Диференціа́льна геоме́трія криви́х — це розділ геометрії, який має справу з гладкими кривими на площині та у Евклідовому просторі і використовує для цього методи інтегрального та диференціального числення.
- Стаття розглядає криві лише у Евклідовому просторі. Більш загальну інформацію про криві можна знайти у аналогічних стаття про ріманові та псевдоріманові многовиди. Питання, що стосуються кривих у довільному топологічному просторі дивіться у головній статті присвяченій кривим.
Ще з античних часів, різні криві досліджувались за допомогою синтетичних методів. Диференціальна геометрія діє в інший спосіб: криві представлені у параметризованому вигляді і їх геометричні властивості та характеристики, пов'язані з ними, такі як кривина та довжина кривої, виражаються через похідні та інтеграли за допомогою векторного числення. Один з найважливіших засобів аналізу кривої — це репер Френе — рухомий репер, який забезпечує «найкращу» систему координат в кожній точці кривої.
Теорія кривих набагато менша та простіша ніж диференціальна геометрія поверхонь та її багатовимірні узагальнення, тому, що регулярна крива в Евклідовому просторі не має внутрішньої геометрії. Будь-яку гладку криву можна параметризувати довжиною дуги (натуральна параметризація[⇨]) і з точки зору комахи, яка повзе по кривій і нічого не знає про навколишній простір, їй усі криві здаватимуться однаковими. Різні криві у просторі відрізняються тим, як вони вигинаються. Кількісно це вимірюється диференціально-геометричними інваріантами, які називаються кривиною[⇨] та скрутом. [en] стверджує, що знання цих інваріантів повністю визначає криву.
Визначення
Нехай n натуральне число, r — натуральне число або ∞, I позначає непорожній проміжок на числовій прямій і t належить I. Векторно-значна функція
класу Cr (тобто γ буде r разів неперервно діференційована) називається параметричною кривою класу Cr або Cr-параметризацією кривої γ. t називається параметром кривої γ. γ(I) називається образом кривої. Важливо відрізняти криву γ та образ кривої γ(I), тому, що образ кривої може бути описаний декількома різними кривими різного класу Cr.
Можна вважати, що параметр t представляє час, а крива γ(t) — це траєкторія об'єкту, що рухається у просторі.
Якщо I — це замкнений проміжок [a, b], точку γ(a) називають початковою точкою, а γ(b) — кінцевою точкою кривої γ.
Якщо γ(a) = γ(b), кажуть, що крива замкнена або петля. Крім того, кажуть, що γ замкнена Cr-крива, якщо γ(k)(a) = γ(k)(b) для усіх k ≤ r.
Якщо γ:(a,b) → Rn — ін'єктивне відображення, то кажуть, що крива проста.
Якщо параметрично задана крива γ може бути локально описана у вигляді степеневого ряду, то кажуть, що крива аналітична або класу .
Пишуть -γ для позначення того, що крива проходиться в зворотньому напрямку.
Ck-крива буде гладкою порядку m, якщо для кожного t з проміжку I
— лінійно незалежні вектори в Rn.
Зокрема, C1-крива γ гладка якщо для кожного .
Перепараметризація і відношення еквівалентності
Образ кривої може відповідати декільком різним параметризаціям кривої. Мета диференціальної геометрії описати інваріанти кривих незалежні від різних параметризацій. Отже, потрібно визначити відношення еквівалентності на множині всіх параметризованих кривих. Властивості диференціальної геометрії кривої (довжина, репер Френе та узагальнена кривина) є інваріантами відносно перепараметризації і тому є властивостями класів еквівалентності. Класи еквівалентності називаються Cr-кривими і є центральними об'єктами дослідження в диференціальній геометрії кривих.
Дві параметричні криві класу Cr
і
кажуть, що еквівалентні якщо існує бієктивне Cr-гладке відображення
таке, що
та
γ2 називають перепараметризацією γ1. Ця перепараметризація γ1 визначає відношення еквівалентності на множині всіх Cr-кривих. Клас еквівалентності називається Cr-кривою.
