Ця стаття містить правописні, лексичні, граматичні, стилістичні або інші мовні помилки, які треба виправити. |
Теорема Кархунена — Лоева (названа на честь [en] та [en]), також відома як теорема Косамбі — Кархунена — Лоева, це розклад випадкового процесу у вигляді нескінченної лінійної комбінації ортогональних функцій, що є аналогом представлення функції в ряд Фур'є на обмеженому інтервалі. Цей розклад тісно пов'язаний з методом головних компонент (PCA), який широко використовується в аналізі даних.
Першим хто розглянув розклад випадкового процесу у вигляді нескінченного ряду Дамодаром Дхарманандою Косамбі. Існує декілька розкладів стохастичного процесу: якщо процес заіндексований над , то будь-який ортонормований базис в задає розклад в цій формі. Важливість теореми Кархунена – Лоева полягає в тому, що вона дає найкращий базис у сенсі мінімізації середньої квадратичної помилки.
На відміну від ряду Фур'є, де коефіцієнти є фіксованими числами і базис складається з синусоїдальних функцій (тобто функцій синуса та косинуса), коефіцієнти в теоремі Кархунена – Лоева є випадковими величинами, а базис розкладання залежить від процесу. Фактично, ортогональні базисні функції, що використовуються в цьому розкладі, визначаються коваріаційною функцією процесу.
У випадку центрованого випадкового процесу (центрований означає для всіх ), що задовольняє умову технічної неперервності, допускає розкладання
де є попарно некорельованими випадковими величинами, а функції є неперервними дійсними функціями на , які є попарно ортогональними в . Загальний випадок процесу , який не є центрованим, можна повернути до випадку центрованого процесу, розглядаючи , який є центрованим процесом.
Крім того, у випадку нормального процесу, випадкові величини є нормально розподіленими і стохастично незалежними. Цей результат узагальнює перетворення Кархунена – Лоева. Важливим прикладом центрованого стохастичного процесу на є процес Вінера; теорема Кархунена – Лоева може бути використана для забезпечення канонічного ортогонального представлення для нього. У цьому випадку розкладання складається з синусоїдальних функцій.
Формулювання
- У цій статті ми розглядатимемо квадратично інтегрований випадковий процес із нульовим середнім, визначений у ймовірнісному просторі та проіндексований у замкненому інтервалі з коваріаційною функцією . Таким чином ми маємо:
- Пов'яжемо з лінійний оператор визначений таким чином:
Оскільки є лінійним оператором, то має сенс говорити про його власні значення та власні функції , які знаходяться за допомогою розв'язування однорідного інтегрального рівняння Фредгольма другого роду
Формулювання теореми
Теорема. Нехай — квадратично інтегрований випадковий процес, визначений у ймовірносному просторі та проіндексований на інтервалі , з неперервною коваріаційною функцією .
Тоді є ядром Мерсера, і якщо ортонормований базис в утворений власними функціями з відповідними власними значеннями допускає наступне представлення
де збіжність в , рівномірна по t і
Крім того, випадкові величини некорельовані мають нульове середнє та мають дисперсію
Зауважте, що за допомогою узагальнення теореми Мерсера, ми можемо замінити інтервал на будь-який компактний простір і міру Лебега на , носієм якої є .
Доведення
- Коваріаційна функція є ядром Мерсера. Згідно з теоремою Мерсера, отже, існує набір , власних значень і власних функцій що утворюють ортонормований базис , і можна розкласти
- Процес можна розкласти за власними функціями як:
- де коефіцієнти (випадкові величини) є проекціями на відповідні власні функції
- Тоді ми можемо отримати
- де ми використали факт, що є власними функціями і ортонормовані.
- Тепер покажемо, що збіжність відбувається в . Нехай
- Тоді:
- яка дорівнює 0 за теоремою Мерсера.
Властивості перетворення Кархунена – Лоева
Особливий випадок: розподіл Гауса
Оскільки ліміт в середньому спільно гаусівських випадкових величин є спільно гаусівською, а спільно гауссові випадкові (центровані) величини є незалежними, тоді і тільки тоді, коли вони ортогональні, ми також можемо зробити висновок:
Теорема. Змінні Zi мають спільний гаусівський розподіл і є незалежними, якщо процес є гаусівським.
