Метод Ейлера

В чисельних методах методом Ейлера називають спосіб розв'язувати звичайні диференціальні рівняння з заданим початковим значенням. Це найбільш базовий вид чисельних методів інтегрування звичайних диференціальних рівнянь.

Ілюстрація методу Ейлера. Шукана крива синя, а її полігональне наближення червоне.

Неформальний геометричний опис

Розгляньмо задачу рисування графіка невідомої кривої, яка починається в даній точці і задовольняє дане диференціальне рівняння. Тут дифрівняння може розглядатись як формула для тангенса кута нахилу дотичної до кривої, що може бути обчисленим в кожній точці цієї кривої за координатами.

Ідея методу полягає в тому, що, хоча крива спочатку невідома, її початкова точка, яку ми позначимо ${\displaystyle A_{0},}$ відома (як на ілюстрації вгорі праворуч). Тоді, в цій точці можна обчислити нахил дотичної.

Тепер зробімо маленький крок вздовж дотичної до точки ${\displaystyle A_{1}}$. Якщо ми припустимо, що ${\displaystyle A_{1}}$ все ще на кривій (приблизно), тоді до неї можна застосувати ті ж міркування. Таким чином, ми отримаємо послідовність точок, що утворюють ламану, яка приблизно повторює криву.

Відхилення між отриманою ламаною можна зробити не надто великим, якщо робити короткі кроки вздовж дотичних і будувати криву на скінченному короткому інтервалі. Хоча для деяких рівнянь можуть виникати додаткові ускладнення.

Застосування

Ілюстрація чисельного інтегрування рівняння ${\displaystyle y'=y,y(0)=1}$. Синій - метод Ейлера, зелений - , червоний - точний розв'язок, ${\displaystyle y=e^{t}}$. Розмір кроку - ${\displaystyle h=1.0}$.

Та ж ілюстрація для кроку ${\displaystyle h=0.25}$. Видно що метод середньої точки збігається швидше ніж метод Ейлера.

Ми хочемо наблизити розв'язок наступної задачі початкових значень:

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad \qquad y(t_{0})=y_{0},}$

використовуючи перші два доданки ряду Тейлора для y, які представляють лінійне наближення біля точки ${\displaystyle (t_{0},y(t_{0}))}$. Один крок методу Ейлера з ${\displaystyle t_{n}}$ до ${\displaystyle t_{n+1}=t_{n}+h}$ проводиться так:

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).\qquad \qquad }$

Метод Ейлера є явним, тобто розв'язок ${\displaystyle y_{n+1}}$ є явною функцією ${\displaystyle y_{i}}$ для ${\displaystyle i\leq n}$.

Хоча метод Ейлера працює для ЗДР першого порядку, будь-яке ЗДР порядку ${\displaystyle N}$ може бути представленим як ЗДР першого порядку додаванням ${\displaystyle N-1}$ додаткових змінних, ${\displaystyle y',\,y'',\,\ldots ,\,y^{(N)}}$, і створенням ${\displaystyle N}$ рівнянь першого порядку з цими змінними. Метод Ейлера можна застосовувати до вектора ${\displaystyle \mathbf {y} (t)=(y(t),y'(t),y''(t),...,y^{(N)}(t))}$ для інтегрування системи рівнянь вищих порядків.

Похибка

Якщо припустити, що ${\displaystyle f(t)}$ і відповідно ${\displaystyle y(t)}$ відомі точно в момент ${\displaystyle t_{0}}$, тоді метод Ейлера дає приблизний розв'язок в момент ${\displaystyle t_{0}+h}$ як:

${\displaystyle y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hf(t_{0},y(t_{0}))=y(t_{0})+hy'(t_{0})\,\qquad \qquad }$

(друга рівність зберігається тому що y задовольняє дифрівняння ${\displaystyle y'=f(t,y)}$). Розклад Тейлора для ${\displaystyle h}$ біля ${\displaystyle t_{0}}$ дає:

${\displaystyle y(t_{0}+h)=y(t_{0})+hy'(t_{0})+{\frac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+O(h^{3}).}$

Похибка методу Ейлера задається різницею між цими двома рівняннями:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}h^{2}y''(t_{0})+O(h^{3}).}$

Для маленьких ${\displaystyle h}$, домінуючий доданок похибки пропорційний ${\displaystyle h^{2}}$. Щоб розв'язати задачу на заданому проміжку ${\displaystyle t}$, необхідна кількість кроків, яка пропорційна до ${\displaystyle 1/h}$ тому можна очікувати, що загальна похибка на кінці інтервалу буде пропорційна ${\displaystyle h}$ (похибка за один крок, помножена на кількість кроків). З цієї причини, метод Ейлера називають методом першого порядку, і він є менш точним (для малих ${\displaystyle h}$) ніж методи вищих порядків, таких як метод Рунге-Кутти, чи метод Адамса.

Стійкість

Метод Ейлера може бути чисельно нестійким, особливо для жорстких рівнянь. Це обмеження, поряд з тим фактом, що він повільно збігається при зменшенні ${\displaystyle h}$, означає, що метод використовується нечасто, і хіба що як простий приклад чисельного інтегрування. Нестійкості можна уникнути, використовуючи .

Див. також

• Метод Рунге-Кутти
• Метод Адамса

Посилання

• Ascher, Uri M.; Petzold, Linda Ruth. Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations. 1998. SIAM.