Можна визначити навіть тонше відношення еквівалентності на орієнтованих Cr-кривих, якщо вимагати, щоб φ було φ‘(t) > 0.
Еквівалентні Cr-криві мають однакові образи кривих. А еквівалентні орієнтовані Cr-криві навіть проходяться в однаковому напрямку.
Довжина і натуральна параметризація
Довжина l кривої γ : [a, b] → Rn класу C1 може бути визначена наступним чином:
Довжина кривої інваріантна відносно перепараметризації кривої і тому є властивістю кривої, яка розглядається в диференціальній геометрії.
Для кожної гладкої Cr-кривої (r не менше 1) γ: [a, b] → Rn можна визначити функцію
Записуючи
де t(s) — обернена функція до s(t), отримаємо перепараметризацію кривої γ яка називається природною або натуральною. Кажуть, що крива параметризована довжиною дуги або на ній задана параметризація одиничної швидкості. Параметр s(t) називається натуральним параметром γ.
Ця параметризація зручна тим, що натуральний параметр s(t) пробігає образ γ з одиничною швидкістю, тобто
Зазвичай на практиці складно отримати натуральну параметризацію кривої, проте, при теоретичних міркуваннях, дуже зручно розглядати криві задані натуральною параметризацією.
Для заданої кривої γ(t) єдина з точністю до вибору напрямку обходу кривої.
Величину
часто називають енергією або дією кривої; така назва виправдана тим, що рівняння геодезичної лінії є рівнянням Ейлера-Лагранжа руху для такої дії.
Дотик кривих
Дві криві , мають в спільній точці дотик порядку n, якщо у них збігаються похідні тільки до n-го порядку:
Наприклад, дотичною прямою буде пряма, яка є дотичною кривою не нижче 1-го порядку. Серед кіл дотичних до кривої виділяють стичне коло, яке є дотичною кривою не нижче 2-го порядку.
Кривина кривої
Кривина кривої визначає кількісну міру відхилення кривої від дотичної прямої. Далі наведено геометричне визначення кривини C2-гладкої кривої.
Нехай точка P належить регулярній кривій γ, точка Q на кривій, близька до точки P. Позначимо через кут між дотичними в точках P та Q, а через довжину дуги кривої між точками P та Q. Тоді кривиною кривої γ в точці P називається межа
Очевидно, що якби крива γ була прямою, то дотичні до неї збігалися б із самою прямою і, тому кут буде нульовим, а отже і кривина прямої дорівнює нулю. Використовуючи наведене визначення нескладно обчислити кривину кола радіуса R, вона дорівнює . Тому величину обернену до кривини називають радіусом кривини.
Іноді кривині приписують знак. Якщо кривина може бути від'ємною, то її позначають як , коли ж береться модуль кривини, то позначають як
Обчислення кривини пласкої кривої
Нехай крива задана радіус-вектором
Для обчислення кривини пласкої кривої використовують формули (похідна береться за параметром t):
Без використання координат ( — векторний добуток):
Обчислення кривини кривої у просторі
Нехай крива задана радіус-вектором Кривину кривої можна знайти за формулою:
Без використання координат:
Еквівалентні формули:
Тут t позначає транспоновану матрицю. Останню формулу можна використовувати для обчислення кривини кривої в Евклідовому просторі довільної вимірності.
Примітки
- Борисенко, с. 27.
