У математиці, субмерсією називають гладке відображення між диференційовними многовидами диференціал якого є сюрєктивним в кожній точці. Поняття субмерсії є дуже важливим у диференціальній геометрії і топології.
Визначення
Нехай M і N диференційовні многовиди і f : M → N гладке відображення між ними. Відображення f є субмерсією в точці p ∈ M якщо його диференціал
є сюрєктивним лінійним відображенням. В цьому випадку p називається регулярною точкою відображення f, в іншому випадку p є особливою точкою. Гладке відображення f яке є субмерсією в кожній точці p ∈ M називається субмерсією. Еквівалентно, f є субмерсією, якщо його диференціал Dfp має сталий ранг рівний розмірності N.
Приклади
- Проєкція
- Локальний дифеоморфізм
- Ріманова субмерсія
- Проєкція в гладкому векторному розшаруванні. Сюрєктивність диференціала є необхідною умовою локальної тривіалізації.
Властивості
- Якщо f: M → N є субмерсією в точці p і f(p) = q ∈ N тоді існує окіл U точки p в M і окіл V точки q в N, локальні координати (x1,…,xm) біля p і (x1,…,xn) біля q такі що f(U) = V і відображення f в цих локальних координатах є стандартною проєкцією:
- Прообраз f−1(q) в M регулярної точки q ∈ N щодо гладкого відображення f: M → N є або порожньою множиною або диференційовним многовидом розмірності (dim M − dim N), можливо незв'язним. Це твердження називається теоремою про субмерсію). Зокрема твердження справедливе для всіх q ∈ N якщо f є субмерсією.
- Субмерсія є відкритим відображенням, тобто образ відкритої множини є відкритою множиною.
- Кожна точка p ∈ M належить образу деякого гладкого локального перетину для субмерсії f.
- Нехай M, N і P — диференційовні многовиди. Якщо f: M → N є субмерсією, а g: N → P — довільне відображення, то g є гладким тоді й лише тоді коли g∘ f є гладким відображенням.
- Нехай f: M → N — сюр'єктивна субмерсія, а g: M → P — гладке відображення, таке що Тоді існує єдина гладка функція така що
- Нехай f1: M → N1, f2: M → N2 — сюр'єктивні субмерсії, такі, що і Тоді існує єдиний дифеоморфізм g: N1 → N2 такий що g∘ f1 = f2.
Субмерсія топологічних многовидів
Субмерсії також можна визначити для . Субмерсією в цьому випадку називається неперервна сюрєкція f : M → N така що для всіх p ∈ M, для деяких неперервних карт ψ навколо точки p і φ навколо f(p), відображення ψ−1 ∘ f ∘ φ є проєкцією з Rm в Rn, де m=dim(M) ≥ n=dim(N).
Див. також
Примітки
- Lang, 1999, с. 27.
Джерела
- Crampin, Michael; Pirani, Felix Arnold Edward (1994). Applicable differential geometry. Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN .
- do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry. ISBN .
- Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004). Riemannian Geometry (вид. 3rd). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN .
- Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Differential manifolds. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN .
- Lang, Serge (1999). Fundamentals of Differential Geometry. Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer. ISBN .
- Lee, John M. (2006). Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag. ISBN .
- Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, т. Vol. 93, Providence: American Mathematical Society .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici submersiyeyu nazivayut gladke vidobrazhennya mizh diferencijovnimi mnogovidami diferencial yakogo ye syuryektivnim v kozhnij tochci Ponyattya submersiyi ye duzhe vazhlivim u diferencialnij geometriyi i topologiyi ViznachennyaNehaj M i N diferencijovni mnogovidi i f M N gladke vidobrazhennya mizh nimi Vidobrazhennya f ye submersiyeyu v tochci p M yaksho jogo diferencial Dfp TpM Tf p N displaystyle Df p T p M to T f p N ye syuryektivnim linijnim vidobrazhennyam V comu vipadku p nazivayetsya regulyarnoyu tochkoyu vidobrazhennya f v inshomu vipadku p ye osoblivoyu tochkoyu Gladke vidobrazhennya f yake ye submersiyeyu v kozhnij tochci p M nazivayetsya submersiyeyu Ekvivalentno f ye submersiyeyu yaksho jogo diferencial Dfp maye stalij rang rivnij rozmirnosti N PrikladiProyekciya p Rm n Rn Rm n displaystyle pi mathbb R m n rightarrow mathbb R n subset mathbb R m n Lokalnij difeomorfizm Rimanova submersiya Proyekciya v gladkomu vektornomu rozsharuvanni Syuryektivnist diferenciala ye neobhidnoyu umovoyu lokalnoyi trivializaciyi VlastivostiYaksho f M N ye submersiyeyu v tochci p i f p q N todi isnuye okil U tochki p v M i okil V tochki q v N lokalni koordinati x1 xm bilya p i x1 xn bilya q taki sho f U V i vidobrazhennya f v cih lokalnih koordinatah ye standartnoyu proyekciyeyu f x1 xn xn 1 xm x1 xn displaystyle f x 1 ldots x n x n 1 ldots x m x 1 ldots x n Proobraz f 1 q v M regulyarnoyi tochki q N shodo gladkogo vidobrazhennya f M N ye abo porozhnoyu mnozhinoyu abo diferencijovnim mnogovidom rozmirnosti dim M dim N mozhlivo nezv yaznim Ce tverdzhennya nazivayetsya teoremoyu pro submersiyu Zokrema tverdzhennya spravedlive dlya vsih q N yaksho f ye submersiyeyu Submersiya ye vidkritim vidobrazhennyam tobto obraz vidkritoyi mnozhini ye vidkritoyu mnozhinoyu Kozhna tochka p M nalezhit obrazu deyakogo gladkogo lokalnogo peretinu dlya submersiyi f Nehaj M N i P diferencijovni mnogovidi Yaksho f M N ye submersiyeyu a g N P dovilne vidobrazhennya to g ye gladkim todi j lishe todi koli g f ye gladkim vidobrazhennyam Nehaj f M N syur yektivna submersiya a g M P gladke vidobrazhennya take sho x Ng f 1 x const displaystyle forall x in N g f 1 x const Todi isnuye yedina gladka funkciya g displaystyle bar g taka sho g f g displaystyle bar g circ f g Nehaj f1 M N1 f2 M N2 syur yektivni submersiyi taki sho x N1f2 f1 1 x const displaystyle forall x in N 1 f 2 f 1 1 x const i x N2f1 f2 1 x const displaystyle forall x in N 2 f 1 f 2 1 x const Todi isnuye yedinij difeomorfizm g N1 N2 takij sho g f1 f2 Submersiya topologichnih mnogovidivSubmersiyi takozh mozhna viznachiti dlya Submersiyeyu v comu vipadku nazivayetsya neperervna syuryekciya f M N taka sho dlya vsih p M dlya deyakih neperervnih kart ps navkolo tochki p i f navkolo f p vidobrazhennya ps 1 f f ye proyekciyeyu z Rm v Rn de m dim M n dim N Div takozhZanurennya topologiya VkladennyaPrimitkiLang 1999 s 27 DzherelaCrampin Michael Pirani Felix Arnold Edward 1994 Applicable differential geometry Cambridge England Cambridge University Press ISBN 978 0 521 23190 9 do Carmo Manfredo Perdigao 1994 Riemannian Geometry ISBN 978 0 8176 3490 2 Gallot Sylvestre Hulin Dominique Lafontaine Jacques 2004 Riemannian Geometry vid 3rd Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 3 540 20493 0 Kosinski Antoni Albert 2007 1993 Differential manifolds Mineola New York Dover Publications ISBN 978 0 486 46244 8 Lang Serge 1999 Fundamentals of Differential Geometry Graduate Texts in Mathematics New York Springer ISBN 978 0 387 98593 0 Lee John M 2006 Introduction to Smooth Manifolds Springer Verlag ISBN 978 0 387 95448 6 Michor Peter W 2008 Topics in Differential Geometry Graduate Studies in Mathematics t Vol 93 Providence American Mathematical Society