G-область

У математиці, G-областю або областю Гольдмана називається область цілісності A для якої поле часток є скінченнопородженою алгеброю над A. Названі на честь американського математика Оскара Гольдмана.

Ідеал I у комутативному кільці A називається G-ідеалом якщо фактор-кільце A/I є G-областю. G-ідеали є простими але не обов'язково максимальними.

Еквівалентні означення

Область цілісності ${\displaystyle A}$ є G-областю якщо і тільки якщо для неї виконуються еквівалентні умови:

• Його поле часток є простим розширенням області ${\displaystyle A}$
• Його поле часток є скінченним розширенням області ${\displaystyle A}$
• Перетин його ненульових простих ідеалів є ненульовим
• Існує елемент ${\displaystyle y\in A}$ такий, що для кожного ненульового ідеалу ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle y^{n}\in I}$ для деякого ${\displaystyle n}$.

Дані характеристики G-області є еквівалентними. Справді з першої властивості тривіально випливає друга. Якщо натомість ${\displaystyle K=A[x_{1}/y_{1},\ldots ,x_{n}/y_{n}]}$, то позначивши ${\displaystyle y=y_{1},\ldots ,y_{n}}$ також ${\displaystyle K=A[1/y]}$ і розширення є простим.

Якщо тепер ${\displaystyle K=A[1/y]}$ то для будь-якого простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ у ${\displaystyle A}$ і ненульового елемента ${\displaystyle x\in {\mathfrak {p}}}$ у полі ${\displaystyle K}$ виконується рівність ${\displaystyle x^{-1}=zy^{-n}}$ для деяких ${\displaystyle z\in A,\;n\in \mathbb {N} }$. Тоді ${\displaystyle y^{n}=zx\in {\mathfrak {p}}}$, тому ${\displaystyle y\in {\mathfrak {p}}}$. Тобто ${\displaystyle y}$ належить перетину усіх простих ідеалів. Тобто з першої характеристики випливає третя.

Якщо при цьому усі степені ${\displaystyle y}$ не належать деякому ненульовому ідеалу ${\displaystyle I}$, то згідно теореми віддільності у статті Простий ідеал існує також простий ідеал якому не належать усі степені ${\displaystyle y}$. Тобто з третьої характеристики випливає четверта.

Нехай тепер виконується четверта властивість і ${\displaystyle x\in A}$ — довільний ненульовий елемент. Тоді головний ідеал ${\displaystyle (x)}$ містить деякий степінь елемента ${\displaystyle y}$. Тобто для деяких ${\displaystyle z\in A,\;n\in \mathbb {N} }$ виконується рівність ${\displaystyle y^{n}=xz}$ і тому у полі часток ${\displaystyle x^{-1}=zy^{-n}}$. Зважаючи на довільність вибору елемента ${\displaystyle x}$ отримуємо, що з четвертої властивості випливає перша.

Приклади

• Будь-яке поле є G-областю.
• Кільце головних ідеалів є G-областю тоді і тільки тоді коли в ній є скінченна кількість простих елементів (з точністю до множення на оборотні елементи).
• Якщо ${\displaystyle A}$ є областю цілісності то кільце многочленів ${\displaystyle A[x]}$ не є G-областю.

Нехай ${\displaystyle K}$ — поле часток кільця ${\displaystyle A}$. Якщо ${\displaystyle A[x]}$ є G-областю, то G-областю є також ${\displaystyle K[x]}$. Кільце ${\displaystyle K[x]}$ є кільцем головних ідеалів. Тому достатньо довести, що у ${\displaystyle K[x]}$ є нескінченна кількість простих елементів. Припустимо, що ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ — усі незвідні многочлени зі старшим коефіцієнтом 1. Тоді многочлен ${\displaystyle q=p_{1}\cdot \ldots p_{n}+1}$ не ділиться на жоден із незвідних многочленів, що приводить до суперечності. Тому множина має бути нескінченною і ${\displaystyle A[x]}$ не може бути G-областю.

Властивості

• Радикал ідеалу  I є перетином всіх G-ідеалів, що містять I.

Кожен елемент радикала належить усім простим ідеалам, що містять I, зокрема і всім G-ідеалам, що містять I. Навпаки якщо елемент ${\displaystyle x}$ не належить радикалу ідеалу, то максимальний елемент множини ідеалів, що містять I і не перетинаються із мультиплікативною системою ${\displaystyle x^{n}}$ буде деяким простим ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$. Образ елемента ${\displaystyle x}$ у фактор-кільці ${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}}$ належатиме всім простим ідеалам (зважаючи на максимальність ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ серед простих ідеалів, що не містять ${\displaystyle x}$), а тому ${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}}$ є G-областю і ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — G-ідеалом.

• Якщо область цілісності A із полем часток K є G-областю то будь-яке кільце R таке що ${\displaystyle A\subset R\subset K}$ теж є G-областю.
• Кожен максимальний ідеал є G-ідеалом, оскільки фактор-кільце по максимальному ідеалу є полем. G-ідеали є єдиними максимальними ідеалами у кільці Джекобсона, і навпаки кільце є кільцем Джекобсона якщо всі максимальні ідеали є G-ідеалами.
• Якщо ${\displaystyle B\supset A}$, є розширенням областей і ${\displaystyle A}$ є G-областю, то ${\displaystyle B}$ є алгебричним над ${\displaystyle R}$ якщо і тільки якщо кожне кільце R таке що ${\displaystyle A\subset R\subset K}$ є G-областю.
• Якщо ${\displaystyle A}$ є областю цілісності і кільце ${\displaystyle A[u]}$ є G-областю то ${\displaystyle A}$ теж є G-областю, а елемент ${\displaystyle u}$ — алгебричний над ${\displaystyle A}$.
• Область цілісності ${\displaystyle A}$ є G-областю тоді і тільки тоді коли у кільці многочленів ${\displaystyle A[x]}$ існує максимальний ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ для якого ${\displaystyle A\cup {\mathfrak {m}}=\emptyset }$.
• Нетерівська область цілісності є G-областю якщо і тільки якщо кожен її простий ідеал є максимальним і вона має скінченну кількість максимальних ідеалів (чи, еквівалентно, простих ідеалів).

Примітки

1. Kaplansky, Irving. Commutative Algebra. Polygonal Publishing House, 1974, pp. 12, 13.
2. Kaplansky, Irving. Commutative Algebra. Polygonal Publishing House, 1974, pp. 16, 17.
3. Kaplansky, Irving. Commutative Algebra. Polygonal Publishing House, 1974, p. 19.
4. Dobbs, David. "G-область Pairs". Trends у Commutative Algebra Research, Nova Science Publishers, 2003, pp. 71–75.

Див. також

• Кільце Джекобсона

Література

• Kaplansky, Irving (1974), Commutative rings (вид. Revised), University of Chicago Press, ISBN , MR 0345945
• Picavet, Gabriel (1999), About GCD domains, у Dobbs, David E. (ред.), Advances in commutative ring theory. Proceedings of the 3rd international conference, Fez, Morocco, Lect. Notes Pure Appl. Math., т. 205, New York, NY: Marcel Dekker, с. 501—519, ISBN , Zbl 0982.13012