Вейвлетне перетворення

В математиці, серії вейвлетів є подання ^[en] (дійсні або комплексні значення) функції за певною ортонормованої серії, породженої вейвлетом. В даний час, вейвлет-перетворення є одним з найпопулярніших тимчасових частот-перетворювань. У даній статті наводиться формальне та математичне визначення ортонормованого вейвлета, та інтегрального вейвлет-перетворення.

Приклад 2D ^[en], яке використовується в JPEG 2000.

Визначення

Функція ${\displaystyle \scriptstyle \psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )}$ називається ортонормованим вейвлетом, якщо її можна використати для визначення базису Гільберта, тобто повна ортонормована система, для Гільбертого простору ${\displaystyle \scriptstyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$ ^[en]. Базис Гільберта будується як сімейство функцій ${\displaystyle \scriptstyle \{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}}$ за допомогою двійкових перенесень і ^[en] ${\displaystyle \scriptstyle \psi \,}$,

${\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}x-k\right)\,}$ для цілих j, k. Якщо під стандартним передгільбертовим простором на ${\displaystyle \scriptstyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$,

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}dx}$ то це сімейство ортонормоване і його система теж ортонормована: :${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx\\&=\delta _{jl}\delta _{km}\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle \scriptstyle \delta _{jl}\,}$, є дельта Кронекера. Повнота виконується, якщо кожна функція ${\displaystyle \scriptstyle h\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}$ може бути розширена в базисі як

${\displaystyle h(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)}$

із збіжності рядів розуміється збіжність по нормі. Таке уявлення функції f відомо як серія вейвлета. Це означає, що ортонормований вейвлет ^[en]. Інтегральне вейвлет-перетворення є інтегральним перетворенням і визначається як : ${\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)}}f(x)dx\,}$. Коефіцієнти вейвлетів ${\displaystyle \scriptstyle c_{jk}}$ отримуються з формули: ${\displaystyle c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)}$ Тут, ${\displaystyle \scriptstyle a\;=\;2^{-j}}$ називається бінарним розширенням або двійковим розширенням, і ${\displaystyle \scriptstyle b\;=\;k2^{-j}}$ це бінарна або двійкова позиція.

Принцип

Основна ідея вейвлет-перетворень є те, що перетворення має дозволити тільки зміни в продовження часу, але не форму. Це залежить від вибору відповідних базисних функцій, які дозволяють це. Зміни в продовження часу, як очікується, відповідають відповідній частоті аналізу функції базису. Виходячи з принципу невизначеності обробки сигналів:${\displaystyle \Delta t\Delta \omega \geqq {\frac {1}{2}}}$, де t представляє час і ω кутову частоту; (ω = 2πf, де f є тимчасова частота). Чим вище необхідний дозвіл в часі, тим нижче має бути дозвіл по частоті. Чим більше вибрано розширення вікна аналізу, тим більше величина .

Коли Δt велике,

1. Поганий дозвіл за часом.
2. Гарний дозвіл по частоті.
3. Низька частота, великий коефіцієнт масштабування.

Коли Δt мала

1. Гарний дозвіл за часом.
2. Поганий дозвіл по частоті.
3. Висока частота, малий коефіцієнт масштабування.

Іншими словами, базову функцію Ψ можна розглядати як імпульсний відгук системи, з якою функція х(t) була відфільтрована. Перетворений сигнал містить інформацію про час і частоту. Таким чином, вейвлет-перетворення містить інформацію, аналогічну до віконного Фур'є-перетворення, але з додатковими спеціальними властивостями вейвлетів, які з'являються в вирішенні під час більш високих частотах аналізу базисної функції. Різниця в дозволі часу на висхідних частотах для перетворення Фур'є і вейвлет-перетворення показано нижче.

Можна побачити, що вейвлет-перетворення кращий в дозволі часу високих частот, в той час як для повільно мінливих функцій, важливий дозвіл по частоті. Інший приклад: Аналіз трьох накладених один на одного синусоїдальних сигналів ${\displaystyle \scriptstyle y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)}$, з STFT і вейвлет-перетворенням.

Вейвлет стиснення

Вейвлет стиснення є формою стиснення даних, яка добре підходить для стиснення зображень (іноді також стиснення відео і аудіо стиснення). Помітні реалізацій JPEG 2000, DjVu і нерухомих зображень, ^[en] і BBC's ^[en]. Мета полягає в тому, щоб зберігати дані зображення, зайнявши, при цьому як менше місця, наскільки це можливо в файлі. Вейвлет стиснення може бути або без втрат, або з втратами.

