Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Теселя́ція (від лат. tessella — шматок глини, з якого випікали мозаїку), також паркет, паркетаж — мозаїка, складена з кількох абсолютно однакових форм, які прилягають одна до одної без проміжків і не перекривають одна одну.
| Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. |
| Ця стаття не містить . (квітень 2022) |
Парке́т — замощення площини багатокутниками без пробілів і перекриттів, в якому будь-які два багатокутники мають або спільну сторону, або тільки спільну вершину, або зовсім не мають спільних точок.
Прості геометричні теселяції можуть складатися тільки з трьох фігур: рівнобічних трикутників, квадратів і шестикутників.
Одне з перших вивчень теселяцій було зроблене у 1619 році Йоганном Кеплером, який описав правильні багатокутники на площині.
У 1891 році російський кристалограф Євграф Степанович Федоров довів, що кожна частина такої мозаїки з трансляційною симетрією побудована відповідно до однієї з 17 груп ізометрії. Таким чином, існує всього 17 можливих способів розміщення фігури для того, щоб заповнити ними всю поверхню. Всі вони були використані у гравюрах голландського художника Моріца Ешера.
Термінологія
Замощення, мозаїки, паркети, розбиття
Паркети інакше називають «замощенням», «мозаїками» (англ. tessellation, tiling), «розбиттям площини» (англ. partition), «паркетажами». Замощення тривимірного простору і просторів вищих розмірностей часто називають стільниками.
Паркети з областями (плитками) довільної форми іноді називають «картами».
Покриття та упаковки
Якщо об'єднання кількох фігур містить дану фігуру Ф, то кажуть, що ці фігури утворюють покриття фігури Ф. При цьому фігури, які покривають, можуть перекриватися, але вони покривають фігуру Ф без пробілів.
Упаковка — це розміщення всередині даної фігури декількох фігур, які не мають спільних точок, крім, можливо, граничних (тобто без перекриття).
Замощення — це розбиття фігури на частини. Замощення є одночасно покриттям і упаковкою.
Протоплитки
(Протоплитки) паркету (англ. prototiles, також прототипи) — це плитки (форми), що входять в паркет. Кожна плитка паркету конгруентна однією з протоплиток.
Так, єдина протоплитка п'ятикутного паркету — правильний шестикутник; протоплиткою правильного сферичного п'ятикутного паркету є пентагон; множина протоплиток ромботришестикутного паркету складається з рівностороннього трикутника, квадрата і шестикутника.
Паркет називається k-едричним, якщо множина його протоплиток (протомножина) складається з k плиток.
Плитки паркету також називають гранями, а сторони багатокутних плиток — ребрами, за аналогією з термінологією для багатогранників.
Конфігурація вершин і граней
Ромботришестикутний паркет складається з плиток трьох типів: рівносторонній трикутник, квадрат і шестикутник. Ці плитки розташовуються навколо кожної з вершин в такому порядку: трикутник, квадрат, шестикутник, квадрат. Такий порядок називається конфігурацією вершини паркету і записується в формі 3.4.6.4. У разі, якщо два і більше числа в цій послідовності йдуть підряд, використовується скорочений запис. При цьому записи, що відрізняються лише циклічною перестановкою чисел або зміною порядку запису на протилежний (наприклад, 3.3.4.3.4 і 4.3.3.4.3), позначають одну і ту ж конфігурацію вершини; в той же час запис 3.4.4.6 не є еквівалентним запису 3.4.6.4. У неоднорідних паркетах можуть зустрічатися вершини з різними конфігураціями.
(Конфігурацією граней) називається послідовність степенів вершин цієї межі при обході її в одному напрямку. Конфігурація граней записується послідовністю чисел в квадратних дужках або з префіксом V.
