Abc-гіпотеза

Abc-гіпотеза (також відома як гіпотеза Естерле–Массера ) — це гіпотеза розділу теорії чисел, яка виникла як результат дискусій Джозефа Естерле та Девіда Массера в 1985 році Вона виражається в термінах трьох натуральних чисел a, b і c (звідси й назва), які є взаємно простими та задовольняють умову a + b = c . Гіпотеза по суті стверджує, що добуток різних простих множників abc зазвичай не набагато менший за c . Низка гіпотез і теорем теорії чисел випливають безпосередньо з abc-гіпотези або її версій. Математик Доріан Голдфельд описав цю гіпотезу як «найважливішу невирішену проблему діофантового аналізу ».

Напрямок	Теорія Чисел
Автори	^[en] ^[en]
Рік	1985
Еквівалентне	^[en]
Наслідки	^[en] ^[en] Гіпотеза Морделла Велика теорема Ферма Гіпотеза Ферма — Каталана (Теорема Рота) ^[en]

Математик Джозеф Остерле

Математик Девід Массер

Abc-гіпотеза виникла як результат спроб Остерле та Массера зрозуміти гіпотезу Шпіро про еліптичні криві , що включає у своє твердження більше геометричних структур, ніж abc-гіпотеза . Було доведено, що abc-гіпотеза еквівалентна модифікованій гіпотезі Шпіро.

Було зроблено багато спроб довести abc-гіпотезу, але наразі жодна з них не прийнята повністю математичною спільнотою, і станом на 2020 рік вона все ще вважається недоведеною.

Формулювання

Перш ніж сформулювати гіпотезу, слід ввести поняття радикала цілого числа : для натурального числа n радикал n, позначається rad( n ), є добутком різних простих множників n . Наприклад:

rad(16) = rad(2⁴) = rad(2) = 2,

rad(17) = 17,

rad(18) = rad(2 ⋅ 3²) = 2 · 3 = 6,

rad(1000000) = rad(2⁶ ⋅ 5⁶) = 2 ⋅ 5 = 10.

Якщо a, b і c є взаємно простими натуральними числами, такими що a + b = c, виявляється, що "зазвичай" c < rad( abc ). Abc-гіпотеза має справу з винятками. Зокрема, в ній зазначено, що:

Для будь-якого додатного дійсного числа ε, існує скінченна кількість трійок (a, b, c) взаємно простих цілих чисел, які задовільняють умову a + b = c, таких, що that

${\displaystyle c>\operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

Еквівалентне формулювання:

Для довільного додатного дійсного числа ε, існує константа K_ε така що для всіх трійок взаємно простих цілих чисел (a, b, c) , таких що a + b = c:

${\displaystyle c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}$

Еквівалентно (використовуючи позначення o-маленьке ):

Для всіх трійок (a, b, c) взаємно простих додатних цілих чисел таких, що a + b = c, rad(abc) є щонайменше c^1-o(1).

Четверте еквівалентне формулювання гіпотези включає у себе поняття якості q ( a, b, c ) трійки ( a, b, c ), що визначається як

${\displaystyle q(a,b,c)={\frac {\log(c)}{\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}}}.}$

Наприклад:

q(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...

q(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...

Типова трійка ( a, b, c ) взаємно простих натуральних чисел з умовою a + b = c матиме c < rad( abc ), тобто q ( a, b, c ) < 1. Трійки з q > 1, такі як наведені у другому прикладі, доволі особливі, вони складаються з чисел, які діляться на великі степені малих простих чисел . Третє формулювання:

Для довільного натурального числа ε, існує скінченна кількість трійок (a, b, c) взаємно простих натуральних чисел, що задовільняють умову a + b = c таких, що q(a, b, c) > 1 + ε.

Оскільки відомо, що існує нескінченна кількість трійок ( a, b, c ) взаємно простих натуральних чисел з умовою a + b = c таких, що q ( a, b, c ) > 1, то гіпотеза передбачає, що лише скінченна кількість із них мають q > 1,01 або q > 1,001 або навіть q > 1,0001 тощо. Зокрема, якщо гіпотеза вірна, то має існувати така трійка ( a, b, c ), яка досягає максимально можливої якості q ( a, b, c ).