За допомогою вейвлет-перетворення, методи вейвлет стиснення є достатніми для подання перехідних процесів, таких як ударні звуки в аудіо, або високочастотні компоненти в двовимірних зображень, наприклад, зображення зірок на нічному небі. Це означає, що перехідні елементи даних сигналу можуть бути представлені меншою кількістю інформації, ніж було б у разі використання якої-небудь іншої трансформації, наприклад широкого дискретного косинусного перетворення.

Дискретне вейвлет-перетворення було успішно застосовано для стиснення електрокардіографічних (ЕКГ) сигналів. У даній роботі, висока кореляція між відповідними вейвлет-коефіцієнтами сигналів послідовних серцевих циклів і використовуються лінійне передбачення з використанням.

Вейвлет стиснення не підходить для всіх видів даних: перехідні характеристики сигналу означають гарне стиснення вейвлета, в той час як гладкі, періодичні сигнали краще стискаються за допомогою інших методів, зокрема, традиційна гармоніка стиснення (частотна область, за допомогою перетворень Фур'є і пов'язаними з ними).

Дивись Щоденник x264 Розробник: Проблеми з вейвлетами (2010) (Diary Of An x264 Developer: The problems with wavelets) для обговорення практичних питань існуючих методів з використанням вейвлетів для стиснення відео.

Метод

Перше вейвлет-перетворення було прикладним. Він виробляє стільки коефіцієнтів, скільки пікселів у зображенні (тобто, немає ніякого стиснення, оскільки це тільки перетворення). Ці коефіцієнти можна легше стиснути, тому що загальна матриця містить надлишкову інформацію, а значення їх — статистично залежні. Цей принцип називається ^[en]. Після цього коефіцієнти квантуються і квантовані значення ентропійно кодуються і / або кодується довжина послідовності. Декілька 1D і 2D застосувань вейвлет-стиснення використовують технологію, яка називається «вейвлетний слід» (англ. wavelet footprints).

Порівняння з перетворенням Фур'є та частотно-часового аналізу

Перетворення	Представлення	Вхідні дані
Перетворення Фур'є	${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx}$	ξ, частота
Частотно-часовий аналіз	${\displaystyle X(t,f)}$	t, time; f, частота
Вейвлет-перетворення	${\displaystyle X(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\Psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)}}x(t)\,dt}$	a, масштаб; b, час

Вейвлети мають деякі незначні переваги в порівнянні з Фур'є, наприклад, в скороченні обчислень при розгляді конкретних частот. Проте, вони рідко бувають більш чутливими, і, дійсно, спільний ^[en] — це математично ідентичний до віконного перетворення Фур'є з використанням функції вікна Гаусса. Виняток є при пошуку сигналів відомої синусоїдальної форми (наприклад, серцебиття); в цьому випадку, використовуючи відповідний вейвлет можна перевершити стандартний аналіз STFT / Морлет.

Інші практичні використання

Вейвлет-перетворення може дати нам з частотою сигналів час, пов'язаним з цими частотами, робить його дуже зручним для його застосування в різних областях. Так, наприклад, обробка сигналів прискорень для аналізу ходи, для виявлення несправностей, для дизайну електрокардіостимуляторів низької потужності, а також в надширокосмугових (Сніп) бездротового зв'язку.

1.Дискретизація c-τ осі

Застосовують наступну дискретизацію частоти і часу:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\\tau _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned}}}$

Призводить до форми вейвлетів, яка є дискретна формулою для базису вейвлета: ${\displaystyle \Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T\right]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]}$

Такі дискретні вейвлети можуть бути використані для трансформації:

${\displaystyle Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]}$

2.Реалізація через БПФ (швидке перетворення Фур'є)

Видно з подання вейвлет-перетворення (як показано нижче) :${\displaystyle Y_{W}(c,\tau )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t-\tau }{c}}\right)\,dt}$

де с — коефіцієнт масштабування, τ являє собою фактор зсуву часу і, як вже згадувалися в цьому контексті, вейвлет-перетворення відповідає згортку функції у(t) і вейвлет-функцію]. Згортка може бути реалізована як множення в частотній області. При цьому наступний підхід результатів реалізації в:

1. Фур'є-перетворення сигналу у(к) з FFT.
2. Вибір дискретного коефіцієнта масштабування ${\displaystyle c_{n}}$.
3. Масштабування базису вейвлет-функції за допомогою цього чинника ${\displaystyle c_{n}}$ і результат швидкого перетворення Фур'є цієї функції.
4. Множення з перетвореним сигналом YFFT з першого кроку.