У випадку гаусової випадкової величини, змінні Zi є незалежними, ми можемо сказати більше:
Лінійне наближення Теорема Кархунена — Лоева
Розглянемо слас сигналів які ми хочемо наблизити за допомогою базисних веторів. Ці сигнали змодельовані як реалізація випадкови веторів розміром . Для оптимізації апроксимації ми реалізуємо такий базис що зменить помилку. Ця секція доводить, що накращий базис це базисКархунена — Лоева що діагоналізує . Випадковий вектор може бути декомпонований в ортонормальний базис
а саме:
де кожен
це випадкова величина. Наближення перших векторів базиса є
Із береження енергії в ортогональному базисі виходить
Це помилка пов'язана з коваріацією визначена як
Для будь-якого вектору ми визначимо коваріаційний оператор визначений за матрицею,
Помилка це сума останніх коефіціентів коваріаційного оператору
Коваріаційний оператор Ермітів і позитивний тому він може бути діагоналзований, в ортогональному базисі який називається базис Кархунена — Лоева. Наступна теорема стверджує, що базис Кархунена — Лоева має найменшу посику апроксимізації.
Theorem (Оптимальність Кархунена — Лоева базиса). Нехай K коваріаційний оператор. Для всіх M ≥ 1, помилка апроксимації
приймає мінімальне значення тоді і тільки тоді
це базис Кархунена — Лоева відсортовонаний по зменшенню власних чисел.
Приклади
Вінерівський процес
Існує декілька еквівалентних формулювань процес Вінера яка є узагальненням . Тут ми розглядаєм стандартний гаусівський процесс з коваріаційною функцією
Ми можемо розглядаєио лише інтервал .
Ми можемо легко порахувати власні вектори, а саме
і відвідні власні числа
Щоб знайти власні числа та власні інтеграли ми маємо вирішити інтегральні рівняння
якщо ми продиференціюємо по , то ми отримаємо:
після другого дифференціювання ми отримаємо аступне диффиренційне рівняння:
Загальний розв'язок дифференціального рівнняння виглядає так:
і - дві константи, які визначаються з граничних умов. При підставленні в інтегральне рівняння ми отримаємо з чого також отримаємо та, також, при перше диффернціювання дає :
з чого ми отримаємо загальний вигляд власних чисел are:
Відповідні власні функції мають вигляд:
обрана так, щоб нормалізувати :
Ми отримаємо представлення процесу Вінера
Theorem. Існує послідовність незалежних Гасових випадкових величин з нульовим середнім та дисперсією 1 так щ
Треба зауважити що таке представлення дійсне при На більшихих інтервалах інкременти не незалежні. Як сказано в теоремі, збіжність у L2 нормі і рівномірна по t.
Броунівський міст
Подібно який є випадковим процесом з коваріацією
може бути представлений як ряд
Примітки
- Sapatnekar, Sachin (2011), Overcoming variations in nanometer-scale technologies, IEEE Journal on Emerging and Selected Topics in Circuits and Systems, 1 (1): 5—18, Bibcode:2011IJEST...1....5S, doi:10.1109/jetcas.2011.2138250
- Ghoman, Satyajit; Wang, Zhicun; Chen, PC; Kapania, Rakesh (2012). A POD-based Reduced Order Design Scheme for Shape Optimization of Air Vehicles. Proc of 53rd AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference, AIAA-2012-1808, Honolulu, Hawaii.
- Karhunen–Loeve transform (KLT) [ 2016-11-28 у Wayback Machine.], Computer Image Processing and Analysis (E161) lectures, Harvey Mudd College
- Raju, C.K. (2009), Kosambi the Mathematician, Economic and Political Weekly, 44 (20): 33—45
- Kosambi, D. D. (1943), Statistics in Function Space, Journal of the Indian Mathematical Society, 7: 76—88, MR 0009816.
Посилання
- Stark, Henry; Woods, John W. (1986). Probability, Random Processes, and Estimation Theory for Engineers. Prentice-Hall, Inc. ISBN . OL 21138080M.
- Ghanem, Roger; Spanos, Pol (1991). Stochastic finite elements: a spectral approach. Springer-Verlag. ISBN . OL 1865197M.
- Guikhman, I.; Skorokhod, A. (1977). Introduction a la Théorie des Processus Aléatoires. Éditions MIR.
- Simon, B. (1979). Functional Integration and Quantum Physics. Academic Press.
