Многочлен Гільберта

Функція Гільберта, ряд Гільберта і многочлен Гільберта градуйованої комутативною алгебри і скінченнопородженого градуйованого модуля — три тісно пов'язані поняття, які дозволяють виміряти ріст розмірності однорідних компонент алгебри.

Ці поняття були поширені на фільтровані алгебри і градуйовані або фільтровані модулі над цими алгебрами, а також на над проективними схемами.

Многочлен Гільберта і ряд Гільберта відіграють важливу роль в обчислювальній алгебричній геометрії, оскільки вони надають найпростіший відомий спосіб обчислення розмірності і степеня алгебричного многовиду, заданого явними поліноміальними рівняннями.

Означення та основні властивості

Адитивні функції на скінченнопороджених градуйованих модулях

Нехай ${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}\ }$ — (градуйоване) кільце Нетер. Тоді кільце кільце ${\displaystyle S_{0}}$ є нетеровим, і ${\displaystyle S_{0}}$-алгебра S є породженою однорідними елементами ${\displaystyle x_{1},...,x_{h}}$ додатних степенів ${\displaystyle d_{1},...,d_{h}.}$ Нехай ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\geq 0}M_{i}\ }$ — скінченнопороджений (градуйований) S-модуль. Він є породженим скінченною кількістю однорідних елементів. Також довільний модуль ${\displaystyle M_{n}}$ є скінченнопородженим ${\displaystyle S_{0}}$-модулем.

Нехай ${\displaystyle \lambda }$ — деяка адитивна функція зі значеннями у множині ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, визначена на класі всіх скінченнопороджених ${\displaystyle S_{0}}$-модулів. Адитивність у даному випадку означає, що для довільної короткої точної послідовності:

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A\;\rightarrow \;B\;\rightarrow \;C\;\rightarrow \;0}$

виконується рівність ${\displaystyle \lambda (A)-\lambda (B)+\lambda (C)=0.}$

Рядом Гільберта — Пуанкаре для градуйованого модуля M і адитивної функції ${\displaystyle \lambda }$ називається степеневий ряд:

${\displaystyle HS(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda (M_{n})\,t^{n}.}$

Сума ряду Гільберта — Пуанкаре є раціональною функцією

${\displaystyle HS(t)={\frac {Q(t)}{\prod _{i=1}^{h}(1-t^{d_{i}})}}\,,}$

де Q — многочлен з цілими коефіцієнтами.

Якщо S є породженим елементами степеня 1, то сума ряду Гільберта — Пуанкаре може бути переписана як

${\displaystyle HS_{S}(t)={\frac {P(t)}{(1-t)^{\delta }}}\,,}$

де P — многочлен з цілими коефіцієнтами.

У цьому випадку розклад цієї раціональної функції в ряд має вигляд

${\displaystyle HS(t)=P(t)\,\left(1+\delta \,t+\cdots +{\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}\,t^{n}+\cdots \right)}$

де біноміальний коефіцієнт ${\displaystyle {\binom {n+\delta -1}{\delta -1}}}$ дорівнює ${\displaystyle \;{\frac {(n+\delta -1)(n+\delta -2)\cdots (n+1)}{(\delta -1)!}}\;}$ при ${\displaystyle n>-\delta }$ і нулю в іншому випадку.

Якщо ${\displaystyle \textstyle P(t)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}t^{i},}$ то коефіцієнтом при ${\displaystyle t^{n}}$ в ${\displaystyle HS(t)}$ є

${\displaystyle \lambda (M_{n})=\sum _{i=0}^{d}a_{i}{\binom {n-i+\delta -1}{\delta -1}}\,.}$

При ${\displaystyle n\geq i-\delta +1,}$ член з індексом i в цій сумі є многочленом від n степеня ${\displaystyle \delta -1}$ зі старшим коефіцієнтом ${\displaystyle \sum _{i=0}^{d}a_{i}/(\delta -1)!.}$ Це показує, що існує єдиний многочлен${\displaystyle HP(n)}$ з раціональними коефіцієнтами, що дорівнює ${\displaystyle \lambda (M_{n})}$ при досить великих n. Цей многочлен називається многочленом Гільберта.