Якщо усі вершини деякого паркету мають одну і ту ж конфігурацію, то всі грані [ [Двоїстий багатогранник | двоїстого]] йому паркету мають одну і ту ж конфігурацію. Наприклад, конфігурації граней паркету, двоїстого ромботришестикутному паркету 3.4.6.4, записуються як V3.4.6.4.
Види паркету
У багатьох випадках застосовується умова еквівалентності кожної з протоплиток паркету топологічному диску; іншими словами, плитка не повинна складатися з декількох частин (квазіполіміно), містити «отвори», бути нескінченною смугою тощо.
Правильні паркети
Паркети, складені з однакових правильних багатокутників, називають правильними паркетами (англ. regular tilings). Існує три правильних заміщення площини: трикутний паркет, квадратний паркет і шестикутний паркет.
| Правильні паркети | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
|
Правильні паркети називають також Платоновими паркетами .
Поліформи, що розташовуються на правильних паркетах, називаються відповідно поліамондами, полімін і полігексами.
Для позначення паркету з правильних p — кутників, розташованих по q навколо кожної вершини, застосовується символ Шлефлі { p , q }. Символи Шлефлі трьох правильних мозаїк — {3,6}, {4,4} і {6,3}.
Напівправильні паркети
Паркети, що складаються з правильних багатокутників двох або більше типів, такі, у яких для всяких двох вершин паркету існує перетворення симетрії (самопоєднання), що переводить одну з них в іншу, називаються напівправильними паркетами, або архімедовим паркетами.
Існує 8 напівправильних паркетів. Один з восьми напівправильних паркетів кирпатий тришестикутний паркет є хіральним, тобто не збігається з власним дзеркальним відображенням.
| Напівправильні паркети (Архімедові паркети) | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Однорідні паркети
Існує два визначення, що призводять до одного і того ж набору з 8 напівправильних паркетів на площині.
Перше, «локальне» визначення, полягає в тому, що вершинні конфігурації всіх вершин повинні збігатися. Іншими словами, послідовності граней навколо будь-яких двох вершин паркету повинні бути однаковими: одні і ті ж багатокутники повинні йти в одному і тому ж (або в протилежному) порядку.
Друге, «глобальне» визначення, вимагає, щоб для будь-яких двох вершин паркету існувало перетворення симетрії (самопоєднання паркету), що переводить одну з них в іншу.
Грюнбаум і Шепард поділяють терміни «архімедів паркет» і «однорідний паркет»: до першої групи відносяться паркети, відповідні «локального» визначення, а до другої — «глобального». Хоча на евклідовій площині дві ці множини збігаються, в інших просторах існують архимедові паркети, що не є однорідними.
У математичній літературі значення термінів «архімедів паркет», «напівправильний паркет» і «однорідний паркет» варіруюються.
Квазиправильні паркети
«Квазіправильний паркет» (або багатогранник) — однорідний паркет (або багатогранник), що складається з граней двох видів, які чергуються навколо кожної вершини; іншими словами, кожна грань оточена гранями іншого типу.
На евклідовій площині існує лише один квазіправильний паркет — тришестикутний паркет з вершинною конфігурацією 3.6.3.6. На сфері існує два квазіправильних паркетів сферичних багатогранника — кубооктаедр і ікосододекаедр.
На площині Лобачевського існує безліч квазіправильних паркетів виду 
, де 
.
Неоднорідні паркети
Існує безліч неоднорідних паркетів, що складаються з правильних багатокутників.
| Неоднорідні паркети з правильних багатокутників | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Періодичні неоднорідні паркети можна класифікувати за кількістю орбіт вершин, ребер і граней. Якщо число орбіт вершин дорівнює «n», паркет називається «n»-однорідним або «n»-ізогональним; якщо число орбіт ребер дорівнює «n» — «n»-ізотоксальним. Вищенаведені приклади являють собою чотири з двадцяти 2-однорідних паркетів.