- Karhunen, Kari (1947). Über lineare Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A I. Math.-Phys. 37: 1—79.
- Loève, M. (1978). Probability theory. Vol. II, 4th ed. Graduate Texts in Mathematics. Т. 46. Springer-Verlag. ISBN .
- Dai, G. (1996). Modal wave-front reconstruction with Zernike polynomials and Karhunen–Loeve functions. JOSA A. 13 (6): 1218. Bibcode:1996JOSAA..13.1218D. doi:10.1364/JOSAA.13.001218.
- Wu B., Zhu J., Najm F.(2005) «A Non-parametric Approach for Dynamic Range Estimation of Nonlinear Systems». In Proceedings of Design Automation Conference(841—844) 2005
- Wu B., Zhu J., Najm F.(2006) «Dynamic Range Estimation». IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, Vol. 25 Issue:9 (1618—1636) 2006
- Jorgensen, Palle E. T.; Song, Myung-Sin (2007). Entropy Encoding, Hilbert Space and Karhunen–Loeve Transforms. Journal of Mathematical Physics. 48 (10): 103503. arXiv:math-ph/0701056. Bibcode:2007JMP....48j3503J. doi:10.1063/1.2793569. S2CID 17039075.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya mistit pravopisni leksichni gramatichni stilistichni abo inshi movni pomilki yaki treba vipraviti Vi mozhete dopomogti vdoskonaliti cyu stattyu pogodivshi yiyi iz chinnimi movnimi standartami Teorema Karhunena Loeva nazvana na chest en ta en takozh vidoma yak teorema Kosambi Karhunena Loeva ce rozklad vipadkovogo procesu u viglyadi neskinchennoyi linijnoyi kombinaciyi ortogonalnih funkcij sho ye analogom predstavlennya funkciyi v ryad Fur ye na obmezhenomu intervali Cej rozklad tisno pov yazanij z metodom golovnih komponent PCA yakij shiroko vikoristovuyetsya v analizi danih Pershim hto rozglyanuv rozklad vipadkovogo procesu u viglyadi neskinchennogo ryadu Damodarom Dharmanandoyu Kosambi Isnuye dekilka rozkladiv stohastichnogo procesu yaksho proces zaindeksovanij nad a b displaystyle a b to bud yakij ortonormovanij bazis v L2 a b displaystyle L 2 a b zadaye rozklad v cij formi Vazhlivist teoremi Karhunena Loeva polyagaye v tomu sho vona daye najkrashij bazis u sensi minimizaciyi serednoyi kvadratichnoyi pomilki Na vidminu vid ryadu Fur ye de koeficiyenti ye fiksovanimi chislami i bazis skladayetsya z sinusoyidalnih funkcij tobto funkcij sinusa ta kosinusa koeficiyenti v teoremi Karhunena Loeva ye vipadkovimi velichinami a bazis rozkladannya zalezhit vid procesu Faktichno ortogonalni bazisni funkciyi sho vikoristovuyutsya v comu rozkladi viznachayutsya kovariacijnoyu funkciyeyu procesu U vipadku centrovanogo vipadkovogo procesu Xt t a b displaystyle X t t in a b centrovanij oznachaye E Xt 0 displaystyle mathbf E X t 0 dlya vsih t a b displaystyle t in a b sho zadovolnyaye umovu tehnichnoyi neperervnosti X displaystyle X dopuskaye rozkladannya Xt k 1 Zkek t displaystyle X t sum k 1 infty Z k e k t de Zk displaystyle Z k ye poparno nekorelovanimi vipadkovimi velichinami a funkciyi ek displaystyle e k ye neperervnimi dijsnimi funkciyami na a b displaystyle a b yaki ye poparno ortogonalnimi v L2 a b displaystyle L 2 a b Zagalnij vipadok procesu Xt displaystyle X t yakij ne ye centrovanim mozhna povernuti do vipadku centrovanogo procesu rozglyadayuchi Xt E Xt displaystyle X t mathbf E X t yakij ye centrovanim procesom Krim togo u vipadku normalnogo procesu vipadkovi velichini Zk displaystyle Z k ye normalno rozpodilenimi i stohastichno nezalezhnimi Cej rezultat