Приклади трійок з малим радикалом

Умова ε > 0 є необхідною, оскільки існує нескінченна кількість трійок a, b, c з c > rad( abc ). Наприклад, нехай

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{6n}-1,\quad c=2^{6n},\qquad n>1.}$

Ціле число b ділиться на 9:

${\displaystyle b=2^{6n}-1=64^{n}-1=(64-1)(\cdots )=9\cdot 7\cdot (\cdots ).}$

Використовуючи цей факт, виконуються такі обчислення:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rad} (abc)&=\operatorname {rad} (a)\operatorname {rad} (b)\operatorname {rad} (c)\\&=\operatorname {rad} (1)\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\operatorname {rad} \left(2^{6n}\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(2^{6n}-1\right)\\&=2\operatorname {rad} \left(9\cdot {\tfrac {b}{9}}\right)\\&\leqslant 2\cdot 3\cdot {\tfrac {b}{9}}\\&=2{\tfrac {b}{3}}\\&<{\tfrac {2}{3}}c.\end{aligned}}}$

Замінивши експоненту 6 n іншими експонентами, змусивши b мати більші квадратичні множники, співвідношення між радикалом і c можна зробити як завгодно малим. Зокрема, нехай p > 2 є простим числом і розглянемо

${\displaystyle a=1,\quad b=2^{p(p-1)n}-1,\quad c=2^{p(p-1)n},\qquad n>1.}$

Тепер можна стверджувати, що b ділиться на p ² :

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=2^{p(p-1)n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}\right)^{n}-1\\&=\left(2^{p(p-1)}-1\right)(\cdots )\\&=p^{2}\cdot r(\cdots ).\end{aligned}}}$

Останній крок використовує той факт, що p ² ділить 2 ^{p ( p −1)} − 1. Це напряму випливає з малої теореми Ферма, яка стверджує, що для p > 2, 2 ^{p −1} = pk + 1 для деякого цілого числа k . Піднесення обох частин до степеня p показує, що 2 ^{p ( p −1)} = p ² (...) + 1.

А тепер подібними обчисленнями, як описано вище, отримуємо:

${\displaystyle \operatorname {rad} (abc)<{\tfrac {2}{p}}c.}$

Нижче наведено список трійок найвищої якості (трійок з особливо малим радикалом відносно c ); найвищу якість, 1,6299, виявив Ерік Рейссат (Lando та Zvonkin, 2004) для

a = 2,

b = 3¹⁰·109 = 6436341,

c = 23⁵ = 6436343,

rad(abc) = 15042.

Abc-гіпотеза має велику кількість наслідків. До них належать як відомі результати (деякі з яких були доведені окремо уже після того, як гіпотеза була висловлена), так і гіпотези, для яких вона дає умовне доведення . Серед наслідків:

