Вейвлети Добеші (англ. Daubechies wavelet), засновані на роботі Інгрід Добеші, являють собою сімейство [en], що визначають [en] і характеризується максимальною кількістю зникаючих моментів для деякого заданого носія функції. З кожним вейвлетом, який є типом цього класу, є функція масштабування (так званий батько вейвлет, англ. father wavelet), який генерує прямокутний [en].
Властивості
У загальному випадку, вибирають вейвлети Добеші, щоб мати найвище число зникаючих моментів А, (це не означає кращу плавність) для заданої ширини носія функції 2А-1. Використовують дві схеми іменування, DN з використанням довжини, або кількості відводів та dbA з посиланням на число зникаючих моментів. Таким чином, D4 і db2 такі ж вейвлет-перетворення. Серед 2A−1 можливих рішень алгебраїчних рівнянь для моменту і ортогональності умови, то вибирається рішення, у якого масштабуючий фільтр має екстремальну фазу. Вейвлет-перетворення також легко реалізувати на практиці за допомогою [en]. Вейвлети Добеші широко використовуються при вирішенні широкого кола завдань, наприклад, самоподібні властивості сигналу, або фрактальні проблеми, сигнальні розриви і т. д. Вейвлети Добеші не визначені в термінах отриманого масштабування та вейвлет-функцій; насправді, їх не можливо записати в замкненому вигляді. Графіки нижче генеруються з використанням [en], числовий метод, що складається з простого зворотного перетворення [1 0 0 0 0 …] відповідну кількість разів.
масштабування і вейлет функції | |||
діапозон частот спектра ціх функцій |
Слід зазначити, що спектри, показані тут не частотна характеристика високих і низьких частот фільтрів, а скоріше амплітуди безперервних перетворень Фур'є масштабування (синій) і вейвлет-функцій (червоний) . Ортогональні вейвлети Добеші D2-D20 відповідно DB1-DB10 також використовуються. Номер індексу відноситься до числа N коефіцієнтів. Кожен вейвлет має число нульових моментів або зникаючих моментів, які рівні половині числу коефіцієнтів. Так, наприклад, D2 (Гаарів вейвлет) має один зникаючий момент, D4 має два і т. д. Зникаючий момент обмежує здатність вейвлетів представляти поліноміальну поведінку, або інформацію в сигналі. Так, наприклад, D2, з одним моментом, легко кодує поліноми одного коефіцієнта, або постійні складові сигналу. D4 кодує поліноми з двома коефіцієнтами, тобто постійні та лінійні складові сигналу; і D6 кодує 3-поліноми, тобто постійні, лінійні та квадратичні складові сигналу. Ця здатність шифрувати, однак схильна до такого явища, як втрата масштабу, а також відсутність не змінного переміщення, який піднімається від дискретного процесу перемикання (нижче) під час застосування перетворення. Суб-послідовність, яка представляє собою лінійні та квадратичні складові сигналу (наприклад), по різному оброблюється перетворенням, в залежності від вирівнювання точки з парним, або непарним розташуванням в послідовності. Відсутність важливої властивості незмінного переміщення, призвела до розробки декількох різних версій [en].
Побудова
І послідовність масштабування (фільтр нижніх частот), і послідовність вейвлета (смуговий фільтр) (див. [en] для деталей цієї конструкції) будуть нормалізовані, щоб мати суму, еквівалентну 2 і суму квадратів рівну 2. У деяких випадках їх нормалізують, для того, щоб мати суму , так що обидві послідовності і всі їх переміщення парним числом коефіцієнтів, ортонормовані один до одного. Використовуючи загальне уявлення для послідовності масштабування ортогонального дискретного вейвлет-перетворення з порядком апроксимації А, з N = 2А, р має дійсні коефіцієнти, р(1) = 1 і ступінь (р) = A-1, таким чином можна записати умову ортогональності як
- ,
або як
- (*), с многочленом Лорана ,
який породжує всі симетричні послідовності та . Потім, P(X) означає симетричний многочлен Лорана . Оскільки, і , P приймає невід'ємні значення на відрізку [0,2]. Рівняння (*) має одне мінімальне рішення для кожного A, яке можна отримати шляхом ділення в кільці усіченого степеневого ряду в X,
- .