uzagalnyuye peretvorennya Karhunena Loeva Vazhlivim prikladom centrovanogo stohastichnogo procesu na 0 1 displaystyle 0 1 ye proces Vinera teorema Karhunena Loeva mozhe buti vikoristana dlya zabezpechennya kanonichnogo ortogonalnogo predstavlennya dlya nogo U comu vipadku rozkladannya skladayetsya z sinusoyidalnih funkcij FormulyuvannyaU cij statti mi rozglyadatimemo kvadratichno integrovanij vipadkovij proces Xt displaystyle X t iz nulovim serednim viznachenij u jmovirnisnomu prostori W F P displaystyle Omega F mathbf P ta proindeksovanij u zamknenomu intervali a b displaystyle a b z kovariacijnoyu funkciyeyu KX s t displaystyle K X s t Takim chinom mi mayemo t a b Xt L2 W F P t a b E Xt 0 t s a b KX s t E XsXt displaystyle begin aligned forall t in a b qquad amp X t in L 2 Omega F mathbf P forall t in a b qquad amp mathbf E X t 0 forall t s in a b qquad amp K X s t mathbf E X s X t end aligned dd Pov yazhemo z KX displaystyle K X linijnij operator TKX displaystyle T K X viznachenij takim chinom TKX L2 a b L2 a b f TKXf abKX s f s ds displaystyle begin aligned T K X colon quad L 2 a b amp to L 2 a b f amp mapsto T K X f int a b K X s cdot f s rm d s end aligned Oskilki TKX displaystyle T K X ye linijnim operatorom to maye sens govoriti pro jogo vlasni znachennya lk displaystyle lambda k ta vlasni funkciyi ek displaystyle e k yaki znahodyatsya za dopomogoyu rozv yazuvannya odnoridnogo integralnogo rivnyannya Fredgolma drugogo rodu abKX s t ek s ds lkek t displaystyle int a b K X s t e k s ds lambda k e k t dd Formulyuvannya teoremiTeorema Nehaj Xt displaystyle X t kvadratichno integrovanij vipadkovij proces viznachenij u jmovirnosnomu prostori W F P displaystyle Omega F mathbf P ta proindeksovanij na intervali a b displaystyle a b z neperervnoyu kovariacijnoyu funkciyeyu KX s t displaystyle K X s t Todi KX s t displaystyle K X s t ye yadrom Mersera i yaksho ek displaystyle e k ortonormovanij bazis v L2 a b displaystyle L 2 a b utvorenij vlasnimi funkciyami TKX displaystyle T K X z vidpovidnimi vlasnimi znachennyami lk displaystyle lambda k dopuskaye nastupne predstavlennya Xt k 1 Zkek t displaystyle X t sum k 1 infty Z k e k t de zbizhnist v L2 displaystyle L 2 rivnomirna po t i Zk abXtek t dt displaystyle Z k int a b X t e k t dt Krim togo vipadkovi velichini nekorelovani Zk displaystyle Z k mayut nulove serednye ta mayut dispersiyu lk displaystyle lambda k E Zk 0 k NandE ZiZj dijlj i j N displaystyle mathbf E Z k 0 forall k in mathbb N qquad mbox and qquad mathbf E Z i Z j delta ij lambda j forall i j in mathbb N Zauvazhte sho za dopomogoyu uzagalnennya teoremi Mersera mi mozhemo zaminiti interval a b displaystyle a b na bud yakij kompaktnij prostir C displaystyle C i miru Lebega na a b displaystyle a b nosiyem yakoyi ye C displaystyle C DovedennyaKovariacijna funkciya KX displaystyle K X ye yadrom Mersera Zgidno z teoremoyu Mersera otzhe isnuye nabir lk displaystyle lambda k ek t displaystyle e k t vlasnih znachen i vlasnih funkcij TKX displaystyle T K X sho utvoryuyut ortonormovanij bazis L2 a b displaystyle L 2 a b i KX displaystyle K X mozhna rozklastiKX s t k 1 lkek s ek t displaystyle K X s t sum k 1 infty lambda k e k s e k t dd Proces Xt displaystyle X t mozhna rozklasti za vlasnimi funkciyami ek t displaystyle e k t yak Xt k 1 Zkek t displaystyle X t sum k 1 infty Z k e k t