Границя функції

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Границя (математика).

Границя функції в точці, граничній для області визначення функції, називається таке число, до якого значення даної функції прямує при спрямуванні її аргументу до цієї точки. Одне з основоположних понять математичного аналізу.

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

Хоча функція ${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$ в нулі не визначена, проте коли ${\displaystyle x}$ наближається до нуля, її значення стає як завгодно близьким до 1. Іншими словами, границя цієї функції в нулі дорівнює 1.

Історія

Незважаючи на те, що математичний аналіз розвивався у 17-му та 18-му століттях, сучасна ідея границі функції походить від Бернард Больцано, який у 1817 році ввів основи техніки епсилон-дельта для визначення неперервних функцій. Проте його роботи за життя не були відомими.

У своїй книзі Cours d'analyse 1821 року Оґюстен-Луї Коші обмірковував змінні величини, нескінченно малі та границі, визначив неперервність ${\displaystyle y=f(x)}$, сказавши, що нескінченно мала зміна x обов’язково призводить до нескінченно малої зміни у, при цьому використовував строге визначення епсилон-дельта в доведеннях. У 1861 році Вейєрштрас вперше ввів визначення границі в позначеннях епсилон-дельта у тому вигляді, який зазвичай записують сьогодні. Він також ввів позначення ${\displaystyle \lim }$ та ${\displaystyle {\text{lim}}_{x\to x_{0}}}$.

Сучасне позначення з розміщенням стрілки знизу ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}}$ ввів Ґодфрі Гарольд Гарді у своїй книзі «Курс чистої математики» в 1908 році.

Означення

Існує кілька рівносильних визначень границі функції в точці — серед них є сформульовані Коші та Гейне.

Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, причому ${\displaystyle A\neq \emptyset }$, і ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$. У подальшому будемо розглядати функції ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$. Через ${\displaystyle B(x_{0},\delta )}$ позначимо ${\displaystyle \delta }$-окіл точки ${\displaystyle x_{0}}$:

${\displaystyle B(x_{0},\delta ):=(x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )}$.

Означення за Коші

Число ${\displaystyle a}$ називається границею функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для довільного дійсного числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує дійсне ${\displaystyle \delta >0}$ таке, що для будь-якого дійсного ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)-a|<\varepsilon }$.

Позначення:

${\displaystyle a=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}}$

або

${\displaystyle f(x)\to a}$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$.

Під ${\displaystyle \varepsilon }$ і ${\displaystyle \delta }$ можна розуміти як «похибку» та «відстань» відповідно. Фактично, Коші використовував ${\displaystyle \varepsilon }$ як позначення для «похибки» у деяких своїх роботах, а у своєму визначенні неперервності він використовував нескінченно малу ${\displaystyle \alpha }$, а не ${\displaystyle \varepsilon }$ чи ${\displaystyle \delta }$. У цих позначеннях похибка ${\displaystyle \varepsilon }$ обчислення значення границі зменшується при зменшенні відстані ${\displaystyle \delta }$ до граничної точки.

Означення за Гейне

Число ${\displaystyle p}$ називається границею функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для довільної послідовності ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A}$, ${\displaystyle x_{n}\neq x_{0}}$ при ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, що збігається до числа ${\displaystyle x_{0}}$, відповідна послідовність значень функції ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число ${\displaystyle p}$.

Односторонні границі

Докладніше: Одностороння границя

Односторонні границі не рівні. Отже, границі при x → x₀ не існує.

Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя).

Означення правосторонньої границі

Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ і ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$ такі, що ${\displaystyle \exists \gamma >0:\,(x_{0},x_{0}+\gamma )\subset A}$. Число ${\displaystyle p}$ називається правосторонньою границею функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для довільного дійсного числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує дійсне ${\displaystyle \delta >0}$ таке, що для будь-якого дійсного ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle (x_{0},x_{0}+\delta )}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)-p|<\varepsilon }$.

Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to x_{0}+0}f(x),\ \ \lim _{x\downarrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\searrow x_{0}}f(x);}$

Означення лівосторонньої границі

Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ і ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$ такі, що ${\displaystyle \exists \gamma >0:\,(x_{0}-\gamma ,x_{0})\subset A}$. Число ${\displaystyle p}$ називається лівосторонньою границею функції ${\displaystyle f}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для довільного дійсного числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує дійсне ${\displaystyle \delta >0}$ таке, що для будь-якого дійсного ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle (x_{0}-\delta ,x_{0})}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)-p|<\varepsilon }$.

Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to x_{0}-0}f(x),\ \ \lim _{x\uparrow x_{0}}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow x_{0}}f(x).}$

Використовуються також наступні скорочення:

• ${\displaystyle f\left(x_{0}+\right)}$ і ${\displaystyle f\left(x_{0}+0\right)}$ для правої границі;
• ${\displaystyle f\left(x_{0}-\right)}$ і ${\displaystyle f\left(x_{0}-0\right)}$ для лівої границі.

Якщо обидві односторонні границі існують в точці ${\displaystyle x_{0}}$ та рівні в ній, то можна показати, що ${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}-}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}+}f(x)=\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)}$. Якщо односторонні границі існують в точці ${\displaystyle x_{0}}$, але не рівні, то границі в точці ${\displaystyle x_{0}}$ не існує. Якщо будь-яка одностороння границя не існує, то і границі також не існує.

Приклади

Відсутність односторонніх границь

Функція без границі в (точці суттєвого розриву)

Функція

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\frac {5}{x-1}},&x<1\\0,&x=1\\{\frac {0.1}{x-1}},&x>1\end{cases}}}$

не має границі в точці ${\displaystyle x_{0}=1}$ (лівостороння границя не існує через коливальний характер функції синуса, а правостороння границя не існує через асимптотичну поведінку оберненої функції), але має границю і кожній іншій точці.

Функція Діріхле

${\displaystyle D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}$

не має границі в жодній точці дійсної прямої.

Нерівність односторонніх границь

Функція

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x<0\\2,&x\geqslant 0\end{cases}}}$

має границю для кожної ненульової точки x (дорівнює 1 для від’ємного x і дорівнює 2 для додатного x). Однак, границі при x = 0 не існує (лівостороння границя дорівнює 1, а правостороння — 2).

Існування границі лише в одній точці

Обидві функції

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}$

та

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}|x|,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}$

мають границю в точці x = 0 і вона дорівнює 0. В інших точка границі не існує.

Існування границі в зліченній кількості точок

Функція

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin x,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\1,&x\in \mathbb {Q} \end{cases}}}$

має границю в будь-якій точці ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}+2\pi n}$, де ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.

Границі, пов’язані з нескінченністю

Границя в нескінченності

Границя цієї функції при ${\displaystyle x\to +\infty }$ існує.

Границя функції в нескінченності визначає поведінку значень функції, коли модуль її аргумента стає нескінченно великим. Існують різні означення таких границь, але вони рівгосильні між собою.

Границя в нескінченності за Коші

• Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A}$ — необмежена зверху множина, ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$. Число ${\displaystyle a}$ називається границею функції ${\displaystyle f}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$, якщо для довільного дійсного числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує дійсне ${\displaystyle \delta }$ таке, що для будь-якого дійсного ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle A\cap (\delta ,+\infty )}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)-a|<\varepsilon }$.

Позначення: ${\displaystyle a=\lim _{x\to +\infty }f(x)}$ або ${\displaystyle f(x)\to a}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$.

• Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A}$ — необмежена знизу множина, ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$. Число ${\displaystyle a}$ називається границею функції ${\displaystyle f}$ при ${\displaystyle x\to -\infty }$, якщо для довільного дійсного числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує дійсне ${\displaystyle \delta }$ таке, що для будь-якого дійсного ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle A\cap (-\infty ,\delta )}$ виконується нерівність ${\displaystyle |f(x)-a|<\varepsilon }$.

Позначення: ${\displaystyle a=\lim _{x\to -\infty }f(x)}$ або ${\displaystyle f(x)\to a}$ при ${\displaystyle x\to -\infty }$.