Очевидно, воно приймає позитивні значення на проміжку (0,2). Однорідне рівняння для (*) антисиметричне при X=1 і таким чином, існує загальне рішення , де R будь-який многочлен с дійсними коефіцієнтами. Ця сума
повинна бути невід'ємною на проміжку [0,2] і перекладається в набір лінійних обмежень на коефіцієнти R. Значення P на проміжку [0,2], обмежені деякою кількістю , збільшення rприводить до лінійної програми с нескінченим числом умов нерівності. Для вирішення для p, використовується техніка, яка називається спектральне розкладання відповідно (Fejér-Riesz-algorithm). Многочлен P(X) розкладається на лінійні множники , N=A+1+2deg(R). Кожний лінійний множник відображує многочлен Лорана , який можна розкласти на два лінійні множники. Можна призначити p(Z) будь-яким одним із двох лінійних множників, таким чином, виходить 2N можливих рішень. Для екстремальної фази вибираємо те рішення, яке має всі комплексні корені p(Z) всередині або на одиничному колі. Для вейвлет-перетворення Добеші, використовується пара лінійних фільтрів. Ця пара фільтрів повинна мати властивість, яка називається квадратурний дзеркальний фільтр. Для вирішення коефіцієнта лінійного фільтра використовуються властивості квадратурних дзеркальних фільтрів, які випливають в наведеному нижче рішенні для значень коефіцієнта фільтра 4-го порядку.
Масштабні послідовності в найнижчому порядку наближення
Нижче наведені коефіцієнти для функцій масштабування для D2-20. Вейвлет-коефіцієнти отриманні шляхом зміни порядку коефіцієнтів функції масштабування, а потім заміна знаку кожного другого, (тобто, Д4 вейвлет = {-0,1830127, -0,3169873, 1,1830127, -0,6830127}). Математично це виглядає як , де k є індексом коефіцієнта, b — коефіцієнт послідовності вейвлета і а коефіцієнт масштабування послідовності. N є індексом вейвлета, тобто, 2 для D2.
D2 (Гаарів вейвлет) | D4 | D6 | D8 | D10 | D12 | D14 | D16 | D18 | D20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0.6830127 | 0.47046721 | 0.32580343 | 0.22641898 | 0.15774243 | 0.11009943 | 0.07695562 | 0.05385035 | 0.03771716 |
1 | 1.1830127 | 1.14111692 | 1.01094572 | 0.85394354 | 0.69950381 | 0.56079128 | 0.44246725 | 0.34483430 | 0.26612218 |
0.3169873 | 0.650365 | 0.89220014 | 1.02432694 | 1.06226376 | 1.03114849 | 0.95548615 | 0.85534906 | 0.74557507 | |
-0.1830127 | -0.19093442 | -0.03957503 | 0.19576696 | 0.44583132 | 0.66437248 | 0.82781653 | 0.92954571 | 0.97362811 | |
-0.12083221 | -0.26450717 | -0.34265671 | -0.31998660 | -0.20351382 | -0.02238574 | 0.18836955 | 0.39763774 | ||
0.0498175 | 0.0436163 | -0.04560113 | -0.18351806 | -0.31683501 | -0.40165863 | -0.41475176 | -0.35333620 | ||
0.0465036 | 0.10970265 | 0.13788809 | 0.1008467 | 6.68194092e-4 | -0.13695355 | -0.27710988 | |||
-0.01498699 | -0.00882680 | 0.03892321 | 0.11400345 | 0.18207636 | 0.21006834 | 0.18012745 | |||
-0.01779187 | -0.04466375 | -0.05378245 | -0.02456390 | 0.043452675 | 0.13160299 | ||||
4.71742793e-3 | 7.83251152e-4 | -0.02343994 | -0.06235021 | -0.09564726 | -0.10096657 | ||||
6.75606236e-3 | 0.01774979 | 0.01977216 | 3.54892813e-4 | -0.04165925 | |||||
-1.52353381e-3 | 6.07514995e-4 | 0.01236884 | 0.03162417 | 0.04696981 | |||||
-2.54790472e-3 | -6.88771926e-3 | -6.67962023e-3 | 5.10043697e-3 | ||||||
5.00226853e-4 | -5.54004549e-4 | -6.05496058e-3 | -0.01517900 | ||||||
9.55229711e-4 | 2.61296728e-3 | 1.97332536e-3 | |||||||
-1.66137261e-4 | 3.25814671e-4 | 2.81768659e-3 | |||||||
-3.56329759e-4 | -9.69947840e-4 | ||||||||
5.5645514e-5 | -1.64709006e-4 | ||||||||
1.32354367e-4 | |||||||||
-1.875841e-5 |
Частини цієї конструкції також використовуються для виведення біортогональних Коена-Добеші-Феювіан вейвлетів (CDFS).
