Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

Задача однієї плитки англ einstein problem геометрична проблема яка ставила питання про існування однієї en що утворювал

Задача однієї плитки

Задача однієї плитки

Задача однієї плитки (англ. einstein problem) — геометрична проблема, яка ставила питання про існування однієї [en], що утворювала б [en], тобто про існування фігури, копіями якої можна замостити простір, але тільки неперіодичних способом.

image
Плитка «спектр», що аперіодично замощує площину, була знайдена у 2023 році
image
У 2022 році Дейвідом Смітом була знайдена фігура «капелюх», що разом зі своїм дзеркальним відображенням, аперіодично замощує площину

В англомовних джерелах такі фігури називають «einsteins» — від гри слів ein Stein, що німецькою означає «один камінь». Так само записується прізвище фізика Альберта Ейнштейна.

Декілька варіантів цієї проблеми, залежно від конкретного визначення неперіодичності та які множини можна вважати плитками і як їх можна з'єднувати, було розв'язано у 1990-х. У 2023 році було розв'язано найбільш строге формулювання цієї проблеми.

Задачу однієї плитки можна розглядати як природне продовження другої частини [en], в якій ставиться питання про багатогранник, копіями якого можна заповнити тривимірний евклідів простір, причому ніяке заповнення простору копіями цього багатогранника не повинно бути ізоедральним. Такі [en] знайшов [en] у 1928 році, але ці тіла заповнюють простір періодично.

Запропонований розв'язок

image
Плитка Соколара — Тейлор — запропонований розв'язок задачі однієї плитки.

У 1988 році Петер Шмітт виявив неперіодичну протоплитку для тривимірного евклідового простору. Хоча ніяке заповнення цим тілом не допускає паралельного перенесення, деякі заповнення мають [en]. Операція гвинтової симетрії є композицією паралельного перенесення і повороту на кут, несумірний з π, так що ніяке число повторень цих операцій не призведе до простого паралельного перенесення. Цю конструкцію пізніше використали Джон Конвей і для побудови опуклої неперіодичної плитки — (плитки Шмітта — Конвея — Данцера). Наявність гвинтової симетрії стала наслідком вимоги неперіодичності. Хаїм Гудман-Штраус запропонував вважати мозаїки строго аперіодичними, якщо для них не існує нескінченної циклічної групи [en], які є симетріями мозаїки, і називати строго аперіодичними тільки ті набори плиток, які приводять до строго аперіодичних мозаїк, інші набори плиток тоді називаються слабко аперіодичними.

У 1996 році Петра Гуммельт побудувала десятикутну плитку з малюнком і показала, що, дозволивши два типи перекриття пар плиток, ними можна замостити площину, причому тільки аперіодичним чином. Зазвичай під мозаїкою розуміють заповнення без перекриття, так що плитку Гуммельт не можна вважати аперіодичною протоплиткою. Аперіодичну множину плиток на евклідовій площині, яка складається тільки з однієї плитки — плитки Соколара — Тейлор — запропонували на початку 2010-х років Джошуа Соколар і Джоан Тейлор. Ця конструкція залучає правила з'єднання, правила, що обмежують відносну орієнтацію двох плиток, і правила з'єднання малюнків на плитках, і ці правила застосовуються до пар суміжних плиток. Можна використовувати плитки без малюнків і без правил орієнтації, але тоді плитки не будуть зв'язані. Побудову можна поширити на тривимірний простір з використанням зв'язувальних плиток і без правил з'єднання, але ці плитки можна викласти з періодичністю в одному напрямку, тому це лише слабко аперіодична мозаїка. Більш того, плитки не однозв'язні.

У березні 2023 року Девід Сміт, Джозеф Семюел Маєрс, Крейг С. Каплан і [en] опублікували препринт, що доводить існування плитки, яка, якщо розглядати її разом з дзеркальним відображенням, утворює аперіодичну множину протоплиток. Плитку-«капелюх», яка утворена з восьми копій дельтоїда з кутами 60°–90°–120°–90°, склеєних ребрами, можна узагальнити до нескінченної сім’ї плиток з такою ж аперіодичною властивістю. Їхнє доведення очікує на рецензування та офіційну публікацію.

У травні 2023 року той же колектив авторів запропонував плитку «спектр», що аперіодично замощує площину без потреби у дзеркальному відображенні.