• (Теорема Рота) про діофантову апроксимацію алгебраїчних чисел .
• Гіпотеза Морделла (уже доведена Гердом Фалтінгсом ).
• Як еквівалент, гіпотеза Войта в розмірності 1.
• Гіпотеза Ердеша–Вудса, яка допускає кінцеву кількість контрприкладів.
• Існування нескінченної кількості невіферіхових простих чисел у кожній основі b > 1.
• Слабка форма гіпотези Маршалла Холла про відокремлення квадратів і кубів цілих чисел.
• Велика теорема Ферма має відомий складний доказ Ендрю Вайлза. Однак це випливає легко, принаймні для ${\displaystyle n\geq 6}$, від ефективної форми слабкої версії гіпотези abc . Гіпотеза abc говорить, що lim sup набору всіх якостей (визначених вище) дорівнює 1, що передбачає набагато слабше твердження про те, що існує кінцева верхня межа для якостей. Припущення, що 2 є такою верхньою межею, достатньо для дуже короткого доказу останньої теореми Ферма для ${\displaystyle n\geq 6}$ .
• Гіпотеза Ферма-Каталана, узагальнення останньої теореми Ферма щодо степенів, які є сумами степенів.
• L -функція L ( s, χ _d ), утворена за допомогою символу Лежандра, не має нуля Зігеля, враховуючи уніфіковану версію abc-гіпотези у числових полях, а не лише abc-гіпотезу, як сформульовано вище для раціональних цілих чисел.
• Многочлен P ( x ) має лише скінченну кількість досконалих степенів для всіх цілих чисел x, якщо P має принаймні три прості нулі .
• Узагальнення теореми Тідждемана щодо кількості розв’язків y ^m = x ⁿ + k (теорема Тідждемана відповідає випадку k = 1) і гіпотези Піллаї (1931) щодо кількості розв’язків Ay ^m = Bx ⁿ + k .
• Як еквівалент, гіпотеза Гранвіля–Ланжевена, що якщо f є бінарною формою без квадратів степеня n > 2, то для довільного дійсного β > 2 існує константа C ( f, β ), така що для всіх взаємно простих цілих чисел x, y, радикал f ( x, y ) перевищує C · max{| х |, | y |} ^{n − β} .
• Як еквівалент, модифікована гіпотеза Шпіро, яка дасть межу rad( abc ) ^{1,2+ ε} .
• Dąbrowski, (1996) показав, що гіпотеза abc означає, що має лише скінченну кількість розв’язків для будь-якого даного цілого числа A .
• Існує ~ c _f N додатних цілих чисел n ≤ N, для яких f ( n )/B' є вільним від квадратів, де c _f > 0 додатна константа, визначена як:
  ${\displaystyle c_{f}=\prod _{{\text{prime }}p}x_{i}\left(1-{\frac {\omega \,\!_{f}(p)}{p^{2+q_{p}}}}\right).}$
• Гіпотеза Біла, узагальнення великої теореми Ферма, яка припускає, що якщо A, B, C, x, y та z є натуральними числами з A ^x + B ^y = C ^z та x, y, z > 2, то A, B, і C мають спільний простий множник. Гіпотеза abc означатиме, що існує лише кінцева кількість контрприкладів.
• Гіпотеза Ленга, нижня межа для висоти раціональної точки без кручення еліптичної кривої.
• Від'ємний розв’язок проблеми Ердеша–Улама на щільних множинах евклідових точок із раціональними відстанями.
• Ефективний варіант теореми Зігеля про цілі точки на алгебраїчних кривих.

Теоретичні результати

Abc-гіпотеза передбачає, що c може бути обмежено зверху майже лінійною функцією радикала abc . Відомо, що межі є експоненціальними . Зокрема, було доведено такі межі:

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{1}\operatorname {rad} (abc)^{15}\right)}}$ (Stewart та Tijdeman, 1986),

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{2}\operatorname {rad} (abc)^{{\frac {2}{3}}+\varepsilon }\right)}}$ (Stewart та Yu, 1991), та

${\displaystyle c<\exp {\left(K_{3}\operatorname {rad} (abc)^{\frac {1}{3}}\left(\log(\operatorname {rad} (abc)\right)^{3}\right)}}$ (Stewart та Yu, 2001).

У даних межах K ₁ і K ₃ є константами, які не залежать від a, b чи c, а K ₂ є константою, яка залежить від ε ( ефективно обчислюваним способом), але не залежить від a, b або c . Межі застосовуються до будь-яких трійок, для яких c > 2.

Результати обчислень

У 2006 році математичний факультет Лейденського університету в Нідерландах спільно з нідерландським науковим інститутом Kennislink запустив проект ABC@Home, грід- обчислювальну систему, метою якої є виявлення додаткових трійок a, b, c з rad( abc ) < c . Хоча жоден скінченний набір прикладів чи контрприкладів не може довести чи спростувати abc-гіпотезу, є сподівання, що закономірності в трійках, які будуть виявлені цим проектом, приведуть до глибшого розуміння цієї гіпотези.