Границя в нескінченності за Гейне

• Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A}$ — необмежена зверху множина, ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$. Число ${\displaystyle p}$ називається границею функції ${\displaystyle f}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$, якщо для довільної послідовності ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A}$, яка прямує до ${\displaystyle +\infty }$ при ${\displaystyle n\to +\infty }$, відповідна послідовність значень функції ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число ${\displaystyle p}$.

• Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A}$ — необмежена знизу множина, ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$. Число ${\displaystyle p}$ називається границею функції ${\displaystyle f}$ при ${\displaystyle x\to -\infty }$, якщо для довільної послідовності ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A}$, яка прямує до ${\displaystyle -\infty }$ при ${\displaystyle n\to +\infty }$, відповідна послідовність значень функції ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ збіжна і має границею одне і теж саме число ${\displaystyle p}$.

Нескінченні границі

Для функції, значення якої зростають або спадають безмежно, тобто функція розходиться, звичайна границя не існує. У цьому випадку можна ввести границі з нескінченними значеннями.

Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$.

Кажуть, що ${\displaystyle f}$ прямує до плюс нескінченності в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для довільного дійсного числа ${\displaystyle C}$ існує дійсне ${\displaystyle \delta >0}$ таке, що для будь-якого дійсного ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}}$ виконується нерівність ${\displaystyle f(x)>C}$.

Позначення: ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=+\infty }$ або ${\displaystyle f(x)\to +\infty }$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$.

Кажуть, що ${\displaystyle f}$ прямує до мінус нескінченності в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо для довільного дійсного числа ${\displaystyle C}$ існує дійсне ${\displaystyle \delta >0}$ таке, що для будь-якого дійсного ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}}$ виконується нерівність ${\displaystyle f(x)<C}$.

Позначення: ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=-\infty }$ або ${\displaystyle f(x)\to -\infty }$ при ${\displaystyle x\to x_{0}}$.

Можна поєднувати ідеї декількох означень границь в точці за Коші природним чином, щоб отримати визначення для різних комбінацій, наприклад

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=+\infty ,\lim _{x\to a+}f(x)=-\infty .}$

Так само можна поєднувати означення за Гейне.

Приклад:

${\displaystyle \lim _{x\to 0+}\ln x=-\infty .}$

Властивості

Нехай ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$, ${\displaystyle a}$ — гранична точка ${\displaystyle A}$, задані функції ${\displaystyle f,g:\,A\to \mathbb {R} }$ та існують границі ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$, ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)}$. Тоді при таких умовах границя функції в точці має наступні властивості:

• Якщо ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=a_{1}}$ і ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=a_{2}}$, то ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$.

• Якщо ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=a}$ і ${\displaystyle b\in \mathbb {R} :\,a<b}$, то

${\displaystyle \exists \delta >0\,\forall x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}:\,f(x)<b}$.

• Якщо ${\displaystyle \forall x\in A\,f(x)\leqslant g(x)}$, то ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)\leqslant \lim _{x\to x_{0}}g(x)}$.

• Теорема про арифметичні дії

1. ${\displaystyle \forall C\in \mathbb {R} \,\,\lim _{x\to x_{0}}(Cf(x))=C\lim _{x\to x_{0}}f(x)}$;
2. ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)+g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)+\lim _{x\to x_{0}}g(x)}$;
3. ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)g(x))=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\cdot \lim _{x\to x_{0}}g(x)}$;
4. Якщо додатково ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)\neq 0}$, то ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)}{\lim \limits _{x\to x_{0}}g(x)}}}$
5. ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}\left(f(x)^{g(x)}\right)=\left(\lim _{x\to x_{0}}f(x)\right)^{\lim \limits _{x\to x_{0}}g(x)}}$ якщо права частина можлива.