Література
- Борисенко, О. А. Диференціальна геометрія і топологія: Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995. — С. 41-46. — . Архівовано з джерела 23 січня 2022
- Погорєлов О. В. Диференціальна геометрія. — М. : Наука, 1974. — 184 с. — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Diferencia lna geome triya krivi h ce rozdil geometriyi yakij maye spravu z gladkimi krivimi na ploshini ta u Evklidovomu prostori i vikoristovuye dlya cogo metodi integralnogo ta diferencialnogo chislennya Gvintova liniya liniya z postijnoyu krivinoyu ta skrutom Stattya rozglyadaye krivi lishe u Evklidovomu prostori Bilsh zagalnu informaciyu pro krivi mozhna znajti u analogichnih stattya pro rimanovi ta psevdorimanovi mnogovidi Pitannya sho stosuyutsya krivih u dovilnomu topologichnomu prostori divitsya u golovnij statti prisvyachenij krivim She z antichnih chasiv rizni krivi doslidzhuvalis za dopomogoyu sintetichnih metodiv Diferencialna geometriya diye v inshij sposib krivi predstavleni u parametrizovanomu viglyadi i yih geometrichni vlastivosti ta harakteristiki pov yazani z nimi taki yak krivina ta dovzhina krivoyi virazhayutsya cherez pohidni ta integrali za dopomogoyu vektornogo chislennya Odin z najvazhlivishih zasobiv analizu krivoyi ce reper Frene ruhomij reper yakij zabezpechuye najkrashu sistemu koordinat v kozhnij tochci krivoyi Teoriya krivih nabagato mensha ta prostisha nizh diferencialna geometriya poverhon ta yiyi bagatovimirni uzagalnennya tomu sho regulyarna kriva v Evklidovomu prostori ne maye vnutrishnoyi geometriyi Bud yaku gladku krivu mozhna parametrizuvati dovzhinoyu dugi naturalna parametrizaciya i z tochki zoru komahi yaka povze po krivij i nichogo ne znaye pro navkolishnij prostir yij usi krivi zdavatimutsya odnakovimi Rizni krivi u prostori vidriznyayutsya tim yak voni viginayutsya Kilkisno ce vimiryuyetsya diferencialno geometrichnimi invariantami yaki nazivayutsya krivinoyu ta skrutom en stverdzhuye sho znannya cih invariantiv povnistyu viznachaye krivu ViznachennyaDokladnishe Kriva Nehaj n naturalne chislo r naturalne chislo abo I poznachaye neporozhnij promizhok na chislovij pryamij i t nalezhit I Vektorno znachna funkciya g I R n displaystyle gamma colon I to mathbb R n klasu Cr tobto g bude r raziv neperervno diferencijovana nazivayetsya parametrichnoyu krivoyu klasu Cr abo Cr parametrizaciyeyu krivoyi g t nazivayetsya parametrom krivoyi g g I nazivayetsya obrazom krivoyi Vazhlivo vidriznyati krivu g ta obraz krivoyi g I tomu sho obraz krivoyi mozhe buti opisanij dekilkoma riznimi krivimi riznogo klasu Cr Mozhna vvazhati sho parametr t predstavlyaye chas a kriva g t ce trayektoriya ob yektu sho ruhayetsya u prostori Yaksho I ce zamknenij promizhok a b tochku g a nazivayut pochatkovoyu tochkoyu a g b kincevoyu tochkoyu krivoyi g Yaksho g a g b kazhut sho kriva zamknena abo petlya Krim togo kazhut sho g zamknena Cr kriva yaksho g k a g k b dlya usih k r Yaksho g a b Rn in yektivne vidobrazhennya to kazhut sho kriva prosta Yaksho parametrichno zadana kriva g mozhe buti lokalno opisana u viglyadi stepenevogo ryadu to kazhut sho kriva analitichna abo klasu C w displaystyle C omega Pishut g dlya poznachennya togo sho kriva prohoditsya v zvorotnomu napryamku Ck kriva g I R n displaystyle gamma colon I