Розподіл трійок з q > 1

q c	q > 1	q > 1.05	q > 1.1	q > 1.2	q > 1.3	q > 1.4
c < 10^2	6	4	4	2	0	0
c < 10^3	31	17	14	8	3	1
c < 10^4	120	74	50	22	8	3
c < 10^5	418	240	152	51	13	6
c < 10^6	1,268	667	379	102	29	11
c < 10^7	3,499	1,669	856	210	60	17
c < 10^8	8,987	3,869	1,801	384	98	25
c < 10^9	22,316	8,742	3,693	706	144	34
c < 10^10	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
c < 10^11	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
c < 10^12	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
c < 10^13	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
c < 10^14	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
c < 10^15	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
c < 10^16	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
c < 10^17	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
c < 10^18	14,482,065	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

Станом на травень 2014 року ABC@Home знайшов 23,8 мільйона трійок.

Трійки найвищої якості

Rank	q	a	b	c	Discovered by
1	1.6299	2	3^10·109	23^5	Eric Reyssat
2	1.6260	11^2	3^2·5^6·7^3	2^21·23	Benne de Weger
3	1.6235	19·1307	7·29^2·31^8	2^8·3^22·5^4	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4	1.5808	283	5^11·13^2	2^8·3^8·17^3	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5	1.5679	1	2·3^7	5^4·7	Benne de Weger

Примітка: якість q ( a, b, c ) трійки ( a, b, c ) визначена вище .

Уточнені форми, узагальнення та відповідні твердження

Гіпотеза abc є цілочисельним аналогом теореми Мейсона–Стозерса для поліномів.

Сильніша гіпотеза, запропонована Baker, (1998), стверджує, що в гіпотезі abc можна замінити rad( abc ) на

ε^−ω rad(abc),

де ω — загальна кількість різних простих чисел, що ділять a, b і c .

Ендрю Гранвіль помітив, що мінімум функції ${\displaystyle {\big (}\varepsilon ^{-\omega }\operatorname {rad} (abc){\big )}^{1+\varepsilon }}$ для ${\displaystyle \varepsilon >0}$ виникає при ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {\omega }{\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}}}.}$

Це надихнуло Baker, (2004) запропонувати чіткішу форму abc-гіпотези, а саме:

${\displaystyle c<\kappa \operatorname {rad} (abc){\frac {{\Big (}\log {\big (}\operatorname {rad} (abc){\big )}{\Big )}^{\omega }}{\omega !}}}$

де κ є абсолютною константою. Після кількох обчислювальних експериментів він виявив, що значення ${\displaystyle 6/5}$ було допустимим для κ . Ця версія називається «явною гіпотезою abc ».

Бейкер, (1998) також описав гіпотези що б дало верхню межу на c виду:

${\displaystyle K^{\Omega (abc)}\operatorname {rad} (abc),}$

де Ω( n ) — загальна кількість простих множників n, і

${\displaystyle O{\big (}\operatorname {rad} (abc)\Theta (abc){\big )},}$

де Θ( n ) — кількість цілих чисел до n, які діляться лише на прості числа, що ділять n .

Роберт, Стюарт та Тенанбаум, (2014) запропонували більш точну нерівність базуючись на Роберт та Тенанбаум, (2013). Нехай k = rad(abc). Вони припустили, що існує константа C₁ така що

${\displaystyle c<k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{1}}{\log \log k}}\right)\right)}$

виконується, тоді коли існує стала C ₂ така, що

${\displaystyle c>k\exp \left(4{\sqrt {\frac {3\log k}{\log \log k}}}\left(1+{\frac {\log \log \log k}{2\log \log k}}+{\frac {C_{2}}{\log \log k}}\right)\right)}$

виконується нескінченно часто.

Броукін та Бжезинський, (1994) сформулювали —версію abc гіпотезу для цілих чисел n > 2 .

Заявлені доведення

Люсьєн Шпіро запропонував рішення в 2007 році, але невдовзі у ньому знайшли помилку.