Неперіодичні паркети і аперіодичні множини плиток
Розбиття T називається періодичним, якщо серед симетрій «T» існують два паралельні перенесення в непаралельних напрямках. У цьому випадку мозаїку можна вважати складаною з повторень невеликого фрагмента, викладеного із елементів у вузлах деякої решітки. Множина прототипів (протомножин) «P» називається «аперіодичною», якщо вона реалізується в якихось розбиттях площин, але жодне з них не є періодичним.
Перший приклад аперіодичної множини плиток був знайдений Робертом Берджером в 1966 році і включав в себе 20426 плиток Вана. Плитки Вана являють собою квадрати одного розміру з пофарбованими сторонами; при побудові мозаїки дозволено поєднувати плитки лише одноколірними сторонами і заборонено перевертати плитки.
Пізніше були знайдені аперіодичні протомножини з меншим числом плиток. Роджер Пенроуз виявив аперіодичні протомножини, що складаються з двох плиток.
У 2010 році Джошуа Соколар і Джоан Тейлор запропонували аперіодичну множину, що складається з єдиної плитки, яка являє собою правильний шестикутник з нанесеною розміткою у вигляді кольорових ліній і з додатковими обмеженнями, пов'язаними з взаємним розташуванням «'не'» торкаючись один одного. Існує модифікація, яка не використовує подібних обмежень, але використовує незв'язну плитку, тобто, плитку, що не є топологічним диском. Існування єдиної зв'язковий плитки без додаткової розмітки та обмежень, здатної покрити площину тільки аперіодично, залишається відкритою проблемою.
Сферичні багаторанники
«'Сферичний паркет'» або «'сферичний багатогранник'» — розбиття сфери на сферичні багатокутники, великих кіл.
Кожному з 5 платонових тіл відповідає правильний сферичний паркет. Формально, нехай «S» — сфера з центром «O», що збігається з центром багатогранника «P». Проведені з «O» промені, що проходять через вершини багатогранника «P», перетинають сферу «S» в точках, які є вершинами відповідного сферичного паркету; ребра багатогранника «P» відповідають дугам великих кіл на «S».
Крім сферичних аналогів п'яти «платонових тіл», існує два сімейства правильних сферичних багатогранників, які не мають еквівалентів серед багатогранників з плоскими гранями: осоедри — багатогранники з двома вершинами, які перебувають на полюсах сфери, межі яких є конгруентними двокутниками, і діедри — двоїсті осоедрам двогранники, вершини яких знаходяться на екваторі сфери.
Гіперболічні паркети
Аксіома паралельності Евкліда (точніше, одне з еквівалентних їй тверджень) свідчить:
|
У геометрії Лобачевського, замість неї приймається така аксіома:
|
Для зображення гіперболічної площини застосовується одна з існуючих моделей — модель Бельтрамі — Кляйна, конформний диск Пуанкаре, модель Пуанкаре на півплощині.
На евклідовій площині існує лише три правильні паркети і 8 напівправильних. На гіперболічній площині існує нескінченна множина навіть правильних паркетів, включаючи паркети з сімома і більше рівносторонніми трикутниками навколо вершини, п'ятьма і більше квадратами, чотирма і більше правильними п'ятикутниками (паркет з трьома п'ятикутниками навколо вершини є сферичним додекаедром), чотирма і більше правильними шестикутниками і трьома і більш рівними правильними багатокутниками з кількістю сторін більше 6.
Задачі на паркеті
Велика кількість задач і головоломок пов'язані з розбиттям прямокутників (або інших зв'язаних фігур) на плитки з певної заданої множини протоплиток. Самі протоплитки при цьому можуть являти собою зв'язкові об'єднання осередків правильного паркету.
Зокрема, існує клас задач на заміщення прямокутників m × n плитками доміно таким чином, щоб в отриманому розбитті не було прямої лінії, що перетинає прямокутник від краю до краю і не перетинає жодної плитки доміно; такі прямокутники називаються «міцними».