Примітки

  1. Senechal, 1996, с. 22—24.
  2. Radin, 1995, с. 3543—3548.
  3. Goodman-Strauss, 2000.
  4. Gummelt, 1996, с. 1—17.
  5. Socolar, Taylor, 2011, с. 2207—2231.
  6. Smith, David; Myers, Joseph Samuel; Kaplan, Craig S.; Goodman-Strauss, Chaim (19 березня 2023). An aperiodic monotile. arXiv:2303.10798 [cs, math]. Процитовано 27 березня 2023.
  7. An aperiodic monotile exists!. The Aperiodical (англ.). 22 березня 2023. Процитовано 27 березня 2023.
  8. Mathematicians have finally discovered an elusive ‘einstein’ tile.
  9. Smith, David; Myers, Joseph Samuel; Kaplan, Craig S.; Goodman-Strauss, Chaim (2023). A chiral aperiodic monotile. arXiv:2305.17743 [math.CO].

Посилання

  • Petra Gummelt. Penrose Tilings as Coverings of Congruent Decagons // . — 1996. — Т. 62, вип. 1 (19 червня). — DOI:10.1007/BF00239998.
  • Marjorie Senechal. Quasicrystals and Geometry. — corrected paperback. — Cambridge University Press, 1996. — .
  • Charles Radin. Aperiodic tilings in higher dimensions // . — American Mathematical Society, 1995. — Т. 123, вип. 11 (19 червня). — DOI:10.2307/2161105.
  • Chaim Goodman-Strauss. Open Questions in Tiling. — 2000. — 19 червня. з джерела 18 квітня 2007.
  • Joshua E. S. Socolar, Joan M. Taylor. An Aperiodic Hexagonal Tile // Journal of Combinatorial Theory, Series A. — 2011. — Т. 118 (19 червня). — arXiv:1003.4279. — DOI:10.1016/j.jcta.2011.05.001.