З серпня 2012 року Шінічі Мочізукі заявив про доведення гіпотези Шпіро, а отже, abc-гіпотези . Він випустив серію з чотирьох препринтів, які включали нову теорію, яку він назвав міжуніверсальною теорією Тейхмюллера (IUTT), яка в подальшому застосовується для підтвердження abc-гіпотези . Статті не були прийняті математичною спільнотою як докази гіпотези. Це відбулося не лише через їхню довжину та складність розуміння , а й тому, що принаймні один конкретний момент у аргументації був визначений як прогалина деякими іншими експертами. Незважаючи на те, що кілька математиків ручалися за правильність доведення і намагалися показати своє розуміння через семінари на IUTT, їм не вдалося переконати спільноту математиків теорії чисел.

У березні 2018 року Пітер Шольце та Якоб Стікс відвідали Кіото для обговорення з Мочізукі. Хоча вони не усунули розбіжності, вони чіткіше їх сформулювали. Шольце та Стікс написали звіт, в якому пояснювали помилку в логіці доведення та стверджували, що отримана прогалина була «настільки серйозною, що ... невеликі зміни не врятують стратегію доказу»; Мочізукі стверджував, що вони неправильно зрозуміли життєво важливі аспекти теорії та зробили некоректні спрощення.

3 квітня 2020 року двоє математиків з Кіотського науково-дослідного інституту, де працює Мочізукі, оголосили, що заявлене ним доведення буде опубліковано в публікаціях науково-дослідного інституту математичних наук, журналі інституту. Мочізукі є головним редактором цього журналу, але він відмовився від рецензування даної статті. Кіран Кедлая та Едвард Френкель сприйняли цю заяву зі скептицизмом, а журнал Nature описав її як «навряд чи приведе багатьох дослідників до табору Мочізукі». У березні 2021 року доведення Мочізукі було опубліковано в RIMS.