В інших задачах встановлюється додаткове обмеження на кількість плиток кожного виду, які використовуються в замощенні. У задачах, пов'язаних з пентаміно, потрібно покрити 12 фігурами задану підмножину квадратного паркету, що складається з 60 клітин; при цьому кожна плитка повинна бути використана тільки один раз.
Перерахування паркету
Задача визначення кількості паркетів, що складаються з опуклих багатокутників заданого типу, вирішена лише частково:
- Будь-яким трикутником або чотирикутником можна замістити площину.
- Відомо 15 п'ятикутників, здатних замістити площину; невідомо, чи є цей перелік повним. Проблема перерахування п'ятикутних паркетів має багату історію.
- Відомо 3 типи шестикутників, здатних замістити площину.
- Неможливо замістити площину однаковими опуклими багатокутниками з числом сторін, більшим або рівним семи.
Див. також
Стільник (геометрія)Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Правильні паркети
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teselya ciya vid lat tessella shmatok glini z yakogo vipikali mozayiku takozh parket parketazh mozayika skladena z kilkoh absolyutno odnakovih form yaki prilyagayut odna do odnoyi bez promizhkiv i ne perekrivayut odna odnu rozpis porcelyani KitajCya stattya mistit pravopisni leksichni gramatichni stilistichni abo inshi movni pomilki yaki treba vipraviti Vi mozhete dopomogti vdoskonaliti cyu stattyu pogodivshi yiyi iz chinnimi movnimi standartami Cya stattya ne mistit posilan na dzherela Vi mozhete dopomogti polipshiti cyu stattyu dodavshi posilannya na nadijni avtoritetni dzherela Material bez dzherel mozhe buti piddano sumnivu ta vilucheno kviten 2022 Parke t zamoshennya ploshini bagatokutnikami bez probiliv i perekrittiv v yakomu bud yaki dva bagatokutniki mayut abo spilnu storonu abo tilki spilnu vershinu abo zovsim ne mayut spilnih tochok Prosti geometrichni teselyaciyi mozhut skladatisya tilki z troh figur rivnobichnih trikutnikiv kvadrativ i shestikutnikiv Odne z pershih vivchen teselyacij bulo zroblene u 1619 roci Jogannom Keplerom yakij opisav pravilni bagatokutniki na ploshini U 1891 roci rosijskij kristalograf Yevgraf Stepanovich Fedorov doviv sho kozhna chastina takoyi mozayiki z translyacijnoyu simetriyeyu pobudovana vidpovidno do odniyeyi z 17 grup izometriyi Takim chinom isnuye vsogo 17 mozhlivih sposobiv rozmishennya figuri dlya togo shob zapovniti nimi vsyu poverhnyu Vsi voni buli vikoristani u gravyurah gollandskogo hudozhnika Morica Eshera TerminologiyaZamoshennya mozayiki parketi rozbittya Parketi inakshe nazivayut zamoshennyam mozayikami angl tessellation tiling rozbittyam ploshini angl partition parketazhami Zamoshennya trivimirnogo prostoru i prostoriv vishih rozmirnostej chasto nazivayut stilnikami Parketi z oblastyami plitkami dovilnoyi formi inodi nazivayut kartami Pokrittya ta upakovki Yaksho ob yednannya kilkoh figur mistit danu figuru F to kazhut sho ci figuri utvoryuyut pokrittya figuri F Pri comu figuri yaki pokrivayut mozhut perekrivatisya ale voni pokrivayut figuru F bez probiliv Upakovka ce rozmishennya vseredini