dd de koeficiyenti vipadkovi velichini Zk displaystyle Z k ye proekciyami Xt displaystyle X t na vidpovidni vlasni funkciyiZk abXtek t dt displaystyle Z k int a b X t e k t dt dd Todi mi mozhemo otrimatiE Zk E abXtek t dt abE Xt ek t dt 0E ZiZj E ab abXtXsej t ei s dtds ab abE XtXs ej t ei s dtds ab abKX s t ej t ei s dtds abei s abKX s t ej t dt ds lj abei s ej s ds dijlj displaystyle begin aligned mathbf E Z k amp mathbf E left int a b X t e k t dt right int a b mathbf E X t e k t dt 0 8pt mathbf E Z i Z j amp mathbf E left int a b int a b X t X s e j t e i s dt ds right amp int a b int a b mathbf E left X t X s right e j t e i s dt ds amp int a b int a b K X s t e j t e i s dt ds amp int a b e i s left int a b K X s t e j t dt right ds amp lambda j int a b e i s e j s ds amp delta ij lambda j end aligned dd de mi vikoristali fakt sho ek displaystyle e k ye vlasnimi funkciyami TKX displaystyle T K X i ortonormovani Teper pokazhemo sho zbizhnist vidbuvayetsya v L2 displaystyle L 2 NehajSN k 1NZkek t displaystyle S N sum k 1 N Z k e k t dd Todi E Xt SN 2 E Xt2 E SN2 2E XtSN KX t t E k 1N l 1NZkZℓek t eℓ t 2E Xt k 1NZkek t KX t t k 1Nlkek t 2 2E k 1N abXtXsek s ek t ds KX t t k 1Nlkek t 2 displaystyle begin aligned mathbf E left left X t S N right 2 right amp mathbf E left X t 2 right mathbf E left S N 2 right 2 mathbf E left X t S N right amp K X t t mathbf E left sum k 1 N sum l 1 N Z k Z ell e k t e ell t right 2 mathbf E left X t sum k 1 N Z k e k t right amp K X t t sum k 1 N lambda k e k t 2 2 mathbf E left sum k 1 N int a b X t X s e k s e k t ds right amp K X t t sum k 1 N lambda k e k t 2 end aligned dd yaka dorivnyuye 0 za teoremoyu Mersera Vlastivosti peretvorennya Karhunena LoevaOsoblivij vipadok rozpodil Gausa Oskilki limit v serednomu spilno gausivskih vipadkovih velichin ye spilno gausivskoyu a spilno gaussovi vipadkovi centrovani velichini ye nezalezhnimi todi i tilki todi koli voni ortogonalni mi takozh mozhemo zrobiti visnovok Teorema Zminni Zi mayut spilnij gausivskij rozpodil i ye nezalezhnimi yaksho proces Xt displaystyle X t ye gausivskim U vipadku gausovoyi vipadkovoyi velichini zminni Zi ye nezalezhnimi mi mozhemo skazati bilshe limN i 1Nei t Zi w Xt w displaystyle lim N to infty sum i 1 N e i t Z i omega X t omega Linijne nablizhennya Teorema Karhunena LoevaRozglyanemo slas signaliv yaki mi hochemo nabliziti za dopomogoyu M displaystyle M bazisnih vetoriv Ci signali zmodelovani yak realizaciya vipadkovi vetoriv Y n displaystyle Y n rozmirom N displaystyle N Dlya optimizaciyi aproksimaciyi mi realizuyemo takij bazis sho zmenit pomilku Cya sekciya dovodit sho nakrashij bazis ce bazisKarhunena Loeva sho diagonalizuye Y displaystyle Y Vipadkovij vektor Y displaystyle Y mozhe buti dekomponovanij v ortonormalnij bazis gm 0 m N displaystyle left g m right 0 leq m leq N a same Y m 0N 1 Y gm gm displaystyle Y sum m 0 N 1 left langle Y g m right rangle g m de kozhen Y gm n 0N 1Y n gm n displaystyle left langle Y g m right rangle sum n 0 N 1 Y n g m n ce vipadkova velichina Nablizhennya pershih M lt N displaystyle M lt N vektoriv bazisa ye YM m 0M 1 Y gm gm displaystyle Y M sum m 0 M 1 left langle Y g m right rangle g m Iz berezhennya energiyi v ortogonalnomu bazisi vihodit e M E Y YM 2 m MN 1E Y gm 2 displaystyle varepsilon M mathbf E left left Y Y M right 2 right sum m M