Дивіться також

• Список нерозв'язаних задач з математики

Список літератури

1. When a + b = c, coprimality of a, b, c implies of a, b, c. So in this case, it does not matter which concept we use.

Джерела

• (1998). Logarithmic forms and the abc-conjecture. У Győry, Kálmán (ред.). Number theory. Diophantine, computational and algebraic aspects. Proceedings of the international conference, Eger, Hungary, July 29-August 2, 1996. Berlin: de Gruyter. с. 37—44. ISBN . Zbl 0973.11047.
• (2004). Experiments on the abc-conjecture. Publicationes Mathematicae Debrecen. 65 (3–4): 253—260.
• Bombieri, Enrico (1994). Roth's theorem and the abc-conjecture (Preprint). ETH Zürich.^[]
• ; Gubler, Walter (2006). Heights in Diophantine Geometry. New Mathematical Monographs. Т. 4. Cambridge University Press. ISBN . Zbl 1130.11034.
• ; Brzeziński, Juliusz (1994). Some remarks on the abc-conjecture. Math. Comp. 62 (206): 931—939. Bibcode:1994MaCom..62..931B. doi:10.2307/2153551. JSTOR 2153551.
• Browkin, Jerzy (2000). The abc-conjecture. У Bambah, R. P.; Dumir, V. C.; Hans-Gill, R. J. (ред.). Number Theory. Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser. с. 75–106. ISBN .
• Dąbrowski, Andrzej (1996). On the diophantine equation x! + A = y². Nieuw Archief voor Wiskunde, IV. 14: 321—324. Zbl 0876.11015.
• (1991). ABC implies Mordell. International Mathematics Research Notices. 1991 (7): 99—109. doi:10.1155/S1073792891000144.
• (1997). On Ternary Equations of Fermat Type and Relations with Elliptic Curves. Modular Forms and Fermat's Last Theorem. New York: Springer. с. 527—548. ISBN .
• (1996). Beyond the last theorem. . 4 (September): 26—34. doi:10.1080/10724117.1996.11974985. JSTOR 25678079.
• (2002). Modular forms, elliptic curves and the abc-conjecture. У (ред.). A panorama in number theory or The view from Baker's garden. Based on a conference in honor of Alan Baker's 60th birthday, Zürich, Switzerland, 1999. Cambridge: Cambridge University Press. с. 128–147. ISBN . Zbl 1046.11035.
• ; Barrow-Green, June; Leader, Imre, ред. (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton: Princeton University Press. с. 361–362, 681. ISBN .
• (1998). ABC Allows Us to Count Squarefrees (PDF). International Mathematics Research Notices. 1998 (19): 991—1009. doi:10.1155/S1073792898000592.
• ; Stark, H. (2000). ABC implies no "Siegel zeros" for L-functions of characters with negative exponent (PDF). Inventiones Mathematicae. 139 (3): 509—523. Bibcode:2000InMat.139..509G. doi:10.1007/s002229900036.
• ; Tucker, Thomas (2002). It's As Easy As abc (PDF). . 49 (10): 1224—1231. CiteSeerX 10.1.1.146.610.
• Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Berlin: Springer-Verlag. ISBN .
• . ISBN . {{}}: Пропущений або порожній |title= ()
• Langevin, M. (1993). Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc. Comptes rendus de l'Académie des sciences (фр.). 317 (5): 441—444.
• (1985). Open problems. У Chen, W. W. L. (ред.). Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory. London: Imperial College.
• Mollin, R.A. (2009). (PDF). Far East Journal of Mathematical Sciences. 33: 267—275. ISSN 0972-0871. Zbl 1241.11034. Архів оригіналу (PDF) за 4 березня 2016. Процитовано 14 червня 2013.
• Mollin, Richard A. (2010). Advanced number theory with applications. Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN . Zbl 1200.11002.
• Nitaj, Abderrahmane (1996). La conjecture abc. Enseign. Math. (фр.). 42 (1–2): 3—24.
• (1988), Nouvelles approches du "théorème" de Fermat, Astérisque, Séminaire Bourbaki exp 694 (161): 165—186, ISSN 0303-1179, MR 0992208
• (2008). Computational Number Theory. The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. с. 361—362.
• (1988). Wieferich's criterion and the abc-conjecture. Journal of Number Theory. 30 (2): 226—237. doi:10.1016/0022-314X(88)90019-4. Zbl 0654.10019.
• Robert, Olivier; ; (2014). A refinement of the abc conjecture (PDF). Bulletin of the London Mathematical Society. 46 (6): 1156—1166. doi:10.1112/blms/bdu069.
• Robert, Olivier; Tenenbaum, Gérald (November 2013). Sur la répartition du noyau d'un entier [On the distribution of the kernel of an integer]. Indagationes Mathematicae (фр.). 24 (4): 802—914. doi:10.1016/j.indag.2013.07.007.
• ; (1986). On the Oesterlé-Masser conjecture. Monatshefte für Mathematik. 102 (3): 251—257. doi:10.1007/BF01294603.
• ; (1991). On the abc conjecture. Mathematische Annalen. 291 (1): 225—230. doi:10.1007/BF01445201.
• ; (2001). On the abc conjecture, II. . 108 (1): 169—181. doi:10.1215/S0012-7094-01-10815-6.
• Van Frankenhuijsen, Machiel (2002). The ABC conjecture implies Vojta's height inequality for curves. . 95 (2): 289—302. doi:10.1006/jnth.2001.2769. MR 1924103.
• Waldschmidt, Michel (2015). Lecture on the abc Conjecture and Some of Its Consequences. Mathematics in the 21st Century. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. Т. 98. с. 211—230. doi:10.1007/978-3-0348-0859-0_13. ISBN .