danoyi figuri dekilkoh figur yaki ne mayut spilnih tochok krim mozhlivo granichnih tobto bez perekrittya Zamoshennya ce rozbittya figuri na chastini Zamoshennya ye odnochasno pokrittyam i upakovkoyu Protoplitki Protoplitki parketu angl prototiles takozh prototipi ce plitki formi sho vhodyat v parket Kozhna plitka parketu kongruentna odniyeyu z protoplitok Tak yedina protoplitka p yatikutnogo parketu pravilnij shestikutnik protoplitkoyu pravilnogo sferichnogo p yatikutnogo parketu ye pentagon mnozhina protoplitok rombotrishestikutnogo parketu skladayetsya z rivnostoronnogo trikutnika kvadrata i shestikutnika Parket nazivayetsya k edrichnim yaksho mnozhina jogo protoplitok protomnozhina skladayetsya z k plitok Plitki parketu takozh nazivayut granyami a storoni bagatokutnih plitok rebrami za analogiyeyu z terminologiyeyu dlya bagatogrannikiv Konfiguraciya vershin i granej Rombotrishestikutnij parket skladayetsya z plitok troh tipiv rivnostoronnij trikutnik kvadrat i shestikutnik Ci plitki roztashovuyutsya navkolo kozhnoyi z vershin v takomu poryadku trikutnik kvadrat shestikutnik kvadrat Takij poryadok nazivayetsya konfiguraciyeyu vershini parketu i zapisuyetsya v formi 3 4 6 4 U razi yaksho dva i bilshe chisla v cij poslidovnosti jdut pidryad vikoristovuyetsya skorochenij zapis Pri comu zapisi sho vidriznyayutsya lishe ciklichnoyu perestanovkoyu chisel abo zminoyu poryadku zapisu na protilezhnij napriklad 3 3 4 3 4 i 4 3 3 4 3 poznachayut odnu i tu zh konfiguraciyu vershini v toj zhe chas zapis 3 4 4 6 ne ye ekvivalentnim zapisu 3 4 6 4 U neodnoridnih parketah mozhut zustrichatisya vershini z riznimi konfiguraciyami Konfiguraciyeyu granej nazivayetsya poslidovnist stepeniv vershin ciyeyi mezhi pri obhodi yiyi v odnomu napryamku Konfiguraciya granej zapisuyetsya poslidovnistyu chisel v kvadratnih duzhkah abo z prefiksom V Yaksho usi vershini deyakogo parketu mayut odnu i tu zh konfiguraciyu to vsi grani Dvoyistij bagatogrannik dvoyistogo jomu parketu mayut odnu i tu zh konfiguraciyu Napriklad konfiguraciyi granej parketu dvoyistogo rombotrishestikutnomu parketu 3 4 6 4 zapisuyutsya yak V3 4 6 4 Vidi parketu15 vidomih stanom na 2015 rik p yatikutnih parketiv U bagatoh vipadkah zastosovuyetsya umova ekvivalentnosti kozhnoyi z protoplitok parketu topologichnomu disku inshimi slovami plitka ne povinna skladatisya z dekilkoh chastin kvazipolimino mistiti otvori buti neskinchennoyu smugoyu tosho Pravilni parketi Parketi skladeni z odnakovih pravilnih bagatokutnikiv nazivayut pravilnimi parketami angl regular tilings Isnuye tri pravilnih zamishennya ploshini trikutnij parket kvadratnij parket i shestikutnij parket Pravilni parketiTrikutnij parket 36Trikutnij parket 36 Kvadratnij parket 44Kvadratnij parket 44 Shestikutnij parket 63Shestikutnij parket 63 Pravilni parketi nazivayut takozh Platonovimi parketami Poliformi sho roztashovuyutsya na pravilnih parketah nazivayutsya vidpovidno poliamondami polimin i poligeksami Dlya poznachennya parketu z pravilnih p kutnikiv roztashovanih po q navkolo kozhnoyi vershini zastosovuyetsya