Реалізація
У той час як програмне забезпечення, таке, як Mathematica підтримує вейвлети Добеші безпосередньо, базова реалізація проста в MATLAB (в даному випадку, Добеші 4). Ця реалізація використовує періодизацію, щоб впоратися з проблемою кінцевої довжини сигналу. Інші, більш складні методи доступні, але часто немає необхідності використовувати їх, оскільки це впливає тільки на самий кінець перетворення сигналу. Періодизація виконується безпосередньо в прямому напрямку перетворення в MATLAB векторній системі численні, а також зворотнє перетворення за допомогою функції circshift ():
Перетворення, D4
Передбачається, що S, стовпець вектора з парним числом елементів, що був попередньо визначений, як сигнал для аналізу. Зауважимо, що коефіцієнти D4 є [1+sqrt(3), 3+sqrt(3), 3-sqrt(3), 1-sqrt(3)]/4.
N = length(S); s1 = S(1:2:N-1) + sqrt(3)*S(2:2:N); d1 = S(2:2:N) - sqrt(3)/4*s1 - (sqrt(3)-2)/4*[s1(N/2); s1(1:N/2-1)]; s2 = s1 - [d1(2:N/2); d1(1)]; s = (sqrt(3)-1)/sqrt(2) * s2; d = (sqrt(3)+1)/sqrt(2) * d1;
Зворотнє перетворення, D4
d1 = d * ((sqrt(3)-1)/sqrt(2)); s2 = s * ((sqrt(3)+1)/sqrt(2)); s1 = s2 + circshift(d1,-1); S(2:2:N) = d1 + sqrt(3)/4*s1 + (sqrt(3)-2)/4*circshift(s1,1); S(1:2:N-1) = s1 - sqrt(3)*S(2:2:N);
Примітки
- I. Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, SIAM, 1992, p. 194.
Джерела
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Вейвлети Добеші |
- Ingrid Daubechies: Ten Lectures on Wavelets, SIAM 1992
- A.N. Akansu, An Efficient QMF-Wavelet Structure [ 14 жовтня 2008 у Wayback Machine.] (Binomial-QMF Daubechies Wavelets), Proc. 1st NJIT Symposium on Wavelets, April 1990
- Proc. 1st NJIT Symposium on Wavelets, Subbands and Transforms, April 1990 [ 22 травня 2011 у Wayback Machine.]
- A.N. Akansu, R.A. Haddad and H. Caglar, Perfect Reconstruction Binomial QMF-Wavelet Transform [ 18 вересня 2016 у Wayback Machine.], Proc. SPIE Visual Communications and Image Processing, pp. 609–618, Lausanne, Sept. 1990
- Carlos Cabrelli, Ursula Molter [ 9 грудня 2016 у Wayback Machine.]: Generalized Self-similarity", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 230: 251—260, 1999.
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), wavelets Daubechies wavelets, Математична енциклопедія, , ISBN
- I. Kaplan, The Daubechies D4 Wavelet Transform [ 1 серпня 2017 у Wayback Machine.].
