У математиці Га́арів вейвле́т (англ. Haar wavelet) — це послідовність перемасштабованих функцій «квадратної» форми, які разом утворюють вейвлетне сімейство або базис. Вейвлетний аналіз подібний до аналізу Фур'є тим, що дозволяє цільовій функції над інтервалом бути поданою в термінах ортонормованого базису. Гаарову послідовність тепер визнають як перший відомий вейвлетний базис, та широко використовують як навчальний приклад.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWhMMkV3TDBoaFlYSmZkMkYyWld4bGRDNXpkbWN2TWpJd2NIZ3RTR0ZoY2w5M1lYWmxiR1YwTG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Га́арову послідо́вність (англ. Haar sequence) запропонував 1909 року [en]. Він використав ці функції, щоби навести приклад ортонормованої системи для простору [en] на одиничному інтервалі [0, 1]. Дослідження вейвлетів і навіть сам термін «вейвлет» з'явилися набагато пізніше. Як окремий випадок вейвлетів Добеші, гаарів вейвлет відомий також як Db1.
Гаарів вейвлет — це також найпростіший вейвлет із можливих. Технічний недолік гаарового вейвлета полягає в тому, що він не неперервний, а відтак і не диференційовний. Ця властивість, проте, може бути перевагою для аналізу сигналів із раптовими переходами (дискретних сигналів), таких як вістежування поломки інструмента у верстатах.
Материнську функцію гаарового вейвлета можливо описати як
Його масштабну функцію можливо описати як
Гаарові функції та гаарова система
Для кожної пари цілих чисел n, k із га́арову фу́нкцію (англ. Haar function) ψn,k визначають на дійсній прямій
формулою
Носієм цієї функції є напіввідкритий праворуч проміжок In,k = [k2−n, (k+1)2−n), тобто вона перетворюється на нуль за його межами. Вона має інтеграл 0 та норму 1 у гільбертовому просторі L2(),
Гаарові функції попарно ортогональні,
де подає дельту Кронекера. Причина ортогональності тут така: коли два інтервали-носії
та
не рівні, то вони або не перетинаються, або менший із двох носіїв, скажімо,
, міститься в нижній або верхній половині іншого інтервалу, на якому функція
лишається сталою. Тоді виходить, що добуток цих двох гаарових функцій кратний першій гаарової функції, тож цей добуток має інтеграл 0.
Га́арова систе́ма (англ. Haar system) на дійсній прямій — це множина функцій
Вона повна в L2(): Гаарова система на прямій це ортонормований базис в L2(
).
Властивості гаарового вейвлета
Гаарів вейвлет має декілька визначних властивостей:
- Будь-яку неперервну дійснозначну функцію з компактним носієм можливо рівномірно наблизити лінійними комбінаціями
та їхніх зміщених функцій. Це поширюється на ті функційні простори, будь-яку функцію в яких можливо наблизити неперервними функціями.
- Будь-яку неперервну дійсну функцію на [0, 1] можливо рівномірно наблизити на [0, 1] лінійними комбінаціями сталої функції 1,
та їхніх зміщених функцій.
- Ортогональність вигляду
подає дельту Кронекера. Двоїста функція ψ(t) — це сама ψ(t).
- Вейвлетні/масштабні функції з різним масштабом n мають функційний взаємозв'язок: оскільки
Якщо
та
то
Гаарова система на одиничному інтервалі, та пов'язані системи
У цьому розділі обговорення обмежено одиничним інтервалом [0, 1] та гааровими функціями, відмінними від нуля на [0, 1]. Система функцій, розглянута Гааром 1910 року, звана в цій статті га́аровою систе́мою на [0, 1], складається з підмножини гаарових вейвлетів, визначених як
з додаванням сталої функції 1 на [0, 1].
В термінах гільбертового простору ця гаарова система на [0, 1] є повною ортонормованою системою, тобто, ортонормованим базисом для простору L2([0, 1]) квадратично інтегровних функцій на одиничному інтервалі.
Гаарова система на [0, 1] — зі сталою функцією 1 як першим елементом, за яким слідують гаарові функції, впорядковані за лексикографічним порядком пар (n, k), — є також [en] [en] для простору Lp([0, 1]), коли 1 ≤ p < ∞. Цей базис [en], коли 1 < p < ∞.
Існує пов'язана [en], яка складається з сум гаарових функцій,
Зауважте, що |rn(t)| = 1 на [0, 1). Це ортонормована система, але не повна. Мовою теорії ймовірностей, послідовність Радемахера — це примірник послідовності незалежних випадкових величин Бернуллі з середнім 0. [en] виражає той факт, що в усіх просторах Lp([0, 1]), 1 ≤ p < ∞, послідовність Радемахера [en] базису одиничного вектора в ℓ2. Зокрема, [en] послідовності Радемахера в Lp([0, 1]), 1 ≤ p < ∞, [en] з ℓ2.
Система Фабера — Шаудера
Систе́ма Фа́бера — Ша́удера (англ. Faber–Schauder system) — це система неперервних функцій на [0, 1], яка складається зі сталої функції 1, та кратних невизначених інтегралів функцій гаарової системи на [0, 1], обраних так, щоби мати норму 1 в максимум-нормі. Ця система починається з s0 = 1, тоді s1(t) = t — невизначений інтеграл, який сходить на 0 функції 1, першого елемента гаарової системи на [0, 1]. Далі для кожного цілого n ≥ 0 функції sn,k визначено формулою
Ці функції sn,k неперервні, відтинково лінійні, відмінні від нуля на інтервалі In,k, на якому також відмінні від нуля ψn,k. Функція sn,k дорівнює 1 у серединній точці xn,k інтервалу In,k, ліінйна на обох половинах цього інтервалу. Вона всюди набуває значень між 0 та 1.
