижньої грані числової множини:
Точною (найбільшою) нижньою гранню підмножини впорядкованої множини називають найбільший елемент , який не перевищує всіх елементів множини . |
Інший приклад загальноприйнятого і цілком безпечного непредикативного визначення в аналізі — визначення максимального значення функції на заданому інтервалі, оскільки значення залежить від усіх інших, включно зі самим собою.
Непредикативні конструкції використовує доведення знаменитої теореми Геделя про неповноту: побудована в результаті «нерозв'язна формула» стверджує недоказовість самої себе.
Нарешті, в логіці та інформатиці існують рекурсивні визначення та рекурсивні алгоритми, в яких закладено непредикативність, тобто, вона є їхньою невід'ємною складовою.
Історія
Терміни «предикативний» і «непредикативний» були введено в статті Рассела (1907), хоча сенс терміна тоді був дещо іншим. Як небезпечне хибне коло непредикативні визначення засудив Анрі Пуанкаре (1905—1906, 1908), він вважав їх головним джерелом парадоксів у теорії множин. Рассел підтримав цю оцінку і в своїй монографії «Principia Mathematica» вжив заходів щодо недопущення непредикативності (теорія типів та «аксіома звідності»). Герман Вейль у своїй книзі «Das Kontinuum» виклав філософську позицію, яку часто називають «предикативізм».
Ернст Цермело 1908 року виступив із запереченнями проти надмірно радикального підходу і навів два приклади цілком нешкідливих непредикативних визначень, які часто використовують у аналізі. Герман Вейль спробував знайти предикативний аналог визначення найменшої верхньої грані, але успіху не досяг. Відтоді ніхто так і не зміг побудувати аналіз у повному обсязі на строго предикативній основі.
Примітки
- Математическая энциклопедия, 1982, с. 981.
- Клини С. К. Введение в метаматематику. — М. : Изд-во иностранной литературы, 1957. — С. 44—46.
- Философский энциклопедический словарь, 1983, с. 433.
- Клайн М., 1984, с. 241.
- Клайн М., 1984, с. 241—242.
- Клайн М., 1984, с. 242.
- Теорема Гёделя о неполноте. — М. : Наука, 1982. — 110 с. — ()
- Russell, B. (1907), On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types. Proc. London Math. Soc., s2-4 (1): 29-53, doi:10.1112/plms/s2-4.1.29.
- Willard V. Quine's commentary before Bertrand Russell's 1908 Mathematical logic as based on the theory of types
- Horsten, Leon. Philosophy of Mathematics (англ.). оригіналу за 11 березня 2018. Процитовано 15 ноября 2017.
{{}}
: Проігноровано невідомий параметр|description=
()
Література
- Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. — М., 1947.
- Гришин В. Н. Непредикативное определение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
- [en]. Математика. Утрата определённости. — М. : Мир, 1984. — 446 с.
- Непредикативное определение // Философский энциклопедический словарь. — М. : Советская энциклопедия, 1983. — 840 с.
- Френкель Α.- Α., Баρ-Хиллел И. Основания теории множеств. — М., 1966.
- Чёрч Α. Введение в математическую логику. — М., 1960.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Nepredikativnist viznachennya v matematici ta logici nestrogo kazhuchi oznachaye sho osmislenist viznachennya peredbachaye nayavnist viznachuvanogo ob yekta Priklad ob yekt x displaystyle x viznachayetsya yak takij element deyakoyi mnozhini yakij zadovolnyaye pevnomu vidnoshennyu mizh nim i vsima elementami ciyeyi mnozhini vklyuchno zi samim x displaystyle x U deyakih vipadkah nepredikativne viznachennya mozhe prizvesti do neporozumin chi navit superechnostej Protilezhne za zmistom ponyattya predikativnist Dlya viznachen formalnoyu movoyu Matematichna enciklopediya navodit strogij variant Vlastivist tochnishe movnij viraz sho virazhaye cyu vlastivist nazivayut nepredikativnoyu yaksho vona mistit pov yazanu zminnu v oblast zmini yakoyi potraplyaye viznachuvanij ob yekt Vlastivist nazivayut predikativnoyu yaksho vona ne mistit takih pov yazanih zminnih Nemaye zagalnoviznanogo tochnogo viznachennya nepredikativnosti rizni dzherela dayut podibni ale rizni viznachennya Napriklad zustrichayetsya take viznachennya ob yekta X nepredikativne yaksho vono abo posilayetsya na sam X abo najchastishe na mnozhinu M displaystyle M sho mistit X pri comu M displaystyle M viglyadaye zakinchenoyu hocha