Скінченнопороджені градуйовані алгебри над кільцями Артіна

Нехай при попередніх умовах кільце ${\displaystyle S_{0}}$ є кільцем Артіна (зокрема, у важливому частковому випадку полем). Оскільки кожен модуль ${\displaystyle M_{n}}$ є скінченнопородженим ${\displaystyle S_{0}}$-модулем, то ${\displaystyle M_{n}}$ є нетеровим і артіновим модулем. Звідси випливає, що довжина ${\displaystyle l(M_{n})}$ є скінченним цілим числом. У випадку, якщо ${\displaystyle S_{0}}$ є полем то довжина ${\displaystyle M_{n}}$ є рівною розмірності векторного простору над ${\displaystyle S_{0}}$. Також довжина модуля є адитивною функцією.

Функція :${\displaystyle HF_{M}\;:\;n\mapsto l(M_{n})}$ називається функцією Гільберта градуйованого модуля ${\displaystyle M.}$ Вона відповідно задає ряд Гільберта — Пуанкаре, який у цьому випадку переважно називають рядом Гільберта і многочлен Гільберта.

Ряди і многочлени Гільберта — Самюеля

Одним із найважливіших часткових випадків у комутативній алгебрі є випадок фільтрацій для локальних нетерових кілець.

Нехай R — локальне нетерове кільце із максимальним ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$ а ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}\subset I\subset {\mathfrak {m}}}$ — деякий ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-примарний ідеал. Тоді кільце ${\displaystyle R/I}$ буде артіновим. Нехай M — скінченнопороджений R-модуль і ${\displaystyle M_{n}=I^{n}M.}$

Нехай ${\displaystyle G(R)=\bigoplus _{i\geq 0}I^{n}/I^{n+1},\ G(M)=\bigoplus _{i\geq 0}M_{n}/M_{n+1}\ .}$ Тоді G(R) є градуйованою R/I-алгеброю скінченно породженою ${\displaystyle {\bar {x}}_{1},\ldots ,{\bar {x}}_{s}\in I/I^{2},}$ де елементи ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{s}}$ породжують ідеал I. G(M) є скінченнопородженим G(R)-модулем.

Відповідно для G(M) всі довжини ${\displaystyle l(M_{n}/M_{n+1})}$ є скінченними і можна ввести відповідну функцію Гільберта, ряд Гільберта і заданий ними многочлен Гільберта.

Із скінченності усіх ${\displaystyle l(M_{n}/M_{n+1})}$ випливають також скінченності довжин ${\displaystyle l(M/M_{n+1}).}$ Визначені при цьому функція і ряд називаються функцією Гільберта — Самюеля і рядом Гільберта — Самюеля. Функція Гільберта — Самюеля теж є поліноміальною і відповідний многочлен називається многочленом Гільберта — Самюеля. Його степінь не залежить від вибору ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-примарного ідеалу.

Градуйовані алгебри і кільця многочленів

Для кільця многочленів ${\displaystyle R_{n}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ від ${\displaystyle n}$змінних значення функції Гільберта ${\displaystyle HF_{R_{n}}(k)}$є рівним розмірності простору однорідних многочленів степеня k. Це значення записується через біноміальні коефіцієнти:

${\displaystyle HF_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choose {n-1}}={\frac {(k+1)\cdots (k+n-1)}{(n-1)!}}\,.}$

Дана функція є очевидно поліноміальною степеня n - 1 від змінної k і многочлен Гільберта записується теж як ${\displaystyle HP_{R_{n}}(k)={{k+n-1} \choose {n-1}}.}$

Ряд Гільберта у даному випадку задає раціональну функцію

${\displaystyle HS_{R_{n}}(t)={\frac {1}{(1-t)^{n}}}\,.}$

Нехай тепер ${\displaystyle F\in R_{n}}$ — однорідний многочлен степеня m і ${\displaystyle A=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(F).}$Тоді функція Гільберта є рівною

