Круги Форда — круги з центрами в точках з координатами і радіусами , де — нескоротний дріб. Кожен круг Форда дотикається до горизонтальної осі , і будь-які два круги або дотикаються між собою, або не перетинаються.
Історія
Круги Форда — особливий випадок взаємно дотичних кругів. Системи взаємно дотичних кругів вивчав Аполлоній Перзький, на честь якого названо задачу Аполлонія і сітку Аполлонія. У XVII столітті Декарт довів теорему про співвідношення між оберненими радіусами взаємно дотичних кругів.
Круги Форда названо на честь американського математика [en], який писав про них 1938 року.
Властивості
Круг Форда, яке відповідає дробу , позначають як або . Кожному раціональному числу відповідає круг Форда. Крім того, півплощину теж можна вважати виродженим кругом Форда нескінченного радіусу, відповідним парі чисел .
Будь-які два різних круги Форда або не перетинаються зовсім, або дотикають між собою.
Ні в яких двох кругів Форда не перетинаються внутрішні області, попри те що в кожній точці на осі абсцис, яка має раціональну координату, до цієї осі дотикається один круг Форда.
Якщо , то множину кругів Форда, що дотикаються , можна описати будь-яким з таких способів:
- круги , де ,
- круги , де дроби сусідять з в якому-небудь ряді Фарея, або
- круги , де — найближчий менший або найближчий більший предок в дереві Штерна — Броко, або — найближчий менший або більший предок .
Круги Форда також можна розглядати як області на комплексній площині. Модулярная група перетворень комплексної площини відображає круги Форда в інші круги Форда.
Якщо інтерпретувати верхню половину комплексної площини як модель гіперболічної площини (модель Пуанкаре на півплощині), то круги Форда можна інтерпретувати як замощення гіперболічної площини орициклами.
Будь-які два круги Форда конгруентні в гіперболічній геометрії. Якщо і — дотичні круги Форда, то півколо що проходить через точки і і перпендикулярне до осі абсцис — це гіперболічна пряма, що проходить також через точку дотику двох кругів Форда.
Круги Форда утворюють підмножину кругів, з яких складається сітка Аполлонія, задана прямими і і кругом .
Загальна площа кругів
Є зв'язок між загальною площею кругів Форда, функцією Ейлера , дзета-функцією Рімана і сталою Апері . Оскільки ніякі два круги Форда не перетинаються по внутрішніх точках, то негайно отримуємо, що сумарна площа кругів
менша від 1. Ця площа дається збіжною сумою, яку можна обчислити аналітично. За визначенням, шукана площа дорівнює
Спрощуючи цей вираз, отримуємо
де остання рівність використовує формулу для ряду Діріхле з коефіцієнтами, що даються функцією Ейлера. Оскільки , в результаті отримуємо
Примітки
- Fractions // The American Mathematical Monthly. — 1938. — Vol. 45, no. 9 (16 July). — P. 586–601. — DOI: . JSTOR 2302799, MR1524411.
- Коксетер Г. The problem of Apollonius // The American Mathematical Monthly. — 1968. — Vol. 75 (16 July). — P. 5–15. — DOI: . MR0230204.
- Конвей Дж. [1] — М. : МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 прим. — . з джерела 6 серпня 2021
- Graham, Ronald L.; Lagarias, Jeffrey C.; Mallows, Colin L.; Wilks, Allan R.; Yan, Catherine H. Apollonian circle packings: number theory // Journal of Number Theory. — 2003. — Vol. 100, no. 1 (16 July). — P. 1–45. — arXiv:math.NT/0009113. — DOI: ., MR1971245.
- Marszalek W. Circuits with oscillatory hierarchical Farey sequences and fractal properties // Circuits, Systems and Signal Processing. — 2012. — Vol. 31, no. 4 (16 July). — P. 1279–1296. — DOI: ..
Див. також
Посилання
- Ford's Touching Circles [ 6 серпня 2021 у Wayback Machine.] (англ.)