№Зворотне перетворення продукту в результати тимчасової області в Y_W${\displaystyle (c,\tau )}$ для різних дискретних значень τ і дискретне значення ${\displaystyle c_{n}}$. №Повертаємося до другого кроку, до тих пір, поки всі значення дискретного масштабування для ${\displaystyle c_{n}}$ обробляються.

Є багато різних типів вейвлет-перетворення для конкретних цілей. Див. також: повний список вейвлета пов'язаних перетворень, але загальні з них перераховані нижче: ^[en], вейвлет Хаара, Вейвлет, вейвлет Добеші, трикутний імпульс.

Див. також

• Continuous wavelet transform
• ^[en]
• Complex wavelet transform
• ^[en]
• Multiresolution analysis
• MrSID, the image format developed from original wavelet compression research at Los Alamos National Laboratory (LANL).
• ECW (file format), a wavelet-based geospatial image format designed for speed and processing efficiency
• JPEG 2000, вейвлет оснований на стандарті стиснення зображень
• DjVu format uses wavelet-based IW44 algorithm for image compression
• scaleograms, a type of spectrogrm generated using wavelets instead of a short-time Fourier transformтип спектрограми, яка генерується з використанням вейвлетів, замість віконного перетворення Фур'є.
• ^[en]
• Chirplet transform
• Time-frequency representation
• S transform
• Віконне перетворення Фур'є
• Ів Мейєр
• Інгрід Добеші
• ^[en]
• ^[en]

Література

• Вейвлет-перетворення у компресії та попередній обробці зображень / О. В. Капшій, О. І. Коваль, Б. П. Русин ; НАН України, Фіз.-мех. ін-т ім. Г. В. Карпенка. − Л. : Сполом, 2008. − 208 с. : іл. − Бібліогр. : с. 187−203 (238 назв). − .

Примітки

1. JPEG 2000, for example, may use a 5/3 wavelet for lossless (reversible) transform and a 9/7 wavelet for lossy (irreversible) transform.
2. A. G. Ramakrishnan and S. Saha, "ECG coding by wavelet-based linear prediction, " IEEE Trans. Biomed. Eng., Vol. 44, No. 12, pp. 1253—1261, 1977.
3. N. Malmurugan, A. Shanmugam, S. Jayaraman and V. V. Dinesh Chander. "A New and Novel Image Compression Algorithm Using Wavelet Footprints" [Архівовано 19 вересня 2018 у Wayback Machine.]
4. Ho Tatt Wei and Jeoti, V. "A wavelet footprints-based compression scheme for ECG signals". Ho Tatt Wei; Jeoti, V. (2004). A wavelet footprints-based compression scheme for ECG signals. 2004 IEEE Region 10 Conference TENCON 2004. Т. A. с. 283. doi:10.1109/TENCON.2004.1414412. ISBN .
5. Bruns, Andreas (2004). Fourier-, Hilbert- and wavelet-based signal analysis: are they really different approaches?. Journal of Neuroscience Methods. 137 (2): 321—332. doi:10.1016/j.jneumeth.2004.03.002. PMID 15262077.
6. Krantz, Steven G. (1999). A Panorama of Harmonic Analysis. Mathematical Association of America. ISBN .
7. «Novel method for stride length estimation with body area network accelerometers» [Архівовано 6 травня 2016 у Wayback Machine.], IEEE BioWireless 2011, pp. 79-82
8. Liu, Jie (2012). Shannon wavelet spectrum analysis on truncated vibration signals for machine incipient fault detection. Measurement Science and Technology. 23 (5): 1—11. doi:10.1088/0957-0233/23/5/055604.
9. Akansu, A. N.; Serdijn, W. A.; Selesnick, I. W. (2010). Emerging applications of wavelets: A review (PDF). Physical Communication. 3: 1. doi:10.1016/j.phycom.2009.07.001. Архів оригіналу (PDF) за 7 листопада 2017. Процитовано 24 травня 2017.