Система Фабера — Шаудера це [en] для простору C([0, 1]) неперевних функцій на [0, 1]. Для кожної f з C([0, 1]) частинна сума
розкладу f [en] у системі Фабера — Шаудера — це неперервна відтинково лінійна функція, яка збігається з f в 2n + 1 точках k2−n, де 0 ≤ k ≤ 2n. Далі, формула
пропонує спосіб покрокового обчислення розкладу f. Оскільки f рівномірно неперервна, послідовність {fn} рівномірно збігається до f. Звідси випливає, що розклад f у ряд у системі Фабера — Шаудера збігається в C([0, 1]), а сума цього ряду дорівнює f.
Система Франкліна
Систе́му Фра́нкліна (англ. Franklin system) отримують із системи Фабера — Шаудера ортонормувальною процедурою Грама — Шмідта. Оскільки система Франкліна має таку же лінійну оболонку, як і система Фабера — Шаудера, ця оболонка щільна в C([0, 1]), а отже й у L2([0, 1]). Тому система Франкліна є ортонормальним базисом для L2([0, 1]), який складається з неперервних відтинково лінійних функцій. Ф. Франклін довів 1928 року, що ця система є базисом Шаудера для C([0, 1]). Система Франкліна є також безумовним базисом Шаудера для простору Lp([0, 1]), коли 1 < p < ∞. Система Франкліна забезпечує базис Шаудера в [en][] A(D). Це довів 1974 року Бочкарев після того, як існування базису для кругової алгебри залишалося відкритим питанням протягом понад сорока років.
Побудова Бочкарева базиса Шаудера в A(D) відбувається так: нехай f — комплекснозначна ліпшицева функція на [0, π]; тоді f — сума косинусного ряду з абсолютно сумовними коефіцієнтами. Нехай T(f) — елемент A(D), визначений комплексним степеневим рядом з такими же коефіцієнтами,
Базис Бочкарева для A(D) утворюють образи під T функцій системи Франкліна на [0, π]. Еквівалентний опис Бочкарева для відображення T починається з розширення f до парної ліпшицевої функції g1 на [−π, π], ототожнюваної з ліпшицевою функцією на одиничному колі T. Далі, покладімо, що g2 — [en] g1, і визначмо T(f) як функцію в A(D), чиє значення на межі T круга D дорівнює g1 + ig2.
Маючи справу з 1-періодичними неперервними функціями, а точніше з такими неперервними функціями f на [0, 1], що f(0) = f(1), можливо вилучити функцію s1(t) = t з системи Фабера — Шаудера, щоб отримати періоди́чну систе́му Фа́бера — Ша́удера (англ. periodic Faber–Schauder system). Періоди́чну систе́му Фра́нкліна (англ. periodic Franklin system) отримують з періодичної системи Фабера — Шаудера шляхом ортонормування. Результат Бочкарева на A(D) можливо довести, довівши, що періодична система Франкліна на [0, 2π] є базисом для банахового простору Ar, ізоморфного A(D). Простір Ar складається з комплексних неперервних функцій на одиничному колі T, чиї [en] також неперервні.
Гаарова матриця
Пов'язана з гааровим вейвлетом гаарова матриця (англ. Haar matrix) 2×2 має вигляд
Використовуючи [en], можливо перетворити будь-яку послідовність парної довжини на послідовність двоскладових векторів
. Якщо кожен вектор домножити праворуч на матрицю
, буде отримано результат
одного етапу швидкого гаарово-вейвлетного перетворення (англ. fast Haar-wavelet transform). Зазвичай послідовності s та d розділяють, і продовжують перетворювати послідовність s. Послідовність s часто називають частиною усереднень, тоді як d відома як частина деталей.
Якщо мають послідовність довжини, кратної чотирьом, то можливо побудувати блоки з 4 елементів та перетворювати їх подібним чином за допомогою гаарової матриці 4×4
яка поєднує два етапи швидкого гаарово-вейвлетного перетворення.
Порівняйте з [en], яка є нелокалізованою матрицею 1/−1.
Загалом, гаарову матрицю 2N×2N можливо вивести наступним рівнянням.
- де
, а
— добуток Кронекера.
Добуток Кронекера , де
це матриця m×n, а
— матриця p×q, виражають як
Нижче показано невнормовану 8-точкову гаарову матрицю
Зауважте, що наведена вище матриця це невнормована гаарова матриця. Гаарову матрицю, якої вимагає гаарове перетворення, потрібно унормовувати.
З визначення гаарової матриці можливо побачити, що, на відміну від перетворення Фур'є,
має лише дійсні елементи (тобто, 1, -1 та 0), і не симетрична.
Візьмімо 8-точкову гаарову матрицю як приклад. Перший рядок вимірює усереднене значення, а другий рядок
вимірює низькочастотну складову вхідного вектора. Наступні два рядки чутливі до першої та другої половини вхідного вектора відповідно, що відповідає середньочастотним складовим. Решта чотири рядки чутливі до чвертинних ділянок вхідного вектора, що відповідає високочастотним складовим.
Гаарове перетворення
Га́арове перетво́рення (англ. Haar transform) — це найпростіше вейвлетне перетворення. Це перетворення перехресно множить функцію на гаарів вейвлет з різними зміщеннями та розтягуваннями, як перетворення Фур'є перехресно множить функцію на хвилю синусоїди з двома фазами та багатьма розтягуваннями.[: ком.]
Введення
Гаарове перетворення — це одна з найстаріших функцій перетворень, запропонована 1910 року угорським математиком [en]. Вона ефективна в таких застосуваннях як стискання сигналів та зображень в електричній та комп'ютерній інженерії, оскільки пропонує простий та обчислювально ефективний підхід для аналізу локальних аспектів сигналу.
