Ортогональні функції в математиці належать функційному простору (це векторний простір з білінійною формою). Якщо областю визначення функцій цього простору є інтервал, білінійну форму можна визначити як інтеграл на інтервалі для добутку цих функцій:
Функції та є ортогональними, коли інтеграл рівний нулю, тобто, при . Подібно до базису векторів скінченно-вимірного простору, ортогональні функції можуть утворювати нескінченний базис функційного простору. Описаний інтеграл є аналогом скалярного добутку векторів.
Тригонометричні функції
Деякі набори ортогональних функцій є стандартним базисом для апроксимації функцій.
Наприклад, функції sin nx та sin mx є ортогональними на інтервалі для , де n та m є натуральними числами. Тоді
тому інтеграл добутку двох синусів рівний нулю. Разом із функціями косинус, ці ортогональні функції можуть бути звбрані в тригонометричний многочлен, щоб апроксимувати задану функцію на інтервалі своїм рядом Фур'є.
Многочлени
Якщо для послідовності многочленів на ітервалі застосувати процес Грама — Шмідта, то отримаємо Поліноми Лежандра. Ще одним прикладом ортогональних поліномів є Приєднані функції Лежандра.
Для ортогоналізації, вагова функція може вставлятись в таку білінійну форму:
Поліноми Лаґерра на мають вагову функцію .
В фізиці та теорії ймовірностей Поліноми Ерміта на , мають вагові функції та , відповідно.
Поліноми Чебишоваs визначені на мають вагові функції та .
одиничному крузі мають ортогональність радіальних та кутових частин.
визначені наФункції з бінарним значенням
Функція Уолша and Гаарів вейвлетє прикладами ортогональних функцій з дискретними значеннями.
Раціональні функції
Поліноми Лежандра та Чебишева є ортогональними системами на інтервалі [−1, 1], але деколи потрібні ортогональні системи на [0, ∞). Тоді застосовують Перетворення Келі, щоб перевести область визначення до [−1, 1]. Так утворюються сімейства раціональних ортогональних функцій, що називаються called та .
Диференціальні рівняння
Розв'язок лінійних диференціальних рівнянь з крайовими умовами є середнє зважене ортогональних розв'язків (a.k.a. власних функцій), тобто це .
Див. також
Примітки
- Антоній Зигмунд (1935) Тригонометричні ряди, сторінка 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw
Джерела
- George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, .
- (1975). Topics in orthogonal functions. American Mathematical Monthly. 82: 594—609. doi:10.2307/2319690.
- (translated by Ainsley H. Diamond) (1959) Orthogonal Functions, .
- Weisstein, Eric W. Ортогональні функції(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ortogonalni funkciyi v matematici nalezhat funkcijnomu prostoru ce vektornij prostir z bilinijnoyu formoyu Yaksho oblastyu viznachennya funkcij cogo prostoru ye interval bilinijnu formu mozhna viznachiti yak integral na intervali dlya dobutku cih funkcij f g f x g x d x displaystyle langle f g rangle int overline f x g x dx Funkciyi f displaystyle f ta g displaystyle g ye ortogonalnimi koli integral rivnij nulyu tobto f g 0 displaystyle langle f g rangle 0 pri f g displaystyle f neq g Podibno do bazisu vektoriv skinchenno vimirnogo prostoru ortogonalni funkciyi mozhut utvoryuvati neskinchennij bazis funkcijnogo prostoru Opisanij integral ye analogom skalyarnogo dobutku vektoriv Trigonometrichni funkciyiDokladnishe Ryad Fur ye ta Garmonichnij analiz Deyaki nabori ortogonalnih funkcij ye standartnim bazisom dlya aproksimaciyi funkcij Napriklad funkciyi sin nx ta sin mx ye ortogonalnimi na intervali x p p displaystyle x in pi pi dlya m n displaystyle m neq n de n ta m ye naturalnimi chislami Todi 2 sin m x sin n x cos m n x cos m n x displaystyle 2 sin left mx right sin left nx right cos left left m n right x right cos left left m n right x right tomu integral dobutku dvoh sinusiv rivnij nulyu Razom iz funkciyami kosinus ci ortogonalni funkciyi mozhut buti zvbrani v trigonometrichnij mnogochlen shob aproksimuvati zadanu funkciyu na intervali svoyim ryadom Fur ye MnogochleniDokladnishe Ortogonalni polinomi Yaksho dlya poslidovnosti mnogochleniv 1 x x 2 displaystyle left 1 x x 2 dots right na itervali 1 1 displaystyle 1 1 zastosuvati proces Grama Shmidta to otrimayemo Polinomi Lezhandra She odnim prikladom ortogonalnih polinomiv ye Priyednani funkciyi Lezhandra Dlya ortogonalizaciyi vagova funkciya w x displaystyle w x mozhe vstavlyatis v taku bilinijnu formu f g w x f x g x d x displaystyle langle f g rangle int w x f x g x dx Polinomi Lagerra na 0 displaystyle 0 infty mayut vagovu funkciyu w x e x displaystyle w x e x V fizici ta teoriyi jmovirnostej Polinomi Ermita na displaystyle infty infty mayut vagovi funkciyi w x e x 2 displaystyle w x e x 2 ta w x e x 2 2 displaystyle w x e x 2 2 vidpovidno Polinomi Chebishovas viznacheni na 1 1 displaystyle 1 1 mayut vagovi funkciyi w x 1 1 x 2 textstyle w x frac 1 sqrt 1 x 2 ta w x 1 x 2 textstyle w x sqrt 1 x 2 inshi movi viznacheni na odinichnomu kruzi mayut ortogonalnist radialnih ta kutovih chastin Funkciyi z binarnim znachennyamFunkciya Uolsha and Gaariv vejvletye prikladami ortogonalnih funkcij z diskretnimi znachennyami Racionalni funkciyiRacionalni funkciyi Chebiresha poryadku n 0 1 2 3 4 mizh x 0 01 ta 100 Polinomi Lezhandra ta Chebisheva ye ortogonalnimi sistemami na intervali 1 1 ale dekoli potribni ortogonalni sistemi na 0 Todi zastosovuyut Peretvorennya Keli shob perevesti oblast viznachennya do 1 1 Tak utvoryuyutsya simejstva racionalnih ortogonalnih funkcij sho nazivayutsya called inshi movi ta inshi movi Diferencialni rivnyannyaRozv yazok linijnih diferencialnih rivnyan z krajovimi umovami ye serednye zvazhene ortogonalnih rozv yazkiv a k a vlasnih funkcij tobto ce inshi movi Div takozhVlasni vektori ta vlasni znachennya Gilbertiv prostir Teorema Karunena Loeva inshi movi Funkciyi VanyePrimitkiAntonij Zigmund 1935 Trigonometrichni ryadi storinka 6 Mathematical Seminar University of WarsawDzherelaGeorge B Arfken amp Hans J Weber 2005 Mathematical Methods for Physicists 6th edition chapter 10 Sturm Liouville Theory Orthogonal Functions 1975 Topics in orthogonal functions American Mathematical Monthly 82 594 609 doi 10 2307 2319690 translated by Ainsley H Diamond 1959 Orthogonal Functions Weisstein Eric W Ortogonalni funkciyi angl na sajti Wolfram MathWorld