Посилання

• Distributed computing project called ^[en].
• Easy as ABC: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
• Weisstein, Eric W. abc Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Abderrahmane Nitaj's
• Bart de Smit's ABC Triples webpage
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
• The ABC's of Number Theory by ^[en]
• Questions about Number by ^[en]
• Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture on ^[en]
• ABC Conjecture ^[en] wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.
• abc Conjecture Numberphile video
• News about IUT by Mochizuki

1. Oesterlé, 1988.
2. Masser, 1985.
3. Goldfeld, 1996.
4. Fesenko, Ivan (September 2015). Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta-functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki. European Journal of Mathematics. 1 (3): 405—440. doi:10.1007/s40879-015-0066-0.
5. Castelvecchi, Davide (9 квітня 2020). Mathematical proof that rocked number theory will be published. Nature. 580 (7802): 177. Bibcode:2020Natur.580..177C. doi:10.1038/d41586-020-00998-2. PMID 32246118.
6. Waldschmidt, 2015.
7. Bombieri, (1994).
8. Elkies, (1991).
9. Van Frankenhuijsen, (2002).
10. Langevin, (1993).
11. Silverman, (1988).
12. Nitaj, (1996).
13. Granville, Andrew; Tucker, Thomas (2002). It's As Easy As abc (PDF). Notices of the AMS. 49 (10): 1224—1231.
14. Pomerance, (2008).
15. Granville та Stark, (2000).
16. The ABC-conjecture, Frits Beukers, ABC-DAY, Leiden, Utrecht University, 9 September 2005.
17. Mollin, (2009); Mollin, (2010)
18. Granville, (1998).
19. Pasten, Hector (2017), Definability of Frobenius orbits and a result on rational distance sets, , 182 (1): 99—126, doi:10.1007/s00605-016-0973-2, MR 3592123
20. arXiv:math/0408168 , Siegel’s theorem and the abc conjecture, Riv. Mat. Univ. Parma (7) 3, 2004, S. 323–332
21. , RekenMeeMetABC.nl (нід.), архів оригіналу за 22 грудня 2008, процитовано 3 жовтня 2012.
22. , ABC@Home, архів оригіналу за 15 травня 2014, процитовано 30 квітня 2014
23. 100 unbeaten triples. Reken mee met ABC. 7 листопада 2010.
24. Bombieri та Gubler, (2006), с. 404.
25. "Finiteness Theorems for Dynamical Systems", Lucien Szpiro, talk at Conference on L-functions and Automorphic Forms (on the occasion of Dorian Goldfeld's 60th Birthday), Columbia University, May 2007. See (26 травня 2007), Proof of the abc Conjecture?, Not Even Wrong.
26. Ball, Peter (10 вересня 2012). Proof claimed for deep connection between primes. Nature. doi:10.1038/nature.2012.11378. Процитовано 19 березня 2018.
27. Mochizuki, Shinichi (4 березня 2021). Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations. Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. 57 (1): 627—723. doi:10.4171/PRIMS/57-1-4.
28. (17 грудня 2017). The ABC conjecture has (still) not been proved. Процитовано 17 березня 2018.
29. Revell, Timothy (7 вересня 2017). Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page 'summary'. New Scientist.
30. ; . (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 8 лютого 2020. Процитовано 23 вересня 2018. (updated version of their May report [ 2020-02-08 у Wayback Machine.])
31. (28 вересня 2016). Fukugen. Inference. 2. Процитовано 30 жовтня 2021.
32. (15 грудня 2015). Notes on the Oxford IUT workshop by Brian Conrad. Процитовано 18 березня 2018.
33. Castelvecchi, Davide (8 жовтня 2015). The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof. Nature. 526 (7572): 178—181. Bibcode:2015Natur.526..178C. doi:10.1038/526178a. PMID 26450038.
34. (20 вересня 2018). Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture. Quanta Magazine.
35. March 2018 Discussions on IUTeich. Процитовано 2 жовтня 2018. Web-page by Mochizuki describing discussions and linking consequent publications and supplementary material
36. . Report on Discussions, Held during the Period March 15 – 20, 2018, Concerning Inter-Universal Teichmüller Theory (PDF). Процитовано 1 лютого 2019. the ... discussions ... constitute the first detailed, ... substantive discussions concerning negative positions ... IUTch.
37. (July 2018). Comments on the manuscript by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory (PDF). Процитовано 2 жовтня 2018.
38. . Comments on the manuscript (2018-08 version) by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory (PDF). Процитовано 2 жовтня 2018.
39. . Mochizuki's proof of ABC conjecture. Процитовано 13 липня 2021.