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Zadacha odniyeyi plitki angl einstein problem geometrichna problema yaka stavila pitannya pro isnuvannya odniyeyi en sho utvoryuvala b en tobto pro isnuvannya figuri kopiyami yakoyi mozhna zamostiti prostir ale tilki neperiodichnih sposobom Plitka spektr sho aperiodichno zamoshuye ploshinu bula znajdena u 2023 roci U 2022 roci Dejvidom Smitom bula znajdena figura kapelyuh sho razom zi svoyim dzerkalnim vidobrazhennyam aperiodichno zamoshuye ploshinu V anglomovnih dzherelah taki figuri nazivayut einsteins vid gri sliv ein Stein sho nimeckoyu oznachaye odin kamin Tak samo zapisuyetsya prizvishe fizika Alberta Ejnshtejna Dekilka variantiv ciyeyi problemi zalezhno vid konkretnogo viznachennya neperiodichnosti ta yaki mnozhini mozhna vvazhati plitkami i yak yih mozhna z yednuvati bulo rozv yazano u 1990 h U 2023 roci bulo rozv yazano najbilsh stroge formulyuvannya ciyeyi problemi Zadachu odniyeyi plitki mozhna rozglyadati yak prirodne prodovzhennya drugoyi chastini en v yakij stavitsya pitannya pro bagatogrannik kopiyami yakogo mozhna zapovniti trivimirnij evklidiv prostir prichomu niyake zapovnennya prostoru kopiyami cogo bagatogrannika ne povinno buti izoedralnim Taki en znajshov en u 1928 roci ale ci tila zapovnyuyut prostir periodichno Zaproponovanij rozv yazokPlitka Sokolara Tejlor zaproponovanij rozv yazok zadachi odniyeyi plitki U 1988 roci Peter Shmitt viyaviv neperiodichnu protoplitku dlya trivimirnogo evklidovogo prostoru Hocha niyake zapovnennya cim tilom ne dopuskaye paralelnogo perenesennya deyaki zapovnennya mayut en Operaciya gvintovoyi simetriyi ye kompoziciyeyu paralelnogo perenesennya i povorotu na kut nesumirnij z p tak sho niyake chislo povtoren cih operacij ne prizvede do prostogo paralelnogo perenesennya Cyu konstrukciyu piznishe vikoristali Dzhon Konvej i dlya pobudovi opukloyi neperiodichnoyi plitki plitki Shmitta Konveya Dancera Nayavnist gvintovoyi simetriyi stala naslidkom vimogi neperiodichnosti Hayim Gudman Shtraus zaproponuvav vvazhati mozayiki strogo aperiodichnimi yaksho dlya nih ne isnuye neskinchennoyi ciklichnoyi grupi en yaki ye simetriyami mozayiki i nazivati strogo aperiodichnimi tilki ti nabori plitok yaki privodyat do strogo aperiodichnih mozayik inshi nabori plitok todi nazivayutsya slabko aperiodichnimi U 1996 roci Petra Gummelt pobuduvala desyatikutnu plitku z malyunkom i pokazala sho dozvolivshi dva tipi perekrittya par plitok nimi mozhna zamostiti ploshinu prichomu tilki aperiodichnim chinom Zazvichaj pid mozayikoyu rozumiyut zapovnennya bez perekrittya tak sho plitku Gummelt ne mozhna vvazhati aperiodichnoyu protoplitkoyu Aperiodichnu mnozhinu plitok na evklidovij ploshini yaka skladayetsya tilki z odniyeyi plitki plitki Sokolara Tejlor zaproponuvali na pochatku 2010 h rokiv Dzhoshua Sokolar i Dzhoan Tejlor Cya konstrukciya zaluchaye pravila z yednannya pravila sho obmezhuyut vidnosnu oriyentaciyu dvoh plitok i pravila z yednannya malyunkiv na plitkah i ci pravila zastosovuyutsya do par sumizhnih plitok Mozhna vikoristovuvati plitki bez malyunkiv i bez pravil oriyentaciyi ale todi plitki ne budut zv yazani Pobudovu mozhna poshiriti na trivimirnij prostir z vikoristannyam zv yazuvalnih plitok i bez pravil z yednannya ale ci plitki mozhna viklasti z periodichnistyu v odnomu napryamku tomu ce lishe slabko aperiodichna mozayika Bilsh togo plitki ne odnozv yazni U berezni 2023 roku Devid Smit Dzhozef Semyuel Mayers Krejg S Kaplan i en opublikuvali preprint sho dovodit isnuvannya plitki yaka yaksho rozglyadati yiyi razom z dzerkalnim vidobrazhennyam utvoryuye aperiodichnu mnozhinu protoplitok Plitku kapelyuh yaka utvorena z vosmi kopij deltoyida z kutami 60 90 120 90 skleyenih rebrami mozhna uzagalniti do neskinchennoyi sim yi plitok z takoyu zh aperiodichnoyu vlastivistyu Yihnye dovedennya ochikuye na recenzuvannya ta oficijnu publikaciyu U travni 2023 roku toj zhe kolektiv avtoriv zaproponuvav plitku spektr sho aperiodichno zamoshuye ploshinu bez potrebi u dzerkalnomu vidobrazhenni PrimitkiSenechal 1996 s 22 24 Radin 1995 s 3543 3548 Goodman Strauss 2000 Gummelt 1996 s 1 17 Socolar Taylor 2011 s 2207 2231 Smith David Myers Joseph Samuel Kaplan Craig S Goodman Strauss Chaim 19 bereznya 2023 An aperiodic monotile arXiv 2303 10798 cs math Procitovano 27 bereznya 2023 An aperiodic monotile exists The Aperiodical angl 22 bereznya 2023 Procitovano 27 bereznya 2023 Mathematicians have finally discovered an elusive einstein tile Smith David Myers Joseph Samuel Kaplan Craig S Goodman Strauss Chaim 2023 A chiral aperiodic monotile arXiv 2305 17743 math CO PosilannyaPetra Gummelt Penrose Tilings as Coverings of Congruent Decagons 1996 T 62 vip 1 19 chervnya DOI 10 1007 BF00239998 Marjorie Senechal Quasicrystals and Geometry corrected paperback Cambridge University Press 1996 ISBN 0 521 57541 9 Charles Radin Aperiodic tilings in higher dimensions American Mathematical Society 1995 T 123 vip 11 19 chervnya DOI 10 2307 2161105 Chaim Goodman Strauss Open Questions in Tiling 2000 19 chervnya z dzherela 18 kvitnya 2007 Joshua E S Socolar Joan M Taylor An Aperiodic Hexagonal Tile Journal of Combinatorial Theory Series A 2011 T 118 19 chervnya arXiv 1003 4279 DOI 10 1016 j jcta 2011 05 001

Дата публікації:
Топ