Епсилон-окіл

Епсилон-окіл (${\displaystyle \varepsilon }$-окіл) множини у функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це така множина, кожна точка якої віддалена від даної множини менш, ніж на ${\displaystyle \varepsilon }$.

Означення

• Нехай ${\displaystyle (X,\varrho )}$ — метричний простір, ${\displaystyle x_{0}\in X,}$ і ${\displaystyle \varepsilon >0.}$

${\displaystyle \varepsilon }$-околом ${\displaystyle x_{0}}$ називається множина

${\displaystyle U_{\varepsilon }(x_{0})=\{x\in X\mid \varrho (x,x_{0})<\varepsilon \}.}$

• Нехай дана підмножина ${\displaystyle A\subset X.}$ Тоді ${\displaystyle \varepsilon }$-околом цієї множини називається множина

${\displaystyle U_{\varepsilon }(A)=\bigcup \limits _{x\in A}U_{\varepsilon }(x).}$

Приклади

Нехай є дійсна пряма ${\displaystyle \mathbb {R} }$ зі стандартною метрикою ${\displaystyle \varrho (x,y)=|x-y|,\;x,y\in \mathbb {R} .}$ Тоді

• ${\displaystyle U_{2}(1)=(-1,3);}$
• ${\displaystyle U_{1}([5,7])=(4,8).}$