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Vejvleti Dobeshi angl Daubechies wavelet zasnovani na roboti Ingrid Dobeshi yavlyayut soboyu simejstvo en sho viznachayut en i harakterizuyetsya maksimalnoyu kilkistyu znikayuchih momentiv dlya deyakogo zadanogo nosiya funkciyi Z kozhnim vejvletom yakij ye tipom cogo klasu ye funkciya masshtabuvannya tak zvanij batko vejvlet angl father wavelet yakij generuye pryamokutnij en 2 d vejvleti DobeshiVlastivostiU zagalnomu vipadku vibirayut vejvleti Dobeshi shob mati najvishe chislo znikayuchih momentiv A ce ne oznachaye krashu plavnist dlya zadanoyi shirini nosiya funkciyi 2A 1 Vikoristovuyut dvi shemi imenuvannya DN z vikoristannyam dovzhini abo kilkosti vidvodiv ta dbA z posilannyam na chislo znikayuchih momentiv Takim chinom D4 i db2 taki zh vejvlet peretvorennya Sered 2A 1 mozhlivih rishen algebrayichnih rivnyan dlya momentu i ortogonalnosti umovi to vibirayetsya rishennya u yakogo masshtabuyuchij filtr maye ekstremalnu fazu Vejvlet peretvorennya takozh legko realizuvati na praktici za dopomogoyu en Vejvleti Dobeshi shiroko vikoristovuyutsya pri virishenni shirokogo kola zavdan napriklad samopodibni vlastivosti signalu abo fraktalni problemi signalni rozrivi i t d Vejvleti Dobeshi ne viznacheni v terminah otrimanogo masshtabuvannya ta vejvlet funkcij naspravdi yih ne mozhlivo zapisati v zamknenomu viglyadi Grafiki nizhche generuyutsya z vikoristannyam en chislovij metod sho skladayetsya z prostogo zvorotnogo peretvorennya 1 0 0 0 0 vidpovidnu kilkist raziv masshtabuvannya i vejlet funkciyi diapozon chastot spektra cih funkcij Slid zaznachiti sho spektri pokazani tut ne chastotna harakteristika visokih i nizkih chastot filtriv a skorishe amplitudi bezperervnih peretvoren Fur ye masshtabuvannya sinij i vejvlet funkcij chervonij Ortogonalni vejvleti Dobeshi D2 D20 vidpovidno DB1 DB10 takozh vikoristovuyutsya Nomer indeksu vidnositsya do chisla N koeficiyentiv Kozhen vejvlet maye chislo nulovih momentiv abo znikayuchih momentiv yaki rivni polovini chislu koeficiyentiv Tak napriklad D2 Gaariv vejvlet maye odin znikayuchij moment D4 maye dva i t d Znikayuchij moment obmezhuye zdatnist vejvletiv predstavlyati polinomialnu povedinku abo informaciyu v signali Tak napriklad D2 z odnim momentom legko koduye polinomi odnogo koeficiyenta abo postijni skladovi signalu D4 koduye polinomi z dvoma koeficiyentami tobto postijni ta linijni skladovi signalu i D6 koduye 3 polinomi tobto postijni linijni ta kvadratichni skladovi signalu Cya zdatnist shifruvati odnak shilna do takogo yavisha yak vtrata masshtabu a takozh vidsutnist ne zminnogo peremishennya yakij pidnimayetsya vid diskretnogo procesu peremikannya nizhche pid chas zastosuvannya peretvorennya Sub poslidovnist yaka predstavlyaye soboyu linijni ta kvadratichni skladovi signalu napriklad po riznomu obroblyuyetsya peretvorennyam v zalezhnosti vid virivnyuvannya tochki z parnim abo neparnim roztashuvannyam v poslidovnosti Vidsutnist vazhlivoyi vlastivosti nezminnogo peremishennya prizvela do rozrobki dekilkoh riznih versij en PobudovaI poslidovnist masshtabuvannya filtr nizhnih chastot i poslidovnist vejvleta smugovij filtr div en dlya detalej ciyeyi konstrukciyi budut normalizovani shob mati sumu ekvivalentnu 2 i sumu kvadrativ rivnu 2 U deyakih vipadkah yih normalizuyut dlya togo shob mati sumu 2 displaystyle sqrt 2 tak sho obidvi poslidovnosti i vsi yih peremishennya parnim chislom koeficiyentiv ortonormovani odin do odnogo Vikoristovuyuchi zagalne uyavlennya dlya poslidovnosti masshtabuvannya