Гаарове перетворення похідне від гаарової матриці. Нижче показано приклад матриці гаарового перетворення 4×4.
Гаарове перетворення можливо розглядати як процес дискретизації, в якому рядки матриці перетворення діють як вибірки із щоразу тоншою роздільністю.
Порівняйте з перетворенням Уолша, яке також 1/−1, але не локалізоване.
Властивості
Гаарове перетворення має наступні властивості
- Відсутність потреби в множеннях. Воно вимагає лише додавань, і в гааровій матриці багато елементів з нульвоим значенням, тож обчислення є нетривалим. Воно швидше за перетворення Уолша, чия матриця складається з +1 та −1.
- Довжини входу та виходу однакові. Проте ця довжина повинна бути степенем 2, тобто
.
- Його можливо використовувати для аналізу локалізованої ознаки сигналів. Завдяки ортогональній властивості гаарової функції можливо аналізувати частотні складові вхідного сигналу.
Гаарове та обернене гаарове перетворення
Гаарове перетворення yn n-входової функції xn це
Матриця гаарового перетворення дійсна та ортогональна. Тож обернене гаарове перетворення (англ. inverse Haar transform) можливо отримати наступними рівняннями.
, тобто
- де
— одинична матриця. Наприклад, коли n = 4
Тож обернене гаарове перетворення це
Приклад
Коефіцієнти гаарового перетворення n=4-точкового сигналу можливо знайти як
Цей вхідний сигнал можливо ідеально відтворити оберненим гааровим перетворенням
Див. також
- Знижування розмірності
- [en]
- Перетворення Уолша
- Вейвлет
- [en]
- Сигнал
- Гаароподібна ознака
- [en]
- [en]
Примітки
- Haar, 1910, с. 361.
- Lee, B.; Tarng, Y. S. (1999). Application of the discrete wavelet transform to the monitoring of tool failure in end milling using the spindle motor current. International Journal of Advanced Manufacturing Technology. 15 (4): 238—243. doi:10.1007/s001700050062. S2CID 109908427. (англ.)
- На відміну від попереднього твердження, цей факт не очевидний: див. Haar, 1910, с. 363.
- Vidakovic, Brani (2010). Statistical Modeling by Wavelets. Wiley Series in Probability and Statistics (вид. 2). с. 60, 63. doi:10.1002/9780470317020. ISBN . (англ.)
- див с. 3 у [en], L. Tzafriri, (1977), «Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces», Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92, Berlin: Springer-Verlag, . (англ.)
- Цей результат завдячує [en], A remarkable series of orthogonal functions (I), Proc. London Math. Soc. 34 (1931) pp. 241—264. (англ.) Див. також с. 155 в J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979), «Classical Banach spaces II, Function spaces». Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 97, Berlin: Springer-Verlag, . (нім.)
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), system Orthogonal system, Математична енциклопедія, , ISBN
- Walter, Gilbert G.; Shen, Xiaoping (2001). Wavelets and Other Orthogonal Systems. Boca Raton: Chapman. ISBN . (англ.)
- див., наприклад, с. 66 в [en], L. Tzafriri, (1977), «Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces», Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92, Berlin: Springer-Verlag, . (англ.)
- Faber, Georg (1910), «Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar», Deutsche Math.-Ver (in German) 19: 104–112. ISSN 0012-0456; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553 (нім.)
- Schauder, Juliusz (1928), «Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems», Mathematische Zeitschrift 28: 317–320. (нім.)
- Golubov, B.I. (2001), system Faber–Schauder system, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN (англ.)
- див. Z. Ciesielski, Properties of the orthonormal Franklin system. Studia Math. 23 1963 141—157. (англ.)
- Franklin system. B.I. Golubov (originator), Encyclopedia of Mathematics. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655 (англ.)
- Philip Franklin, A set of continuous orthogonal functions, Math. Ann. 100 (1928), 522—529. DOI:10.1007/BF01448860 (англ.)
- S. V. Bočkarev, Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc, and some properties of Franklin's system. Mat. Sb. 95 (1974), 3–18 (Russian). Translated in Math. USSR-Sb. 24 (1974), 1–16. (англ.) (рос.)
- Це питання з'являється на с. 238, § 3 у книзі Банаха, Banach, Stefan (1932), Théorie des opérations linéaires, Monografie Matematyczne, т. 1, Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej, Zbl 0005.20901 (фр.). Кругова алгебра A(D) з'являється як приклад 10, с. 12 книги Банаха.
- Див. с. 161, III.D.20 та с. 192, III.E.17 в Wojtaszczyk, Przemysław (1991), Banach spaces for analysts, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 25, Cambridge: Cambridge University Press, с. xiv+382, ISBN (англ.)
- Ruch, David K.; Van Fleet, Patrick J. (2009). Wavelet Theory: An Elementary Approach with Applications. John Wiley & Sons. ISBN . (англ.)
- . Fourier.eng.hmc.edu. 30 жовтня 2013. Архів оригіналу за 21 серпня 2012. Процитовано 23 листопада 2013. (англ.)
- The Haar Transform (англ.)
Література
- (1910), Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Mathematische Annalen, 69 (3): 331—371, doi:10.1007/BF01456326, hdl:2027/uc1.b2619563, S2CID 120024038 (нім.)
- Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, (англ.)
- Англомовний переклад засадничої праці Гаара: (англ.)
Посилання
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Гаарів вейвлет |
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), system Haar system, Математична енциклопедія, , ISBN
- Free Haar wavelet filtering implementation and interactive demo
- Free Haar wavelet denoising and lossy signal compression
Гаарове перетворення
- Kingsbury, Nick. . Архів оригіналу за 19 квітня 2006. (англ.)