simvol Shlefli p q Simvoli Shlefli troh pravilnih mozayik 3 6 4 4 i 6 3 Napivpravilni parketi Parketi sho skladayutsya z pravilnih bagatokutnikiv dvoh abo bilshe tipiv taki u yakih dlya vsyakih dvoh vershin parketu isnuye peretvorennya simetriyi samopoyednannya sho perevodit odnu z nih v inshu nazivayutsya napivpravilnimi parketami abo arhimedovim parketami Isnuye 8 napivpravilnih parketiv Odin z vosmi napivpravilnih parketiv kirpatij trishestikutnij parket ye hiralnim tobto ne zbigayetsya z vlasnim dzerkalnim vidobrazhennyam Napivpravilni parketi Arhimedovi parketi Usichenij kvadratnij parket 4 8 8Usichenij kvadratnij parket 4 8 8 Kirpatij kvadratnij parket 3 3 4 3 4Kirpatij kvadratnij parket 3 3 4 3 4 Trishestikutnij parket 3 6 3 6Trishestikutnij parket 3 6 3 6 Usichenij shestikutnij parket 3 12 12Usichenij shestikutnij parket 3 12 12 Rombotrishestikutnij parket 3 4 6 4Rombotrishestikutnij parket 3 4 6 4 Rombousichenij trishestikutnij parket 4 6 12Rombousichenij trishestikutnij parket 4 6 12 Izokirpatij trikutnij parket 3 3 3 4 4Izokirpatij trikutnij parket 3 3 3 4 4 Kirpatij trishestikutnij parket odna z dvoh dzerkalnih kopij 3 3 3 3 6Kirpatij trishestikutnij parket odna z dvoh dzerkalnih kopij 3 3 3 3 6 Odnoridni parketi Isnuye dva viznachennya sho prizvodyat do odnogo i togo zh naboru z 8 napivpravilnih parketiv na ploshini Pershe lokalne viznachennya polyagaye v tomu sho vershinni konfiguraciyi vsih vershin povinni zbigatisya Inshimi slovami poslidovnosti granej navkolo bud yakih dvoh vershin parketu povinni buti odnakovimi odni i ti zh bagatokutniki povinni jti v odnomu i tomu zh abo v protilezhnomu poryadku Druge globalne viznachennya vimagaye shob dlya bud yakih dvoh vershin parketu isnuvalo peretvorennya simetriyi samopoyednannya parketu sho perevodit odnu z nih v inshu Gryunbaum i Shepard podilyayut termini arhimediv parket i odnoridnij parket do pershoyi grupi vidnosyatsya parketi vidpovidni lokalnogo viznachennya a do drugoyi globalnogo Hocha na evklidovij ploshini dvi ci mnozhini zbigayutsya v inshih prostorah isnuyut arhimedovi parketi sho ne ye odnoridnimi U matematichnij literaturi znachennya terminiv arhimediv parket napivpravilnij parket i odnoridnij parket variruyuyutsya Kvazipravilni parketi Div takozh Kvazipravilnij parket abo bagatogrannik odnoridnij parket abo bagatogrannik sho skladayetsya z granej dvoh vidiv yaki cherguyutsya navkolo kozhnoyi vershini inshimi slovami kozhna gran otochena granyami inshogo tipu Na evklidovij ploshini isnuye lishe odin kvazipravilnij parket trishestikutnij parket z vershinnoyu konfiguraciyeyu 3 6 3 6 Na sferi isnuye dva kvazipravilnih parketiv sferichnih bagatogrannika kubooktaedr i ikosododekaedr Na ploshini Lobachevskogo isnuye bezlich kvazipravilnih parketiv vidu p q p q displaystyle p q p q de 1p 1q lt 12 displaystyle frac 1 p frac 1 q lt frac 1 2 Neodnoridni parketi Isnuye bezlich neodnoridnih parketiv sho skladayutsya z pravilnih bagatokutnikiv Neodnoridni parketi z pravilnih bagatokutnikiv32 62 3632 62 36 32 62 3 6 3 632 62 3 6 3 6 32 4 12 3632 4 12 36 3 