- Weisstein, Eric W. Круги Форда(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Krugi Forda krugi z centrami v tochkah z koordinatami p q 1 2 q 2 displaystyle p q 1 2q 2 i radiusami 1 2 q 2 displaystyle 1 2q 2 de p q displaystyle p q neskorotnij drib Kozhen krug Forda dotikayetsya do gorizontalnoyi osi y 0 displaystyle y 0 i bud yaki dva krugi abo dotikayutsya mizh soboyu abo ne peretinayutsya Krugi Forda V osnovi temnishih krugiv pidpisano vidpovidni neskorotni drobi Kozhen krug dotikayetsya do osi abscis i susidnih krugiv Neskorotni drobi z rivnimi znamennikami vidpovidayut krugam odnogo radiusa IstoriyaKrugi Forda osoblivij vipadok vzayemno dotichnih krugiv Sistemi vzayemno dotichnih krugiv vivchav Apollonij Perzkij na chest yakogo nazvano zadachu Apolloniya i sitku Apolloniya U XVII stolitti Dekart doviv teoremu pro spivvidnoshennya mizh obernenimi radiusami vzayemno dotichnih krugiv Krugi Forda nazvano na chest amerikanskogo matematika en yakij pisav pro nih 1938 roku VlastivostiKrug Forda yake vidpovidaye drobu p q displaystyle p q poznachayut yak C p q displaystyle C p q abo C p q displaystyle C p q Kozhnomu racionalnomu chislu vidpovidaye krug Forda Krim togo pivploshinu y 1 displaystyle y geqslant 1 tezh mozhna vvazhati virodzhenim krugom Forda neskinchennogo radiusu vidpovidnim pari chisel p 1 q 0 displaystyle p 1 q 0 Bud yaki dva riznih krugi Forda abo ne peretinayutsya zovsim abo dotikayut mizh soboyu Ni v yakih dvoh krugiv Forda ne peretinayutsya vnutrishni oblasti popri te sho v kozhnij tochci na osi abscis yaka maye racionalnu koordinatu do ciyeyi osi dotikayetsya odin krug Forda Yaksho 0 lt p q lt 1 displaystyle 0 lt p q lt 1 to mnozhinu krugiv Forda sho dotikayutsya C p q displaystyle C p q mozhna opisati bud yakim z takih sposobiv krugi C r s displaystyle C r s de p s q r 1 displaystyle ps qr 1 krugi C r s displaystyle C r s de drobi r s displaystyle r s susidyat z p q displaystyle p q v yakomu nebud ryadi Fareya abo krugi C r s displaystyle C r s de r s displaystyle r s najblizhchij menshij abo najblizhchij bilshij predok p q displaystyle p q v derevi Shterna Broko abo p q displaystyle p q najblizhchij menshij abo bilshij predok r s displaystyle r s Krugi Forda takozh mozhna rozglyadati yak oblasti na kompleksnij ploshini Modulyarnaya grupa peretvoren kompleksnoyi ploshini vidobrazhaye krugi Forda v inshi krugi Forda Yaksho interpretuvati verhnyu polovinu kompleksnoyi ploshini yak model giperbolichnoyi ploshini model Puankare na pivploshini to krugi Forda mozhna interpretuvati yak zamoshennya giperbolichnoyi ploshini oriciklami Bud yaki dva krugi Forda kongruentni v giperbolichnij geometriyi Yaksho C p q displaystyle C p q i C r s displaystyle C r s dotichni krugi Forda to pivkolo sho prohodit cherez tochki p q 0 displaystyle p q 0 i r s 0 displaystyle r s 0 i perpendikulyarne do osi abscis ce giperbolichna pryama sho prohodit takozh cherez tochku dotiku dvoh krugiv Forda Krugi Forda utvoryuyut pidmnozhinu krugiv z yakih skladayetsya sitka Apolloniya zadana pryamimi y 0 displaystyle y 0 i y 1 displaystyle y 1 i krugom C 0 1 displaystyle C 0 1 Zagalna plosha krugivYe zv yazok mizh zagalnoyu plosheyu krugiv Forda funkciyeyu Ejlera f displaystyle varphi dzeta funkciyeyu Rimana i staloyu Aperi z 3 displaystyle zeta 3 Oskilki niyaki dva krugi Forda ne peretinayutsya po vnutrishnih tochkah to negajno otrimuyemo sho sumarna plosha krugiv C p q 0 p q 1 displaystyle left C p q 0 leqslant frac p q leqslant 1 right mensha vid 1 Cya plosha dayetsya zbizhnoyu sumoyu yaku mozhna obchisliti analitichno Za viznachennyam shukana plosha dorivnyuye A q 1 p q 1 1 p lt q p 1 2 q 2 2 displaystyle A sum q geqslant 1 sum p q 1 atop 1 leqslant p lt q pi left frac 1 2q 2 right 2 Sproshuyuchi cej viraz otrimuyemo A p 4 q 1 1 q 4 p q 1 1 p lt q 1 p 4 q 1 f q q 4 p 4 z 3 z 4 displaystyle A frac pi 4 sum q geqslant 1 frac 1 q 4 sum p q 1 atop 1 leqslant p lt q 1 frac pi 4 sum q geqslant 1 frac varphi q q 4 frac pi 4 frac zeta 3 zeta 4 de ostannya rivnist vikoristovuye formulu dlya ryadu Dirihle z koeficiyentami sho dayutsya funkciyeyu Ejlera Oskilki z 4 p 4 90 displaystyle zeta 4 pi 4 90 v rezultati otrimuyemo A 45 2 z 3 p 3 0 872284041 displaystyle A frac 45 2 frac zeta 3 pi 3 approx 0 872284041 PrimitkiFractions The American Mathematical Monthly 1938 Vol 45 no 9 16 July P 586 601 DOI 10 2307 2302799 JSTOR 2302799 MR1524411 Kokseter G The problem of Apollonius The American Mathematical Monthly 1968 Vol 75 16 July P 5 15 DOI 10 2307 2315097 MR0230204 Konvej Dzh 1 M MCNMO 2008 144 s 1000 prim ISBN 978 5 94057 268 8 z dzherela 6 serpnya 2021 Graham Ronald L Lagarias Jeffrey C Mallows Colin L Wilks Allan R Yan Catherine H Apollonian circle packings number theory Journal of Number Theory 2003 Vol 100 no 1 16 July P 1 45 arXiv math NT 0009113 DOI 10 1016 S0022 314X 03 00015 5 MR1971245 Marszalek W Circuits with oscillatory hierarchical Farey sequences and fractal properties Circuits Systems and Signal Processing 2012 Vol 31 no 4 16 July P 1279 1296 DOI 10 1007 s00034 012 9392 3 Div takozhPorizm Shtejnera Porizm Ponsele Ryad Fareya Sitka Apolloniya Lancyug Pappa AleksandrijskogoPosilannyaFord s Touching Circles 6 serpnya 2021 u Wayback Machine angl Weisstein Eric W Krugi Forda angl na sajti Wolfram MathWorld