- Eck, David (31 січня 2006). Haar Transform Demo Applets. (англ.)
- Ames, Greg (7 грудня 2002). (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 25 січня 2011. (англ.)
- Aaron, Anne; Hill, Michael; Srivatsa, Anand (6/1/2000). . Архів оригіналу за 18 березня 2008. (англ.)
- Wang, Ruye (4 грудня 2008). . Архів оригіналу за 21 серпня 2012. (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici Ga ariv vejvle t angl Haar wavelet ce poslidovnist peremasshtabovanih funkcij kvadratnoyi formi yaki razom utvoryuyut vejvletne simejstvo abo bazis Vejvletnij analiz podibnij do analizu Fur ye tim sho dozvolyaye cilovij funkciyi nad intervalom buti podanoyu v terminah ortonormovanogo bazisu Gaarovu poslidovnist teper viznayut yak pershij vidomij vejvletnij bazis ta shiroko vikoristovuyut yak navchalnij priklad Gaariv vejvlet Ga arovu poslido vnist angl Haar sequence zaproponuvav 1909 roku en Vin vikoristav ci funkciyi shobi navesti priklad ortonormovanoyi sistemi dlya prostoru en na odinichnomu intervali 0 1 Doslidzhennya vejvletiv i navit sam termin vejvlet z yavilisya nabagato piznishe Yak okremij vipadok vejvletiv Dobeshi gaariv vejvlet vidomij takozh yak Db1 Gaariv vejvlet ce takozh najprostishij vejvlet iz mozhlivih Tehnichnij nedolik gaarovogo vejvleta polyagaye v tomu sho vin ne neperervnij a vidtak i ne diferencijovnij Cya vlastivist prote mozhe buti perevagoyu dlya analizu signaliv iz raptovimi perehodami diskretnih signaliv takih yak vistezhuvannya polomki instrumenta u verstatah Materinsku funkciyu gaarovogo vejvleta ps t displaystyle psi t mozhlivo opisati yak ps t 1 0 t lt 1 2 1 1 2 t lt 1 0 inakshe displaystyle psi t begin cases 1 quad amp 0 leq t lt frac 1 2 1 amp frac 1 2 leq t lt 1 0 amp mbox inakshe end cases Jogo masshtabnu funkciyu f t displaystyle varphi t mozhlivo opisati yak f t 1 0 t lt 1 0 inakshe displaystyle varphi t begin cases 1 quad amp 0 leq t lt 1 0 amp mbox inakshe end cases Gaarovi funkciyi ta gaarova sistemaDlya kozhnoyi pari cilih chisel n k iz Z displaystyle mathbb Z ga arovu fu nkciyu angl Haar function psn k viznachayut na dijsnij pryamij R displaystyle mathbb R formuloyu ps n k t 2 n 2 ps 2 n t k t R displaystyle psi n k t 2 n 2 psi 2 n t k quad t in mathbb R Nosiyem ciyeyi funkciyi ye napivvidkritij pravoruch promizhok In k k2 n k 1 2 n tobto vona peretvoryuyetsya na nul za jogo mezhami Vona maye integral 0 ta normu 1 u gilbertovomu prostori L2 R displaystyle mathbb R R ps n k t d t 0 ps n k L 2 R 2 R ps n k t 2 d t 1 displaystyle int mathbb R psi n k t dt 0 quad psi n k L 2 mathbb R 2 int mathbb R psi n k t 2 dt 1 Gaarovi funkciyi poparno ortogonalni R ps n 1 k 1 t ps n 2 k 2 t d t d n 1 n 2 d k 1 k 2 displaystyle int mathbb R psi n 1 k 1 t psi n 2 k 2 t dt delta n 1 n 2 delta k 1 k 2 de d i j displaystyle delta ij podaye deltu Kronekera Prichina ortogonalnosti tut taka koli dva intervali nosiyi I n 1 k 1 displaystyle I n 1 k 1 ta I n 2 k 2 displaystyle I n 2 k 2 ne rivni to voni abo ne peretinayutsya abo menshij iz dvoh nosiyiv skazhimo I n 1 k 1 displaystyle I n 1 k 1 mistitsya v nizhnij abo verhnij polovini inshogo intervalu na yakomu funkciya ps n 2 k 2 displaystyle psi n 2 k 2 lishayetsya staloyu Todi vihodit sho dobutok cih dvoh gaarovih funkcij kratnij pershij gaarovoyi funkciyi tozh cej dobutok maye integral 0 Ga arova siste ma angl Haar system na dijsnij pryamij ce mnozhina funkcij 1 ps n k t n Z k Z displaystyle 1 cup psi n k t n in mathbb Z k in mathbb Z Vona povna v L2 R displaystyle mathbb R Gaarova sistema na pryamij ce ortonormovanij bazis v L2 R displaystyle mathbb R Vlastivosti gaarovogo vejvletaGaariv vejvlet maye dekilka viznachnih vlastivostej Bud yaku neperervnu dijsnoznachnu funkciyu z kompaktnim nosiyem mozhlivo rivnomirno nabliziti linijnimi kombinaciyami f t f 2 t f 4 t f 2 n t displaystyle varphi t varphi 2t varphi 4t dots varphi 2 n t dots ta yihnih zmishenih funkcij Ce poshiryuyetsya na ti funkcijni prostori bud yaku funkciyu v yakih mozhlivo nabliziti neperervnimi funkciyami Bud yaku neperervnu dijsnu funkciyu na 0 1 mozhlivo rivnomirno nabliziti na 0 1 linijnimi kombinaciyami staloyi funkciyi 1 ps t ps 2 t ps 4 t ps 2 n t displaystyle psi t psi 2t psi 4t dots psi 2 n t dots ta yihnih zmishenih funkcij Ortogonalnist viglyadu 2 n n 1 2 ps 2 n t k ps 2 n 1 t k 1 d t d n n 1 d k k 1 displaystyle int infty infty 2 n n 1 2 psi 2 n t k psi 2 n 1 t k 1 dt delta nn 1 delta kk 1 Tut d i j displaystyle delta