ortogonalnogo diskretnogo vejvlet peretvorennya z poryadkom aproksimaciyi A a Z 2 1 A 1 Z A p Z displaystyle a Z 2 1 A 1 Z A p Z z N 2A r maye dijsni koeficiyenti r 1 1 i stupin r A 1 takim chinom mozhna zapisati umovu ortogonalnosti yak a Z a Z 1 a Z a Z 1 4 displaystyle a Z a Z 1 a Z a Z 1 4 abo yak 2 X A P X X A P 2 X 2 A displaystyle 2 X A P X X A P 2 X 2 A s mnogochlenom Lorana X 1 2 2 Z Z 1 displaystyle X 1 2 cdot 2 Z Z 1 yakij porodzhuye vsi simetrichni poslidovnosti ta X Z 2 X Z displaystyle X Z 2 X Z Potim P X oznachaye simetrichnij mnogochlen Lorana P X Z p Z p Z 1 displaystyle P X Z p Z p Z 1 Oskilki X e i w 1 c o s w displaystyle X e iw 1 cos w i p e i w p e i w p e i w 2 displaystyle p e iw p e iw p e iw 2 P prijmaye nevid yemni znachennya na vidrizku 0 2 Rivnyannya maye odne minimalne rishennya dlya kozhnogo A yake mozhna otrimati shlyahom dilennya v kilci usichenogo stepenevogo ryadu v X P A X k 0 A 1 A k 1 A 1 2 k X k displaystyle P A X sum k 0 A 1 left A k 1 atop A 1 right 2 k X k Ochevidno vono prijmaye pozitivni znachennya na promizhku 0 2 Odnoridne rivnyannya dlya antisimetrichne pri X 1 i takim chinom isnuye zagalne rishennya X A X 1 R X 1 2 displaystyle X A X 1 R X 1 2 de R bud yakij mnogochlen s dijsnimi koeficiyentami Cya suma P X P A X X A X 1 R X 1 2 displaystyle P X P A X X A X 1 R X 1 2 povinna buti nevid yemnoyu na promizhku 0 2 i perekladayetsya v nabir linijnih obmezhen na koeficiyenti R Znachennya P na promizhku 0 2 obmezheni deyakoyu kilkistyu 4 A r displaystyle 4 A r zbilshennya rprivodit do linijnoyi programi s neskinchenim chislom umov nerivnosti Dlya virishennya P X Z p Z p Z 1 displaystyle P X Z p Z p Z 1 dlya p vikoristovuyetsya tehnika yaka nazivayetsya spektralne rozkladannya vidpovidno Fejer Riesz algorithm Mnogochlen P X rozkladayetsya na linijni mnozhniki P X X m 1 X m N displaystyle P X X mu 1 dots X mu N N A 1 2deg R Kozhnij linijnij mnozhnik vidobrazhuye mnogochlen Lorana X Z m 1 2 Z 1 m 1 2 Z 1 displaystyle X Z mu frac 1 2 Z 1 mu frac 1 2 Z 1 yakij mozhna rozklasti na dva linijni mnozhniki Mozhna priznachiti p Z bud yakim odnim iz dvoh linijnih mnozhnikiv takim chinom vihodit 2N mozhlivih rishen Dlya ekstremalnoyi fazi vibirayemo te rishennya yake maye vsi kompleksni koreni p Z vseredini abo na odinichnomu koli Dlya vejvlet peretvorennya Dobeshi vikoristovuyetsya para linijnih filtriv Cya para filtriv povinna mati vlastivist yaka nazivayetsya kvadraturnij dzerkalnij filtr Dlya virishennya koeficiyenta linijnogo filtra c i displaystyle c i vikoristovuyutsya vlastivosti kvadraturnih dzerkalnih filtriv yaki viplivayut v navedenomu nizhche rishenni dlya znachen koeficiyenta filtra 4 go poryadku c 0 1 3 4 2 displaystyle c 0 frac 1 sqrt 3 4 sqrt 2 c 1 3 3 4 2 displaystyle c 1 frac 3 sqrt 3 4 sqrt 2 c 2 3 3 4 2 displaystyle c 2 frac 3 sqrt 3 4 sqrt 2 c 3 1 3 4 2 displaystyle c 3 frac 1 sqrt 3 4 sqrt 2 Masshtabni poslidovnosti v najnizhchomu poryadku nablizhennyaNizhche navedeni koeficiyenti dlya funkcij masshtabuvannya dlya D2 20 Vejvlet koeficiyenti otrimanni shlyahom zmini poryadku koeficiyentiv funkciyi masshtabuvannya a potim zamina znaku kozhnogo drugogo tobto D4 vejvlet 0 1830127 0 3169873 1 1830127 0 6830127 Matematichno ce viglyadaye yak b k 1 k a N 1 k displaystyle b k 1 k a N 1 k de k ye indeksom koeficiyenta b koeficiyent poslidovnosti vejvleta i a koeficiyent masshtabuvannya poslidovnosti N ye indeksom vejvleta tobto 2 dlya D2 Ortogonalni koeficiyenti Dobeshi normalizovani dlya togo shob mati sumu 2 D2 Gaariv vejvlet D4 D6 D8 