rightarrow mathbb R n bude gladkoyu poryadku m yaksho dlya kozhnogo t z promizhku I g t g t g m t m k displaystyle lbrace gamma t gamma t gamma m t rbrace mbox m leqslant k linijno nezalezhni vektori v Rn Zokrema C1 kriva g gladka yaksho g t 0 displaystyle gamma t neq 0 dlya kozhnogo t I displaystyle t in I Pereparametrizaciya i vidnoshennya ekvivalentnostiDokladnishe Radius vektor Obraz krivoyi mozhe vidpovidati dekilkom riznim parametrizaciyam krivoyi Meta diferencialnoyi geometriyi opisati invarianti krivih nezalezhni vid riznih parametrizacij Otzhe potribno viznachiti vidnoshennya ekvivalentnosti na mnozhini vsih parametrizovanih krivih Vlastivosti diferencialnoyi geometriyi krivoyi dovzhina reper Frene ta uzagalnena krivina ye invariantami vidnosno pereparametrizaciyi i tomu ye vlastivostyami klasiv ekvivalentnosti Klasi ekvivalentnosti nazivayutsya Cr krivimi i ye centralnimi ob yektami doslidzhennya v diferencialnij geometriyi krivih Dvi parametrichni krivi klasu Cr g 1 I 1 R n displaystyle mathbf gamma 1 colon I 1 to R n i g 2 I 2 R n displaystyle mathbf gamma 2 colon I 2 to R n kazhut sho ekvivalentni yaksho isnuye biyektivne Cr gladke vidobrazhennya f I 1 I 2 displaystyle varphi colon I 1 to I 2 take sho f t 0 t I 1 displaystyle varphi t neq 0 qquad t in I 1 ta g 2 f t g 1 t t I 1 displaystyle mathbf gamma 2 varphi t mathbf gamma 1 t qquad t in I 1 g2 nazivayut pereparametrizaciyeyu g1 Cya pereparametrizaciya g1 viznachaye vidnoshennya ekvivalentnosti na mnozhini vsih Cr krivih Klas ekvivalentnosti nazivayetsya Cr krivoyu Mozhna viznachiti navit tonshe vidnoshennya ekvivalentnosti na oriyentovanih Cr krivih yaksho vimagati shob f bulo f t gt 0 Ekvivalentni Cr krivi mayut odnakovi obrazi krivih A ekvivalentni oriyentovani Cr krivi navit prohodyatsya v odnakovomu napryamku Dovzhina i naturalna parametrizaciyaDokladnishe Dovzhina krivoyi Dovzhina l krivoyi g a b Rn klasu C1 mozhe buti viznachena nastupnim chinom l a b g t d t displaystyle l int a b vert mathbf gamma t vert dt Dovzhina krivoyi invariantna vidnosno pereparametrizaciyi krivoyi i tomu ye vlastivistyu krivoyi yaka rozglyadayetsya v diferencialnij geometriyi Dlya kozhnoyi gladkoyi Cr krivoyi r ne menshe 1 g a b Rn mozhna viznachiti funkciyu s t t 0 t g x d x displaystyle s t int t 0 t vert mathbf gamma x vert dx Zapisuyuchi g s g t s displaystyle bar mathbf gamma s gamma t s de t s obernena funkciya do s t otrimayemo pereparametrizaciyu g displaystyle bar gamma krivoyi g yaka nazivayetsya prirodnoyu abo naturalnoyu Kazhut sho kriva parametrizovana dovzhinoyu dugi abo na nij zadana parametrizaciya odinichnoyi shvidkosti Parametr s t nazivayetsya naturalnim parametrom g Cya parametrizaciya zruchna tim sho naturalnij parametr s t probigaye obraz g z odinichnoyu shvidkistyu tobto g s t 1 t I displaystyle vert bar mathbf gamma s t vert 1 qquad forall t in I Zazvichaj na praktici skladno otrimati naturalnu parametrizaciyu krivoyi prote pri teoretichnih mirkuvannyah duzhe zruchno rozglyadati krivi zadani naturalnoyu parametrizaciyeyu Dlya zadanoyi krivoyi g t yedina z tochnistyu do viboru napryamku obhodu krivoyi Velichinu E g 1 2 a b g t 2 d t displaystyle E gamma frac 1 2 int a b vert mathbf gamma t vert 2 dt chasto nazivayut energiyeyu abo diyeyu krivoyi taka nazva