ij podaye deltu Kronekera Dvoyista funkciya ps t ce sama ps t Vejvletni masshtabni funkciyi z riznim masshtabom n mayut funkcijnij vzayemozv yazok oskilki f t f 2 t f 2 t 1 ps t f 2 t f 2 t 1 displaystyle begin aligned varphi t amp varphi 2t varphi 2t 1 2em psi t amp varphi 2t varphi 2t 1 end aligned to vihodit sho koeficiyenti masshtabu n mozhlivo obchislyuvati cherez koeficiyenti masshtabu n 1 Yaksho x w k n 2 n 2 x t f 2 n t k d t displaystyle chi w k n 2 n 2 int infty infty x t varphi 2 n t k dt ta X w k n 2 n 2 x t ps 2 n t k d t displaystyle mathrm X w k n 2 n 2 int infty infty x t psi 2 n t k dt to x w k n 2 1 2 x w 2 k n 1 x w 2 k 1 n 1 displaystyle chi w k n 2 1 2 bigl chi w 2k n 1 chi w 2k 1 n 1 bigr X w k n 2 1 2 x w 2 k n 1 x w 2 k 1 n 1 displaystyle mathrm X w k n 2 1 2 bigl chi w 2k n 1 chi w 2k 1 n 1 bigr Gaarova sistema na odinichnomu intervali ta pov yazani sistemiU comu rozdili obgovorennya obmezheno odinichnim intervalom 0 1 ta gaarovimi funkciyami vidminnimi vid nulya na 0 1 Sistema funkcij rozglyanuta Gaarom 1910 roku zvana v cij statti ga arovoyu siste moyu na 0 1 skladayetsya z pidmnozhini gaarovih vejvletiv viznachenih yak t 0 1 ps n k t n N 0 0 k lt 2 n displaystyle t in 0 1 mapsto psi n k t n in mathbb N cup 0 0 leq k lt 2 n z dodavannyam staloyi funkciyi 1 na 0 1 V terminah gilbertovogo prostoru cya gaarova sistema na 0 1 ye povnoyu ortonormovanoyu sistemoyu tobto ortonormovanim bazisom dlya prostoru L2 0 1 kvadratichno integrovnih funkcij na odinichnomu intervali Gaarova sistema na 0 1 zi staloyu funkciyeyu 1 yak pershim elementom za yakim sliduyut gaarovi funkciyi vporyadkovani za leksikografichnim poryadkom par n k ye takozh en en dlya prostoru Lp 0 1 koli 1 p lt Cej bazis en koli 1 lt p lt Isnuye pov yazana en yaka skladayetsya z sum gaarovih funkcij r n t 2 n 2 k 0 2 n 1 ps n k t t 0 1 n 0 displaystyle r n t 2 n 2 sum k 0 2 n 1 psi n k t quad t in 0 1 n geq 0 Zauvazhte sho rn t 1 na 0 1 Ce ortonormovana sistema ale ne povna Movoyu teoriyi jmovirnostej poslidovnist Rademahera ce primirnik poslidovnosti nezalezhnih vipadkovih velichin Bernulli z serednim 0 en virazhaye toj fakt sho v usih prostorah Lp 0 1 1 p lt poslidovnist Rademahera en bazisu odinichnogo vektora v ℓ2 Zokrema en poslidovnosti Rademahera v Lp 0 1 1 p lt en z ℓ2 Sistema Fabera Shaudera Siste ma Fa bera Sha udera angl Faber Schauder system ce sistema neperervnih funkcij na 0 1 yaka skladayetsya zi staloyi funkciyi 1 ta kratnih neviznachenih integraliv funkcij gaarovoyi sistemi na 0 1 obranih tak shobi mati normu 1 v maksimum normi Cya sistema pochinayetsya z s0 1 todi s1 t t neviznachenij integral yakij shodit na 0 funkciyi 1 pershogo elementa gaarovoyi sistemi na 0 1 Dali dlya kozhnogo cilogo n 0 funkciyi sn k viznacheno formuloyu s n k t 2 1 n 2 0 t ps n k u d u t 0 1 0 k lt 2 n displaystyle s n k t 2 1 n 2 int 0 t psi n k u du quad t in 0 1 0 leq k lt 2 n Ci funkciyi sn k neperervni vidtinkovo linijni vidminni vid nulya na intervali In k na yakomu takozh vidminni vid nulya psn k Funkciya sn k dorivnyuye 1 u seredinnij tochci xn k intervalu In k liinjna na oboh polovinah cogo intervalu Vona vsyudi nabuvaye znachen mizh 0 ta 1 Sistema Fabera Shaudera ce en dlya prostoru C 0 1 neperevnih funkcij na 0 1 Dlya kozhnoyi f z C 0 1 chastinna suma f n 1 a 0 s 0 a 1 s 1 m 0 n 1 k 0 2 m 1 a m k s m k C 0 1 displaystyle f n 1 a 0 s 0 a 1 s 1 sum m 0 n 1 Bigl sum k 0 2 m 1 a m k s m k Bigr in C 0 1 rozkladu f en u sistemi Fabera Shaudera ce neperervna vidtinkovo linijna funkciya yaka zbigayetsya z f v 2n 1 tochkah k2 n de 0 k 2n Dali formula f n 2 f n 1 k 0 2 n 1 f x n k f n 1 x n k s n k k 0 2 n 1 a n k s n k displaystyle f n 2 f n 1 sum k 0 2 n 1 bigl f x n k f n 1 x n k bigr s n k sum k 0 2 n 1 a n k s n k proponuye sposib pokrokovogo obchislennya rozkladu f Oskilki f rivnomirno neperervna poslidovnist fn rivnomirno zbigayetsya do f Zvidsi viplivaye sho rozklad f u ryad u sistemi Fabera Shaudera zbigayetsya v C 0 1 a suma cogo ryadu dorivnyuye f Sistema Franklina Siste mu Fra nklina angl Franklin system otrimuyut iz sistemi Fabera Shaudera ortonormuvalnoyu proceduroyu Grama Shmidta Oskilki sistema Franklina maye taku zhe linijnu obolonku yak i sistema Fabera Shaudera cya obolonka shilna v C 0 1 a otzhe j u L2 0 1 Tomu sistema Franklina ye ortonormalnim bazisom dlya L2 0 1 yakij skladayetsya z neperervnih vidtinkovo linijnih funkcij F Franklin doviv 1928 roku sho cya sistema ye