${\displaystyle HF_{A}(k)={\begin{cases}{{k+n-1} \choose {n-1}},&k<m\\{{k+n-1} \choose {n-1}}-{{k+n-m-1} \choose {n-1}},&k\geqslant m\end{cases}}.}$

Многочлен Гільберта у цьому випадку є рівним:

${\displaystyle HP_{A}={{k+n-1} \choose {n-1}}-{{k+n-m-1} \choose {n-1}}.}$

Степінь многочлена у цьому випадку є рівною n - 2, а старший коефіцієнт — ${\displaystyle {\frac {m}{(n-2)!}}.}$

Кільця многочленів і їх фактори за однорідними ідеалами є типовими прикладами градуйованих алгебр. Навпаки, якщо S — градуйована алгебра над полем K, породжена n однорідними елементами g₁,...,g_n степеня 1, то відображення, яке переводить X _i в g_i, визначає гомоморфізм градуювальних кілець з ${\displaystyle R_{n}=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ на S. Його ядро — однорідний ідеал I, і це визначає ізоморфізм градуйованих алгебр між ${\displaystyle R_{n}/I}$ і S.

Таким чином, градуйовані алгебри, породжені однорідними елементами степеня 1 є ізоморфними факторкільцям кілець многочленів за однорідними ідеалами.

Властивості ряду Гільберта

Фактор по елементу, який не є дільником нуля

Нехай A — градуйована алгебра над полем K і f — однорідний елемент A степеня d, який не є дільником нуля. Тоді

${\displaystyle HS_{A/(f)}(t)=(1-t^{d})\,HS_{A}(t)\,.}$

Це випливає з адитивності для точної послідовності

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;A^{[d]}\;{\xrightarrow {f}}\;A\;\rightarrow \;A/f\rightarrow \;0\,,}$

де стрілка з буквою f — множення на f, і ${\displaystyle A^{[d]}}$ — градуйований модуль , отриманий з A зміщенням степенів на d, так що множення на f має степінь 0. зокрема ,${\displaystyle HS_{A^{[d]}}(t)=t^{d}\,HS_{A}(t)\,.}$

Степінь проективного многовида і теорема Безу

Ряд Гільберта дозволяє порахувати степінь алгебричного многовида як значення в 1 чисельника ряду Гільберта. В такий спосіб можна також отримати просте доведення теореми Безу.

Розглянемо проективну алгебричну множину V розмірності більшої нуля, задану як множину нулів однорідного ідеалу ${\displaystyle I\subset k[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$, де k — поле, і нехай ${\displaystyle R=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/I}$. Якщо f — однорідний многочлен степеня ${\displaystyle \delta }$, який не є дільником нуля в R, точна послідовність

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;R^{[\delta ]}\;{\xrightarrow {f}}\;R\;\rightarrow \;R/\langle f\rangle \;\rightarrow \;0,}$

показує, що

${\displaystyle HS_{R/\langle f\rangle }(t)=(1-t^{\delta })HS_{R}(t).}$

Розглядаючи чисельники, отримуємо доведення наступного узагальнення теореми Безу:

Якщо f — однорідний многочлен степеня ${\displaystyle \delta }$, який не є дільником нуля в R, то степінь перетину V з гіперповерхнею, заданою f, дорівнює добутку степеня V на ${\displaystyle \delta }$ .

Більш геометрично це можна переформулювати так: якщо проективна гіперповерхня степеня d не містить жодної компоненти алгебричної множини степеня δ, то степінь їх перетину дорівнює dδ .

Звичайна теорема Безу легко виводиться з цього твердження, якщо починати з гіперповерхні і послідовно перетинати її з n-1 іншою гіперповерхнею.

Див. також

• Градуйована алгебра
• Довжина модуля
• Локальне кільце

Література

• Атья М., Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.
• Schenck, Hal (2003), Computational Algebraic Geometry, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN , MR 0011360