Ряд Діріхле

Рядом Діріхле називається ряд виду

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},}$

де s і a_n — комплексні числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсцисою збіжності ряду Діріхле називається таке число ${\displaystyle \sigma _{c}}$, що при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>\sigma _{c}}$ цей ряд збігається; абсцисою абсолютної збіжності називається таке число ${\displaystyle \sigma _{a}}$, що при ${\displaystyle \operatorname {Re} s>\sigma _{a}}$ ряд абсолютно збіжним. Для будь-якого ряду Діріхле справедливе співвідношення ${\displaystyle 0\leqslant \sigma _{a}-\sigma _{c}\leqslant 1}$ (якщо ${\displaystyle \sigma _{c}}$ і ${\displaystyle \sigma _{a}}$ скінченні).

Цей ряд відіграє значну роль в теорії чисел. Найпоширенішим прикладом ряду Діріхле є дзета-функція Рімана, а також L-функція Діріхле.

Ряд названий на честь Густава Діріхле.

Приклади

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}},}$

Де ζ(s) — дзета-функція Рімана.

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

де μ(n) — функція Мебіуса.

${\displaystyle {\frac {1}{L(\chi ,s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\chi (n)}{n^{s}}}}$

де L(χ,s) — L-функція Діріхле.

Похідні

Нехай

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

Тоді можна довести

${\displaystyle F'(s)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\log(n)}{n^{s}}}}$

у випадку збіжності правої сторони. Для цілком мультиплікативної функції ƒ(n), у випадку збіжності для Re s > σ₀, тоді

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

збігається для Re s > σ₀. В даній формулі ${\displaystyle \scriptstyle \Lambda (n)}$ позначає функцію фон Мангольдта.

Добуток рядів

Нехай маємо ряди

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

і

${\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }g(n)n^{-s}.}$

Якщо F(s) і G(s) є абсолютно збіжними для s > a і s > b відповідно, тоді:

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}\,F(a+it)G(b-it)\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)g(n)n^{-a-b}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

Якщо a = b і ƒ(n) = g(n) то

${\displaystyle {\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}|F(a+it)|^{2}dt=\sum _{n=1}^{\infty }[f(n)]^{2}n^{-2a}{\text{ as }}T\sim \infty .}$

Див. також

• Список об'єктів, названих на честь Діріхле

Література

• Мандельбройт С. Ряды Дирихле. — М.: Мир, 1973
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Tom M. Apostol. Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1989.