bazisom Shaudera dlya C 0 1 Sistema Franklina ye takozh bezumovnim bazisom Shaudera dlya prostoru Lp 0 1 koli 1 lt p lt Sistema Franklina zabezpechuye bazis Shaudera v en utochniti termin A D Ce doviv 1974 roku Bochkarev pislya togo yak isnuvannya bazisu dlya krugovoyi algebri zalishalosya vidkritim pitannyam protyagom ponad soroka rokiv Pobudova Bochkareva bazisa Shaudera v A D vidbuvayetsya tak nehaj f kompleksnoznachna lipshiceva funkciya na 0 p todi f suma kosinusnogo ryadu z absolyutno sumovnimi koeficiyentami Nehaj T f element A D viznachenij kompleksnim stepenevim ryadom z takimi zhe koeficiyentami f x 0 p n 0 a n cos n x T f z n 0 a n z n z 1 displaystyle left f x in 0 pi rightarrow sum n 0 infty a n cos nx right longrightarrow left T f z rightarrow sum n 0 infty a n z n quad z leq 1 right Bazis Bochkareva dlya A D utvoryuyut obrazi pid T funkcij sistemi Franklina na 0 p Ekvivalentnij opis Bochkareva dlya vidobrazhennya T pochinayetsya z rozshirennya f do parnoyi lipshicevoyi funkciyi g1 na p p ototozhnyuvanoyi z lipshicevoyu funkciyeyu na odinichnomu koli T Dali pokladimo sho g2 en g1 i viznachmo T f yak funkciyu v A D chiye znachennya na mezhi T kruga D dorivnyuye g1 ig2 Mayuchi spravu z 1 periodichnimi neperervnimi funkciyami a tochnishe z takimi neperervnimi funkciyami f na 0 1 sho f 0 f 1 mozhlivo viluchiti funkciyu s1 t t z sistemi Fabera Shaudera shob otrimati periodi chnu siste mu Fa bera Sha udera angl periodic Faber Schauder system Periodi chnu siste mu Fra nklina angl periodic Franklin system otrimuyut z periodichnoyi sistemi Fabera Shaudera shlyahom ortonormuvannya Rezultat Bochkareva na A D mozhlivo dovesti dovivshi sho periodichna sistema Franklina na 0 2p ye bazisom dlya banahovogo prostoru Ar izomorfnogo A D Prostir Ar skladayetsya z kompleksnih neperervnih funkcij na odinichnomu koli T chiyi en takozh neperervni Gaarova matricyaPov yazana z gaarovim vejvletom gaarova matricya angl Haar matrix 2 2 maye viglyad H 2 1 1 1 1 displaystyle H 2 begin bmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end bmatrix Vikoristovuyuchi en mozhlivo peretvoriti bud yaku poslidovnist a 0 a 1 a 2 n a 2 n 1 displaystyle a 0 a 1 dots a 2n a 2n 1 parnoyi dovzhini na poslidovnist dvoskladovih vektoriv a 0 a 1 a 2 a 3 a 2 n a 2 n 1 displaystyle left left a 0 a 1 right left a 2 a 3 right dots left a 2n a 2n 1 right right Yaksho kozhen vektor domnozhiti pravoruch na matricyu H 2 displaystyle H 2 bude otrimano rezultat s 0 d 0 s n d n displaystyle left left s 0 d 0 right dots left s n d n right right odnogo etapu shvidkogo gaarovo vejvletnogo peretvorennya angl fast Haar wavelet transform Zazvichaj poslidovnosti s ta d rozdilyayut i prodovzhuyut peretvoryuvati poslidovnist s Poslidovnist s chasto nazivayut chastinoyu userednen todi yak d vidoma yak chastina detalej Yaksho mayut poslidovnist dovzhini kratnoyi chotirom to mozhlivo pobuduvati bloki z 4 elementiv ta peretvoryuvati yih podibnim chinom za dopomogoyu gaarovoyi matrici 4 4 H 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 displaystyle H 4 begin bmatrix 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 1 end bmatrix yaka poyednuye dva etapi shvidkogo gaarovo vejvletnogo peretvorennya Porivnyajte z en yaka ye nelokalizovanoyu matriceyu 1 1 Zagalom gaarovu matricyu 2N 2N mozhlivo vivesti nastupnim rivnyannyam H 2 N H N 1 1 I N 1 1 displaystyle H 2N begin bmatrix H N otimes 1 1 I N otimes 1 1 end bmatrix de I N 1 0 0 0 1 0 0 0 1 displaystyle I N begin bmatrix 1 amp 0 amp dots amp 0 0 amp 1 amp dots amp 0 vdots amp vdots amp ddots amp vdots 0 amp 0 amp dots amp 1 end bmatrix a displaystyle otimes dobutok Kronekera Dobutok Kronekera A B displaystyle A otimes B de A displaystyle A ce matricya m n a B displaystyle B matricya p q virazhayut yak A B a 11 B a 1 n B a m 1 B a m n B displaystyle A otimes B begin bmatrix a 11 B amp dots amp a 1n B vdots amp ddots amp vdots a m1 B amp dots amp a mn B end bmatrix Nizhche pokazano nevnormovanu 8 tochkovu gaarovu matricyu H 8 displaystyle H 8 H 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 displaystyle H 8 begin bmatrix 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 1 amp 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 1 amp 1 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 0 amp 1 amp 1 end bmatrix Zauvazhte sho navedena vishe matricya ce nevnormovana gaarova matricya Gaarovu matricyu yakoyi vimagaye gaarove peretvorennya potribno