Теорема про арифметичні дії також дійсна для односторонніх границь, у тому числі коли границя дорівнює ${\displaystyle +\infty }$ або ${\displaystyle -\infty }$. У кожній рівності вище, коли одна з границь праворуч дорівнює ${\displaystyle +\infty }$ або ${\displaystyle -\infty }$, границя ліворуч іноді все ще може визначатися наступними правилами:

• q + ∞ = ∞ якщо q ≠ −∞
• q × ∞ = ∞ якщо q > 0
• q × ∞ = −∞ якщо q < 0
• q / ∞ = 0 якщо q ≠ ∞ і q ≠ −∞
• ∞^q = 0 якщо q < 0
• ∞^q = ∞ якщо q > 0
• q^∞ = 0 якщо 0 < q < 1
• q^∞ = ∞ якщо q > 1
• q^−∞ = ∞ якщо 0 < q < 1
• q^−∞ = 0 якщо q > 1

Границя композиції функцій

У загальному від того, що

${\displaystyle \lim _{y\to b}f(y)=c}$ та ${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=b}$,

не випливає, що ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(g(x))=c}$, де ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$ і ${\displaystyle g:\,B\to \mathbb {R} }$, b — гранична точка множини A, a — гранична точка множини B. Це «правило ланцюга» діє, якщо виконується одна з наступних додаткових умов:

• ${\displaystyle f(b)=c}$, тобто f неперервна в b;
• ${\displaystyle \exists \delta >0:\,\forall x\in B\cap B(a,\delta )\,|g(x)-b|>0}$, тобто g не приймає значення b поблизу a.

Для прикладу розглянемо таку функцію, яка порушує обидві умови:

${\displaystyle f(x)=g(x)={\begin{cases}0,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}.}$

Оскільки точка 0 є розривом, який можна (усунути), то

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=0}$ для всіх ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$.

Таким чином, наївне «правило ланцюга» передбачає, що границя ${\displaystyle f(f(x))}$ дорівнює 0. Однак

${\displaystyle f(f(x))={\begin{cases}1,&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}}$

і тому

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(f(x))=1}$ для всіх ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$.

Правило Лопіталя

Докладніше: Правило Лопіталя

Це правило використовує похідні, щоб розкрити невизначеності вигляду 0/0 або ±∞/∞, і застосовується лише до таких випадків. Нехай f(x) і g(x), визначені на відкритому інтервалі I, що містить граничну точку c, які задовольняють наступні умови:

1. ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0,}$ або ${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty }$,
2. ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ диференційовні на ${\displaystyle I\setminus \{c\}}$,
3. ${\displaystyle g^{\prime }(x)\neq 0}$ для всіх ${\displaystyle x\in I\setminus \{c\}}$,
4. ${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}$ існує.

Тоді

${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}}$.

Наприклад,

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.}$

Основні приклади границь функцій в точці

Докладніше: Список границь

Раціональні функції

Для цілого невід’ємного числа ${\displaystyle n}$ та констант ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}}$ і ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n}}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {a_{1}{x}^{n}+a_{2}{x}^{n-1}+a_{3}{x}^{n-2}+...+a_{n}}{b_{1}{x}^{n}+b_{2}{x}^{n-1}+b_{3}{x}^{n-2}+...+b_{n}}}={\frac {a_{1}}{b_{1}}}}$.

Це можна довести, поділивши як чисельник, так і знаменник на ${\displaystyle x^{n}}$. Якщо чисельник є поліномом більшого степеня ніж знаменник, то у цьому випадку раціональна функція прямує до ${\displaystyle +\infty }$. Якщо знаменник більшого степеня ніж чисельник, то границя дорівнює 0.

Тригонометричні функції

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$ — перша чудова границя
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}$

Експоненціальні функції

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}(1+x)^{\frac {1}{x}}=\lim _{r\to \infty }\left(1+{\frac {1}{r}}\right)^{r}=e}$ — друга чудова границя
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {e^{ax}-1}{bx}}={\frac {a}{b}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {c^{ax}-1}{bx}}={\frac {a}{b}}\ln c}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1}$

Логарифмічні функції

• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+ax)}{bx}}={\frac {a}{b}}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\log _{c}(1+ax)}{bx}}={\frac {a}{b\ln c}}}$

Узагальнення на метричні простори

Нехай ${\displaystyle (X,\rho )}$, ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ — метричні простори, ${\displaystyle A\subset X}$, ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$. Елемент ${\displaystyle a\in Y}$ називається границею функції ${\displaystyle f:\,A\to Y}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\,\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\,\forall x\in A,\,x\neq x_{0},\,\rho (x,x_{0})<\delta :\,\sigma (f(x),a)<\varepsilon }$.