42 6 3 6 3 63 42 6 3 6 3 6 Periodichni neodnoridni parketi mozhna klasifikuvati za kilkistyu orbit vershin reber i granej Yaksho chislo orbit vershin dorivnyuye n parket nazivayetsya n odnoridnim abo n izogonalnim yaksho chislo orbit reber dorivnyuye n n izotoksalnim Vishenavedeni prikladi yavlyayut soboyu chotiri z dvadcyati 2 odnoridnih parketiv Neperiodichni parketi i aperiodichni mnozhini plitok Neperiodichna mozayika P3 vpershe opublikovana R Penrouzom u 1978 rociRombi Penrouza z vistupami i zapadinami sho zabezpechuyut nemozhlivist periodichnogo pokrittya bez vikoristannya kolorovih plitok i linijDvovimirna nerozbirna plitka Sokolara TejlorDiv takozh Aperiodichna mozayika Mozayika Penrouza ta en List of aperiodic sets of tiles Rozbittya T nazivayetsya periodichnim yaksho sered simetrij T isnuyut dva paralelni perenesennya v neparalelnih napryamkah U comu vipadku mozayiku mozhna vvazhati skladanoyu z povtoren nevelikogo fragmenta vikladenogo iz elementiv u vuzlah deyakoyi reshitki Mnozhina prototipiv protomnozhin P nazivayetsya aperiodichnoyu yaksho vona realizuyetsya v yakihos rozbittyah ploshin ale zhodne z nih ne ye periodichnim Pershij priklad aperiodichnoyi mnozhini plitok buv znajdenij Robertom Berdzherom v 1966 roci i vklyuchav v sebe 20426 plitok Vana Plitki Vana yavlyayut soboyu kvadrati odnogo rozmiru z pofarbovanimi storonami pri pobudovi mozayiki dozvoleno poyednuvati plitki lishe odnokolirnimi storonami i zaboroneno perevertati plitki Piznishe buli znajdeni aperiodichni protomnozhini z menshim chislom plitok Rodzher Penrouz viyaviv aperiodichni protomnozhini sho skladayutsya z dvoh plitok U 2010 roci Dzhoshua Sokolar i Dzhoan Tejlor zaproponuvali aperiodichnu mnozhinu sho skladayetsya z yedinoyi plitki yaka yavlyaye soboyu pravilnij shestikutnik z nanesenoyu rozmitkoyu u viglyadi kolorovih linij i z dodatkovimi obmezhennyami pov yazanimi z vzayemnim roztashuvannyam ne torkayuchis odin odnogo Isnuye modifikaciya yaka ne vikoristovuye podibnih obmezhen ale vikoristovuye nezv yaznu plitku tobto plitku sho ne ye topologichnim diskom Isnuvannya yedinoyi zv yazkovij plitki bez dodatkovoyi rozmitki ta obmezhen zdatnoyi pokriti ploshinu tilki aperiodichno zalishayetsya vidkritoyu problemoyu Sferichni bagatoranniki Sferichnij parket abo sferichnij bagatogrannik rozbittya sferi na sferichni bagatokutniki velikih kil Kozhnomu z 5 platonovih til vidpovidaye pravilnij sferichnij parket Formalno nehaj S sfera z centrom O sho zbigayetsya z centrom bagatogrannika P Provedeni z O promeni sho prohodyat cherez vershini bagatogrannika P peretinayut sferu S v tochkah yaki ye vershinami vidpovidnogo sferichnogo parketu rebra bagatogrannika P vidpovidayut dugam velikih kil na S Krim sferichnih analogiv p yati platonovih til isnuye dva simejstva pravilnih sferichnih bagatogrannikiv yaki ne mayut ekvivalentiv sered bagatogrannikiv z ploskimi granyami osoedri bagatogranniki z dvoma vershinami yaki perebuvayut na polyusah sferi mezhi yakih ye kongruentnimi dvokutnikami i diedri dvoyisti osoedram dvogranniki vershini yakih