unormovuvati Z viznachennya gaarovoyi matrici H displaystyle H mozhlivo pobachiti sho na vidminu vid peretvorennya Fur ye H displaystyle H maye lishe dijsni elementi tobto 1 1 ta 0 i ne simetrichna Vizmimo 8 tochkovu gaarovu matricyu yak priklad Pershij ryadok H 8 displaystyle H 8 vimiryuye userednene znachennya a drugij ryadok H 8 displaystyle H 8 vimiryuye nizkochastotnu skladovu vhidnogo vektora Nastupni dva ryadki chutlivi do pershoyi ta drugoyi polovini vhidnogo vektora vidpovidno sho vidpovidaye serednochastotnim skladovim Reshta chotiri ryadki chutlivi do chvertinnih dilyanok vhidnogo vektora sho vidpovidaye visokochastotnim skladovim Gaarove peretvorennyaGa arove peretvo rennya angl Haar transform ce najprostishe vejvletne peretvorennya Ce peretvorennya perehresno mnozhit funkciyu na gaariv vejvlet z riznimi zmishennyami ta roztyaguvannyami yak peretvorennya Fur ye perehresno mnozhit funkciyu na hvilyu sinusoyidi z dvoma fazami ta bagatma roztyaguvannyami proyasniti kom Vvedennya Gaarove peretvorennya ce odna z najstarishih funkcij peretvoren zaproponovana 1910 roku ugorskim matematikom en Vona efektivna v takih zastosuvannyah yak stiskannya signaliv ta zobrazhen v elektrichnij ta komp yuternij inzheneriyi oskilki proponuye prostij ta obchislyuvalno efektivnij pidhid dlya analizu lokalnih aspektiv signalu Gaarove peretvorennya pohidne vid gaarovoyi matrici Nizhche pokazano priklad matrici gaarovogo peretvorennya 4 4 H 4 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 2 2 displaystyle H 4 frac 1 2 begin bmatrix 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 sqrt 2 amp sqrt 2 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp sqrt 2 amp sqrt 2 end bmatrix Gaarove peretvorennya mozhlivo rozglyadati yak proces diskretizaciyi v yakomu ryadki matrici peretvorennya diyut yak vibirki iz shorazu tonshoyu rozdilnistyu Porivnyajte z peretvorennyam Uolsha yake takozh 1 1 ale ne lokalizovane Vlastivosti Gaarove peretvorennya maye nastupni vlastivosti Vidsutnist potrebi v mnozhennyah Vono vimagaye lishe dodavan i v gaarovij matrici bagato elementiv z nulvoim znachennyam tozh obchislennya ye netrivalim Vono shvidshe za peretvorennya Uolsha chiya matricya skladayetsya z 1 ta 1 Dovzhini vhodu ta vihodu odnakovi Prote cya dovzhina povinna buti stepenem 2 tobto N 2 k k N displaystyle N 2 k k in mathbb N Jogo mozhlivo vikoristovuvati dlya analizu lokalizovanoyi oznaki signaliv Zavdyaki ortogonalnij vlastivosti gaarovoyi funkciyi mozhlivo analizuvati chastotni skladovi vhidnogo signalu Gaarove ta obernene gaarove peretvorennya Gaarove peretvorennya yn n vhodovoyi funkciyi xn ce y n H n x n displaystyle y n H n x n Matricya gaarovogo peretvorennya dijsna ta ortogonalna Tozh obernene gaarove peretvorennya angl inverse Haar transform mozhlivo otrimati nastupnimi rivnyannyami H H H 1 H T displaystyle H H H 1 H T tobto H H T I displaystyle HH T I de I displaystyle I odinichna matricya Napriklad koli n 4 H 4 T H 4 1 2 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 0 2 1 1 0 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 displaystyle H 4 T H 4 frac 1 2 begin bmatrix 1 amp 1 amp sqrt 2 amp 0 1 amp 1 amp sqrt 2 amp 0 1 amp 1 amp 0 amp sqrt 2 1 amp 1 amp 0 amp sqrt 2 end bmatrix cdot frac 1 2 begin bmatrix 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 sqrt 2 amp sqrt 2 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp sqrt 2 amp sqrt 2 end bmatrix begin bmatrix 1 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp 1 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end bmatrix Tozh obernene gaarove peretvorennya ce x n H T y n displaystyle x n H T y n Priklad Koeficiyenti gaarovogo peretvorennya n 4 tochkovogo signalu x 4 1 2 3 4 T displaystyle x 4 1 2 3 4 T mozhlivo znajti yak y 4 H 4 x 4 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 2 2 1 2 3 4 5 2 1 2 1 2 displaystyle y 4 H 4 x 4 frac 1 2 begin bmatrix 1 amp 1 amp 1 amp 1 1 amp 1 amp 1 amp 1 sqrt 2 amp sqrt 2 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp sqrt 2 amp sqrt 2 end bmatrix begin bmatrix 1 2 3 4 end bmatrix begin bmatrix 5 2 1 sqrt 2 1 sqrt 2 end bmatrix Cej vhidnij signal mozhlivo idealno vidtvoriti obernenim gaarovim peretvorennyam x 4 H 4 T y 4 1 2 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 0 2 1 1 0 2 5 2 1 2 1 2 1 2 3 4 displaystyle hat x 4 H 4 T y 4 frac 1 2 begin bmatrix 1 amp 1 amp sqrt 2 amp 0 1 amp 1 amp sqrt 2 amp 0 1 amp 1 amp 0 amp sqrt 2 1 