N 1 mathbf E left left left langle Y g m right rangle right 2 right Ce pomilka pov yazana z kovariaciyeyu Y displaystyle Y viznachena yak R n m E Y n Y m displaystyle R n m mathbf E left Y n Y m right Dlya bud yakogo vektoru X n displaystyle X n mi viznachimo K displaystyle K kovariacijnij operator viznachenij za matriceyu E Y x 2 Kx x n 0N 1 m 0N 1R n m x n x m displaystyle mathbf E left left langle Y x rangle right 2 right langle Kx x rangle sum n 0 N 1 sum m 0 N 1 R n m x n x m Pomilka e M displaystyle varepsilon M ce suma ostannih N M displaystyle N M koeficientiv kovariacijnogo operatoru e M m MN 1 Kgm gm displaystyle varepsilon M sum m M N 1 left langle Kg m g m right rangle Kovariacijnij operator K displaystyle K Ermitiv i pozitivnij tomu vin mozhe buti diagonalzovanij v ortogonalnomu bazisi yakij nazivayetsya bazis Karhunena Loeva Nastupna teorema stverdzhuye sho bazis Karhunena Loeva maye najmenshu posiku aproksimizaciyi Theorem Optimalnist Karhunena Loeva bazisa Nehaj K kovariacijnij operator Dlya vsih M 1 pomilka aproksimaciyi e M m MN 1 Kgm gm displaystyle varepsilon M sum m M N 1 left langle Kg m g m right rangle prijmaye minimalne znachennya todi i tilki todi gm 0 m lt N displaystyle left g m right 0 leq m lt N ce bazis Karhunena Loeva vidsortovonanij po zmenshennyu vlasnih chisel Kgm gm Kgm 1 gm 1 0 m lt N 1 displaystyle left langle Kg m g m right rangle geq left langle Kg m 1 g m 1 right rangle qquad 0 leq m lt N 1 PrikladiVinerivskij proces Isnuye dekilka ekvivalentnih formulyuvan proces Vinera yaka ye uzagalnennyam Tut mi rozglyadayem standartnij gausivskij process Wt displaystyle W t z kovariacijnoyu funkciyeyu KW t s cov Wt Ws min s t displaystyle K W t s operatorname cov W t W s min s t Mi mozhemo rozglyadayeio lishe interval a b 0 1 displaystyle a b 0 1 Mi mozhemo legko porahuvati vlasni vektori a same ek t 2sin k 12 pt displaystyle e k t sqrt 2 sin left left k tfrac 1 2 right pi t right i vidvidni vlasni chisla lk 1 k 12 2p2 displaystyle lambda k frac 1 k frac 1 2 2 pi 2 Shob znajti vlasni chisla ta vlasni integrali mi mayemo virishiti integralni rivnyannya abKW s t e s ds le t t 0 t 1 01min s t e s ds le t t 0 t 1 0tse s ds t t1e s ds le t t 0 t 1 displaystyle begin aligned int a b K W s t e s ds amp lambda e t qquad forall t 0 leq t leq 1 int 0 1 min s t e s ds amp lambda e t qquad forall t 0 leq t leq 1 int 0 t se s ds t int t 1 e s ds amp lambda e t qquad forall t 0 leq t leq 1 end aligned yaksho mi prodiferenciyuyemo po t displaystyle t to mi otrimayemo t1e s ds le t displaystyle int t 1 e s ds lambda e t pislya drugogo differenciyuvannya mi otrimayemo astupne diffirencijne rivnyannya e t le t displaystyle e t lambda e t Zagalnij rozv yazok differencialnogo rivnnyannya viglyadaye tak e t Asin tl Bcos tl displaystyle e t A sin left frac t sqrt lambda right B cos left frac t sqrt lambda right A displaystyle A i B displaystyle B dvi konstanti yaki viznachayutsya z granichnih umov Pri pidstavlenni t 0 displaystyle t 0 v integralne rivnyannya mi otrimayemo e 0 0 displaystyle e 0 0 z chogo takozh otrimayemo B 0 displaystyle B 0 ta takozh pri t 1 displaystyle t 1 pershe differnciyuvannya daye e 1 0 displaystyle e 1 0 cos 1l 0 displaystyle cos left frac 1 sqrt lambda right 0 z chogo mi otrimayemo zagalnij viglyad vlasnih chisel TKX displaystyle T K X are lk 1 k 12 