znahodyatsya na ekvatori sferi Zirchastij semikutnij parket v modeli Puankare na verhnij pivploshini Chorni liniyi utvoryuyut pravilnij semikutnij parket poryadku 3 parket v kozhnij vershini yakogo shodyatsya tri odnakovih pravilnih semikutnika Pravilnij semikutnij parket poryadku 3 v modeli Puankare na diskuGiperbolichni parketi Aksioma paralelnosti Evklida tochnishe odne z ekvivalentnih yij tverdzhen svidchit Cherez tochku sho ne lezhit na danij pryamij prohodit ne bilshe odniyeyi pryamoyi sho lezhit z danoyu pryamoyu v odnij ploshini i ne peretinaye yiyi U geometriyi Lobachevskogo zamist neyi prijmayetsya taka aksioma Cherez tochku sho ne lezhit na danij pryamij prohodyat prinajmni dvi pryami sho lezhat z danoyu pryamoyu v odnij ploshini i ne peretinayut yiyi Dlya zobrazhennya giperbolichnoyi ploshini zastosovuyetsya odna z isnuyuchih modelej model Beltrami Klyajna konformnij disk Puankare model Puankare na pivploshini Na evklidovij ploshini isnuye lishe tri pravilni parketi i 8 napivpravilnih Na giperbolichnij ploshini isnuye neskinchenna mnozhina navit pravilnih parketiv vklyuchayuchi parketi z simoma i bilshe rivnostoronnimi trikutnikami navkolo vershini p yatma i bilshe kvadratami chotirma i bilshe pravilnimi p yatikutnikami parket z troma p yatikutnikami navkolo vershini ye sferichnim dodekaedrom chotirma i bilshe pravilnimi shestikutnikami i troma i bilsh rivnimi pravilnimi bagatokutnikami z kilkistyu storin bilshe 6 Zadachi na parketiVelika kilkist zadach i golovolomok pov yazani z rozbittyam pryamokutnikiv abo inshih zv yazanih figur na plitki z pevnoyi zadanoyi mnozhini protoplitok Sami protoplitki pri comu mozhut yavlyati soboyu zv yazkovi ob yednannya oseredkiv pravilnogo parketu Zokrema isnuye klas zadach na zamishennya pryamokutnikiv m n plitkami domino takim chinom shob v otrimanomu rozbitti ne bulo pryamoyi liniyi sho peretinaye pryamokutnik vid krayu do krayu i ne peretinaye zhodnoyi plitki domino taki pryamokutniki nazivayutsya micnimi V inshih zadachah vstanovlyuyetsya dodatkove obmezhennya na kilkist plitok kozhnogo vidu yaki vikoristovuyutsya v zamoshenni U zadachah pov yazanih z pentamino potribno pokriti 12 figurami zadanu pidmnozhinu kvadratnogo parketu sho skladayetsya z 60 klitin pri comu kozhna plitka povinna buti vikoristana tilki odin raz Pererahuvannya parketu Zadacha viznachennya kilkosti parketiv sho skladayutsya z opuklih bagatokutnikiv zadanogo tipu virishena lishe chastkovo Bud yakim trikutnikom abo chotirikutnikom mozhna zamistiti ploshinu Vidomo 15 p yatikutnikiv zdatnih zamistiti ploshinu nevidomo chi ye cej perelik povnim Problema pererahuvannya p yatikutnih parketiv maye bagatu istoriyu Vidomo 3 tipi shestikutnikiv zdatnih zamistiti ploshinu Nemozhlivo zamistiti ploshinu odnakovimi opuklimi bagatokutnikami z chislom storin bilshim abo rivnim semi Div takozhVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Pravilni parketiStilnik geometriya Diagrama Voronogo Triangulyaciya Delone Mozayika Penrouza Pifagorova mozayika Problema chotiroh farb Stereografichna proyekciya Mardzhori Rajs