amp 1 amp 0 amp sqrt 2 end bmatrix begin bmatrix 5 2 1 sqrt 2 1 sqrt 2 end bmatrix begin bmatrix 1 2 3 4 end bmatrix Div takozhZnizhuvannya rozmirnosti en Peretvorennya Uolsha Vejvlet en Signal Gaaropodibna oznaka en en PrimitkiHaar 1910 s 361 Lee B Tarng Y S 1999 Application of the discrete wavelet transform to the monitoring of tool failure in end milling using the spindle motor current International Journal of Advanced Manufacturing Technology 15 4 238 243 doi 10 1007 s001700050062 S2CID 109908427 angl Na vidminu vid poperednogo tverdzhennya cej fakt ne ochevidnij div Haar 1910 s 363 Vidakovic Brani 2010 Statistical Modeling by Wavelets Wiley Series in Probability and Statistics vid 2 s 60 63 doi 10 1002 9780470317020 ISBN 9780470317020 angl div s 3 u en L Tzafriri 1977 Classical Banach Spaces I Sequence Spaces Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 Berlin Springer Verlag ISBN 3 540 08072 4 angl Cej rezultat zavdyachuye en A remarkable series of orthogonal functions I Proc London Math Soc 34 1931 pp 241 264 angl Div takozh s 155 v J Lindenstrauss L Tzafriri 1979 Classical Banach spaces II Function spaces Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 97 Berlin Springer Verlag ISBN 3 540 08888 1 nim Hazewinkel Michiel red 2001 system Orthogonal system Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Walter Gilbert G Shen Xiaoping 2001 Wavelets and Other Orthogonal Systems Boca Raton Chapman ISBN 1 58488 227 1 angl div napriklad s 66 v en L Tzafriri 1977 Classical Banach Spaces I Sequence Spaces Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 Berlin Springer Verlag ISBN 3 540 08072 4 angl Faber Georg 1910 Uber die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar Deutsche Math Ver in German 19 104 112 ISSN 0012 0456 http www gdz sub uni goettingen de cgi bin digbib cgi PPN37721857X http resolver sub uni goettingen de purl GDZPPN002122553 nim Schauder Juliusz 1928 Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems Mathematische Zeitschrift 28 317 320 nim Golubov B I 2001 system Faber Schauder system u Hazewinkel Michiel red Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 angl div Z Ciesielski Properties of the orthonormal Franklin system Studia Math 23 1963 141 157 angl Franklin system B I Golubov originator Encyclopedia of Mathematics URL http www encyclopediaofmath org index php title Franklin system amp oldid 16655 angl Philip Franklin A set of continuous orthogonal functions Math Ann 100 1928 522 529 DOI 10 1007 BF01448860 angl S V Bockarev Existence of a basis in the space of functions analytic in the disc and some properties of Franklin s system Mat Sb 95 1974 3 18 Russian Translated in Math USSR Sb 24 1974 1 16 angl ros Ce pitannya z yavlyayetsya na s 238 3 u knizi Banaha Banach Stefan 1932 Theorie des operations lineaires Monografie Matematyczne t 1 Warszawa Subwencji Funduszu Kultury Narodowej Zbl 0005 20901 fr Krugova algebra A D z yavlyayetsya yak priklad 10 s 12 knigi Banaha Div s 161 III D 20 ta s 192 III E 17 v Wojtaszczyk Przemyslaw 1991 Banach spaces for analysts Cambridge Studies in Advanced Mathematics t 25 Cambridge Cambridge University Press s xiv 382 ISBN 0 521 35618 0 angl Ruch David K Van Fleet Patrick J 2009 Wavelet Theory An Elementary Approach with Applications John Wiley amp Sons ISBN 978 0 470 38840 2 angl Fourier eng hmc edu 30 zhovtnya 2013 Arhiv originalu za 21 serpnya 2012 Procitovano 23 listopada 2013 angl The Haar Transform angl Literatura 1910 Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme Mathematische Annalen 69 3 331 371 doi 10 1007 BF01456326 hdl 2027 uc1 b2619563 S2CID 120024038 nim Charles K Chui An Introduction to Wavelets 1992 Academic Press San Diego ISBN 0 585 47090 1 angl Anglomovnij pereklad zasadnichoyi praci Gaara angl PosilannyaVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Gaariv vejvlet Hazewinkel Michiel red 2001 system Haar system Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Free Haar wavelet filtering implementation and interactive demo Free Haar wavelet denoising and lossy signal compression Gaarove peretvorennya Kingsbury Nick Arhiv originalu za 19 kvitnya 2006 angl Eck David 31 sichnya 2006 Haar Transform Demo Applets angl Ames Greg 7 grudnya 2002 PDF Arhiv originalu PDF za 25 sichnya 2011 angl Aaron Anne Hill Michael Srivatsa Anand 6 1 2000 Arhiv originalu za 18 bereznya 2008 angl Wang Ruye 4 grudnya 2008 Arhiv originalu za 21 serpnya 2012 angl