p 2 k 1 displaystyle lambda k left frac 1 k frac 1 2 pi right 2 qquad k geq 1 Vidpovidni vlasni funkciyi mayut viglyad ek t Asin k 12 pt k 1 displaystyle e k t A sin left k frac 1 2 pi t right qquad k geq 1 A displaystyle A obrana tak shob normalizuvati ek displaystyle e k 01ek2 t dt 1 A 2 displaystyle int 0 1 e k 2 t dt 1 quad implies quad A sqrt 2 Mi otrimayemo predstavlennya procesu Vinera Theorem Isnuye poslidovnist Zi displaystyle Z i nezalezhnih Gasovih vipadkovih velichin z nulovim serednim ta dispersiyeyu 1 tak sh Wt 2 k 1 Zksin k 12 pt k 12 p displaystyle W t sqrt 2 sum k 1 infty Z k frac sin left left k frac 1 2 right pi t right left k frac 1 2 right pi Treba zauvazhiti sho take predstavlennya dijsne pri t 0 1 displaystyle t in 0 1 Na bilshihih intervalah inkrementi ne nezalezhni Yak skazano v teoremi zbizhnist u L2 normi i rivnomirna po t Brounivskij mist Podibno Bt Wt tW1 displaystyle B t W t tW 1 yakij ye vipadkovim procesom z kovariaciyeyu KB t s min t s ts displaystyle K B t s min t s ts mozhe buti predstavlenij yak ryad Bt k 1 Zk2sin kpt kp displaystyle B t sum k 1 infty Z k frac sqrt 2 sin k pi t k pi PrimitkiSapatnekar Sachin 2011 Overcoming variations in nanometer scale technologies IEEE Journal on Emerging and Selected Topics in Circuits and Systems 1 1 5 18 Bibcode 2011IJEST 1 5S doi 10 1109 jetcas 2011 2138250 Ghoman Satyajit Wang Zhicun Chen PC Kapania Rakesh 2012 A POD based Reduced Order Design Scheme for Shape Optimization of Air Vehicles Proc of 53rd AIAA ASME ASCE AHS ASC Structures Structural Dynamics and Materials Conference AIAA 2012 1808 Honolulu Hawaii Karhunen Loeve transform KLT 2016 11 28 u Wayback Machine Computer Image Processing and Analysis E161 lectures Harvey Mudd College Raju C K 2009 Kosambi the Mathematician Economic and Political Weekly 44 20 33 45 Kosambi D D 1943 Statistics in Function Space Journal of the Indian Mathematical Society 7 76 88 MR 0009816 PosilannyaStark Henry Woods John W 1986 Probability Random Processes and Estimation Theory for Engineers Prentice Hall Inc ISBN 978 0 13 711706 2 OL 21138080M Ghanem Roger Spanos Pol 1991 Stochastic finite elements a spectral approach Springer Verlag ISBN 978 0 387 97456 9 OL 1865197M Guikhman I Skorokhod A 1977 Introduction a la Theorie des Processus Aleatoires Editions MIR Simon B 1979 Functional Integration and Quantum Physics Academic Press Karhunen Kari 1947 Uber lineare Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ann Acad Sci Fennicae Ser A I Math Phys 37 1 79 Loeve M 1978 Probability theory Vol II 4th ed Graduate Texts in Mathematics T 46 Springer Verlag ISBN 978 0 387 90262 3 Dai G 1996 Modal wave front reconstruction with Zernike polynomials and Karhunen Loeve functions JOSA A 13 6 1218 Bibcode 1996JOSAA 13 1218D doi 10 1364 JOSAA 13 001218 Wu B Zhu J Najm F 2005 A Non parametric Approach for Dynamic Range Estimation of Nonlinear Systems In Proceedings of Design Automation Conference 841 844 2005 Wu B Zhu J Najm F 2006 Dynamic Range Estimation IEEE Transactions on Computer Aided Design of Integrated Circuits and Systems Vol 25 Issue 9 1618 1636 2006 Jorgensen Palle E T Song Myung Sin 2007 Entropy Encoding Hilbert Space and Karhunen Loeve Transforms Journal of Mathematical Physics 48 10 103503 arXiv math ph 0701056 Bibcode 2007JMP 48j3503J doi 10 1063 1 2793569 S2CID 17039075