ce viznachennya mozhe vplinuti na yiyi sklad PrikladiNajvidomishij priklad nepredikativnoyi pobudovi paradoks Rassela v yakomu viznachayetsya sukupnist usih mnozhin sho ne mistyat samih sebe Paradoks polyagaye v tomu sho viznachena tak mnozhina vnutrishno superechliva vona odnochasno i mistit sebe i ne mistit Naochnij istorichnij variant cogo paradoksu paradoks cirulnika viznachennya zhitel sela yakij golit tih zhiteliv cogo sela yaki ne golyatsya sami ye nepredikativnim oskilki viznachaye zhitelya sela vikoristovuyuchi jogo stosunki z usima zhitelyami sela a otzhe i z nim samim Nepredikativnist viyavlyayetsya i v inshih paradoksah teoriyi mnozhin Do nepredikativnih formulyuvan chasto vidnosyat i paradoks vsemogutnosti Chi mozhe Bog stvoriti kamin yakij vin ne zmozhe pidnyati Tut vikoristovuyetsya ponyattya vsemogutnist viznachennya yakogo vnutrishno superechlive Analogichno vlashtovanij paradoks brehuna v yakomu tverdzhennya zaperechuye same sebe U matematici isnuye odnak chimala kilkist chasto vikoristovuvanih nepredikativnih viznachen yaki ne stvoryuyut problem i ne mayut prostogo predikativnogo variantu V klasichnomu analizi napriklad takim ye viznachennya tochnoyi nizhnoyi grani chislovoyi mnozhini Tochnoyu najbilshoyu nizhnoyu grannyu pidmnozhini X displaystyle X vporyadkovanoyi mnozhini M displaystyle M nazivayut najbilshij element M displaystyle M yakij ne perevishuye vsih elementiv mnozhini X displaystyle X Inshij priklad zagalnoprijnyatogo i cilkom bezpechnogo nepredikativnogo viznachennya v analizi viznachennya maksimalnogo znachennya funkciyi na zadanomu intervali oskilki znachennya zalezhit vid usih inshih vklyuchno zi samim soboyu Nepredikativni konstrukciyi vikoristovuye dovedennya znamenitoyi teoremi Gedelya pro nepovnotu pobudovana v rezultati nerozv yazna formula stverdzhuye nedokazovist samoyi sebe Nareshti v logici ta informatici isnuyut rekursivni viznachennya ta rekursivni algoritmi v yakih zakladeno nepredikativnist tobto vona ye yihnoyu nevid yemnoyu skladovoyu IstoriyaTermini predikativnij i nepredikativnij buli vvedeno v statti Rassela 1907 hocha sens termina todi buv desho inshim Yak nebezpechne hibne kolo nepredikativni viznachennya zasudiv Anri Puankare 1905 1906 1908 vin vvazhav yih golovnim dzherelom paradoksiv u teoriyi mnozhin Rassel pidtrimav cyu ocinku i v svoyij monografiyi Principia Mathematica vzhiv zahodiv shodo nedopushennya nepredikativnosti teoriya tipiv ta aksioma zvidnosti German Vejl u svoyij knizi Das Kontinuum viklav filosofsku poziciyu yaku chasto nazivayut predikativizm Ernst Cermelo 1908 roku vistupiv iz zaperechennyami proti nadmirno radikalnogo pidhodu i naviv dva prikladi cilkom neshkidlivih nepredikativnih viznachen yaki chasto vikoristovuyut u analizi German Vejl sprobuvav znajti predikativnij analog viznachennya najmenshoyi verhnoyi grani ale uspihu ne dosyag Vidtodi nihto tak i ne zmig pobuduvati analiz u povnomu obsyazi na strogo predikativnij osnovi PrimitkiMatematicheskaya enciklopediya 1982 s 981 Klini S K Vvedenie v metamatematiku M Izd vo inostrannoj literatury 1957 S 44 46 Filosofskij enciklopedicheskij slovar 1983 s 433 Klajn M 1984 s 241 Klajn M 1984 s 241 242 Klajn M 1984 s 242 Teorema Gyodelya o nepolnote M Nauka 1982 110 s Russell B 1907 On some difficulties in the theory of transfinite numbers and order types Proc London Math Soc s2 4 1 29 53 doi 10 1112 plms s2 4 1 29 Willard V Quine s commentary before Bertrand Russell s 1908 Mathematical logic as based on the theory of types Horsten Leon Philosophy of Mathematics angl originalu za 11 bereznya 2018 Procitovano 15 noyabrya 2017 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite web title Shablon Cite web cite web a Proignorovano nevidomij parametr description dovidka LiteraturaGilbert D Akkerman V Osnovy teoreticheskoj logiki M 1947 Grishin V N Nepredikativnoe opredelenie Matematicheskaya enciklopediya v 5 tomah M Sovetskaya Enciklopediya 1982 T 3 en Matematika Utrata opredelyonnosti M Mir 1984 446 s Nepredikativnoe opredelenie Filosofskij enciklopedicheskij slovar M Sovetskaya enciklopediya 1983 840 s Frenkel A A Bar Hillel I Osnovaniya teorii mnozhestv M 1966 Chyorch A Vvedenie v matematicheskuyu logiku M 1960