D10 D12 D14 D16 D18 D20 1 0 6830127 0 47046721 0 32580343 0 22641898 0 15774243 0 11009943 0 07695562 0 05385035 0 03771716 1 1 1830127 1 14111692 1 01094572 0 85394354 0 69950381 0 56079128 0 44246725 0 34483430 0 26612218 0 3169873 0 650365 0 89220014 1 02432694 1 06226376 1 03114849 0 95548615 0 85534906 0 74557507 0 1830127 0 19093442 0 03957503 0 19576696 0 44583132 0 66437248 0 82781653 0 92954571 0 97362811 0 12083221 0 26450717 0 34265671 0 31998660 0 20351382 0 02238574 0 18836955 0 39763774 0 0498175 0 0436163 0 04560113 0 18351806 0 31683501 0 40165863 0 41475176 0 35333620 0 0465036 0 10970265 0 13788809 0 1008467 6 68194092e 4 0 13695355 0 27710988 0 01498699 0 00882680 0 03892321 0 11400345 0 18207636 0 21006834 0 18012745 0 01779187 0 04466375 0 05378245 0 02456390 0 043452675 0 13160299 4 71742793e 3 7 83251152e 4 0 02343994 0 06235021 0 09564726 0 10096657 6 75606236e 3 0 01774979 0 01977216 3 54892813e 4 0 04165925 1 52353381e 3 6 07514995e 4 0 01236884 0 03162417 0 04696981 2 54790472e 3 6 88771926e 3 6 67962023e 3 5 10043697e 3 5 00226853e 4 5 54004549e 4 6 05496058e 3 0 01517900 9 55229711e 4 2 61296728e 3 1 97332536e 3 1 66137261e 4 3 25814671e 4 2 81768659e 3 3 56329759e 4 9 69947840e 4 5 5645514e 5 1 64709006e 4 1 32354367e 4 1 875841e 5 Chastini ciyeyi konstrukciyi takozh vikoristovuyutsya dlya vivedennya biortogonalnih Koena Dobeshi Feyuvian vejvletiv CDFS RealizaciyaU toj chas yak programne zabezpechennya take yak Mathematica pidtrimuye vejvleti Dobeshi bezposeredno bazova realizaciya prosta v MATLAB v danomu vipadku Dobeshi 4 Cya realizaciya vikoristovuye periodizaciyu shob vporatisya z problemoyu kincevoyi dovzhini signalu Inshi bilsh skladni metodi dostupni ale chasto nemaye neobhidnosti vikoristovuvati yih oskilki ce vplivaye tilki na samij kinec peretvorennya signalu Periodizaciya vikonuyetsya bezposeredno v pryamomu napryamku peretvorennya v MATLAB vektornij sistemi chislenni a takozh zvorotnye peretvorennya za dopomogoyu funkciyi circshift Peretvorennya D4 Peredbachayetsya sho S stovpec vektora z parnim chislom elementiv sho buv poperedno viznachenij yak signal dlya analizu Zauvazhimo sho koeficiyenti D4 ye 1 sqrt 3 3 sqrt 3 3 sqrt 3 1 sqrt 3 4 N length S s1 S 1 2 N 1 sqrt 3 S 2 2 N d1 S 2 2 N sqrt 3 4 s1 sqrt 3 2 4 s1 N 2 s1 1 N 2 1 s2 s1 d1 2 N 2 d1 1 s sqrt 3 1 sqrt 2 s2 d sqrt 3 1 sqrt 2 d1 Zvorotnye peretvorennya D4 d1 d sqrt 3 1 sqrt 2 s2 s sqrt 3 1 sqrt 2 s1 s2 circshift d1 1 S 2 2 N d1 sqrt 3 4 s1 sqrt 3 2 4 circshift s1 1 S 1 2 N 1 s1 sqrt 3 S 2 2 N PrimitkiI Daubechies Ten Lectures on Wavelets SIAM 1992 p 194 DzherelaVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Vejvleti Dobeshi Ingrid Daubechies Ten Lectures on Wavelets SIAM 1992 A N Akansu An Efficient QMF Wavelet Structure 14 zhovtnya 2008 u Wayback Machine Binomial QMF Daubechies Wavelets Proc 1st NJIT Symposium on Wavelets April 1990 Proc 1st NJIT Symposium on Wavelets Subbands and Transforms April 1990 22 travnya 2011 u Wayback Machine A N Akansu R A Haddad and H Caglar Perfect Reconstruction Binomial QMF Wavelet Transform 18 veresnya 2016 u Wayback Machine Proc SPIE Visual Communications and Image Processing pp 609 618 Lausanne Sept 1990 Carlos Cabrelli Ursula Molter 9 grudnya 2016 u Wayback Machine Generalized Self similarity Journal of Mathematical Analysis and Applications 230 251 260 1999 Hazewinkel Michiel red 2001 wavelets Daubechies wavelets Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 I Kaplan The Daubechies D4 Wavelet Transform 1 serpnya 2017 u Wayback Machine