vipravdana tim sho rivnyannya geodezichnoyi liniyi ye rivnyannyam Ejlera Lagranzha ruhu dlya takoyi diyi Dotik krivihDokladnishe Dotik matematika Stichne kolo ta pryama dotichna do krivoyi Dvi krivi r 1 r 1 s displaystyle vec r 1 vec r 1 s r 2 r 2 s C n 1 displaystyle vec r 2 vec r 2 s in C n 1 mayut v spilnij tochci r s 0 displaystyle vec r s 0 dotik poryadku n yaksho u nih zbigayutsya pohidni tilki do n go poryadku r 1 i s 0 r 2 i s 0 i 0 n r 1 n 1 s 0 r 2 n 1 s 0 displaystyle vec r 1 i s 0 vec r 2 i s 0 i 0 dots n quad vec r 1 n 1 s 0 neq vec r 2 n 1 s 0 Napriklad dotichnoyu pryamoyu bude pryama yaka ye dotichnoyu krivoyu ne nizhche 1 go poryadku Sered kil dotichnih do krivoyi vidilyayut stichne kolo yake ye dotichnoyu krivoyu ne nizhche 2 go poryadku Krivina krivoyiKrivina krivoyi viznachaye kilkisnu miru vidhilennya krivoyi vid dotichnoyi pryamoyi Dali navedeno geometrichne viznachennya krivini C2 gladkoyi krivoyi Nehaj tochka P nalezhit regulyarnij krivij g tochka Q na krivij blizka do tochki P Poznachimo cherez D 8 displaystyle Delta theta kut mizh dotichnimi v tochkah P ta Q a cherez D S displaystyle Delta S dovzhinu dugi krivoyi mizh tochkami P ta Q Todi krivinoyu krivoyi g v tochci P nazivayetsya mezha lim Q P D 8 D S displaystyle lim Q to P frac Delta theta Delta S Ochevidno sho yakbi kriva g bula pryamoyu to dotichni do neyi zbigalisya b iz samoyu pryamoyu i tomu kut D 8 displaystyle Delta theta bude nulovim a otzhe i krivina pryamoyi dorivnyuye nulyu Vikoristovuyuchi navedene viznachennya neskladno obchisliti krivinu kola radiusa R vona dorivnyuye 1 R displaystyle frac 1 R Tomu velichinu obernenu do krivini nazivayut radiusom krivini Inodi krivini pripisuyut znak Yaksho krivina mozhe buti vid yemnoyu to yiyi poznachayut yak k displaystyle k koli zh beretsya modul krivini to poznachayut yak k displaystyle kappa Obchislennya krivini plaskoyi krivoyi Nehaj kriva zadana radius vektorom r t x t y t displaystyle vec r t x t y t Dlya obchislennya krivini plaskoyi krivoyi vikoristovuyut formuli pohidna beretsya za parametrom t k x y y x x 2 y 2 3 2 k x y y x x 2 y 2 3 2 displaystyle kappa frac x y y x x 2 y 2 3 2 qquad k frac x y y x x 2 y 2 3 2 Bez vikoristannya koordinat displaystyle times vektornij dobutok k r r r 3 k det r r r 3 displaystyle kappa frac r times r r 3 qquad k frac det r r r 3 Obchislennya krivini krivoyi u prostori Nehaj kriva zadana radius vektorom r t x t y t z t displaystyle vec r t x t y t z t Krivinu krivoyi mozhna znajti za formuloyu k z y y z 2 x z z x 2 y x x y 2 x 2 y 2 z 2 3 2 displaystyle kappa frac sqrt z y y z 2 x z z x 2 y x x y 2 x 2 y 2 z 2 3 2 Bez vikoristannya koordinat k r r r 3 displaystyle kappa frac r times r r 3 Ekvivalentni formuli k det r r t r r r 3 r 2 r 2 r r 2 r 3 displaystyle kappa frac sqrt det left r r t r r right r 3 frac sqrt r 2 r 2 r cdot r 2 r 3 Tut t poznachaye transponovanu matricyu Ostannyu formulu mozhna vikoristovuvati dlya obchislennya krivini krivoyi v Evklidovomu prostori dovilnoyi vimirnosti PrimitkiBorisenko s 27 LiteraturaBorisenko O A Diferencialna geometriya i topologiya Navch posibnik dlya stud Harkiv Osnova 1995 S 41 46 ISBN 5 7768 0388 8 Arhivovano z dzherela 23 sichnya 2022 Pogoryelov O V Diferencialna geometriya M Nauka 1974 184 s ISBN 5 93972 068 4