Також можна дати інше еквіваленте означення границі в точці для метричних просторів, аналогічне до означення за Гейне, розглянутого вище.

Елемент ${\displaystyle p\in Y}$ називається границею функції ${\displaystyle f:\,A\to Y}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$, для довільної послідовності ${\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }\subset A}$, ${\displaystyle x_{n}\neq x_{0}}$ при ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, що збігається до елемента ${\displaystyle x_{0}\in X}$, відповідна послідовність значень функції ${\displaystyle \left\{f\left(x_{n}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ збіжна і має границею один і той самий елемент ${\displaystyle p}$.

Найбільш важливими є наступні випадки:

1. ${\displaystyle X=Y=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$ — дійсна функція, визначена на множині ${\displaystyle A}$ дійсних чисел;
2. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n},\,Y=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$ — дійсна функція n-змінних;
3. ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n},\,Y=\mathbb {R} ^{m}}$, ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$ — векторна функція n-змінних;
4. ${\displaystyle (X,\rho )}$ — метричний простір, ${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle f:\,A\to \mathbb {R} }$ — дійсна функція, яка задана на множині ${\displaystyle A}$ метричного простору.

Узагальнення на топологічні простори

Нехай ${\displaystyle (X,\tau _{X})}$ — топологічний простір, ${\displaystyle (Y,\tau _{Y})}$ — гаусдорфів топологічний простір, ${\displaystyle A\subset X}$, ${\displaystyle x_{0}}$ — гранична точка множини ${\displaystyle A}$. Елемент ${\displaystyle a\in Y}$ називається границею функції ${\displaystyle f:\,A\to Y}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$, якщо

${\displaystyle \forall V_{a}\in \tau _{Y},\,a\in V_{a}\,\exists U_{x_{0}}\in \tau _{X},x_{0}\in U_{x_{0}}:\,f((U_{x_{0}}\cap A)\setminus \{x_{0}\})\subset V_{a}}$.

Означення, аналогічне до Гейне вже буде частковим випадком, визначиного вище, а не рівносильним йому.

Вимога, щоб простір Y був гаусдорфовим, може бути послаблена до припущення, що Y є просто топологічним простором, але тоді границя функції може не бути єдиною. Тому вже не можна буде говорити про границю функції в точці, а скоріше про множину границь у точці.

Див. також

• Границя послідовності
• Верхня і нижня границі
• Повторна границя
• Узагальнена послідовність
• Стискна теорема — обчислення границі шляхом обмеження функції між двома іншими функціями
• Нотація Ландау — нотації, що описують асимптотичну поведінку функцій
• Асимптотична рівність

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — .(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Либідь, 1994. — 304 с. — .(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• М.О.Дзедзінський. Математичний Аналіз для студентів. — Листочок.
• Поняття границі функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 207. — 594 с.
• Sutherland, W. A. (1975), Introduction to Metric and Topological Spaces, Oxford: Oxford University Press, ISBN 

Виноски

1. Felscher, Walter (2000), Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta, American Mathematical Monthly, 107 (9): 844—862, doi:10.2307/2695743, JSTOR 2695743
2. Grabiner, Judith V. (1983), Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus, American Mathematical Monthly, 90 (3): 185—194, doi:10.2307/2975545, JSTOR 2975545, наявна в Who Gave You the Epsilon? [ 2012-10-04 у Wayback Machine.], сс. 5–13. Також доступна на сторінці http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf
3. Sinkevich, G. I. (2017). Historia epsylontyki (PDF). Antiquitates Mathematicae. Cornell University. 10. arXiv:1502.06942. doi:10.14708/am.v10i0.805.
4. Burton, David M. (1997), The History of Mathematics: An introduction (вид. Third), New York: McGraw–Hill, с. 558—559, ISBN 
5. Miller, Jeff (1 грудня 2004), Earliest Uses of Symbols of Calculus, процитовано 18 грудня 2008