Гіпотеза Ферма — Каталана

Гіпотеза Ферма Каталана — теоретико-числова гіпотеза, яка узагальнює велику теорему Ферма і гіпотезу Каталана. Вона стверджує, що рівняння

${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}}$

має не більше ніж скінченне число розв'язків ${\displaystyle a,b,c,m,n,k}$ з різними трійками значень ${\displaystyle a^{m},b^{n},c^{k}}$, де ${\displaystyle a,b,c}$ — взаємно прості натуральні числа, а ${\displaystyle m,n,k}$ — натуральні числа, що задовольняють співвідношенню

${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1.}$

Відомі розв'язки

На 2014-й рік відомо всього 10 розв'язків цього рівняння:

${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}}$

${\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}}$

${\displaystyle 13^{2}+7^{3}=2^{9}}$

${\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}}$

${\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}}$

${\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}}$

${\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}}$

${\displaystyle 9262^{3}[phone]^{2}=113^{7}}$

${\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}}$

${\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}}$

Розв'язок ${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}}$ — це єдиний розв'язок, у якому одне з ${\displaystyle a,b,c}$ дорівнює 1. У цьому полягає гіпотеза Каталана, доведена у 2006 році ^[en].

Всі розв'язки знайдено для трійок показників ${\displaystyle m,n,k,}$ рівних ${\displaystyle (2,3,7),(n,n,n),(2,3,8),(2,3,9),(2,4,5),(2,4,6),(3,3,4),(3,3,5),(2,4,7),(2,n,n),(3,n,n),(2n,2n,5),(2,4,n)}$.

Часткові результати

За теоремою Фальтингса для будь-яких фіксованих натуральних ${\displaystyle m,n,k}$, які задовольняють нерівності ${\displaystyle {\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{k}}<1}$, існує не більше ніж скінченне число трійок ${\displaystyle a,b,c}$, що задовольняють рівнянню ${\displaystyle a^{m}+b^{n}=c^{k}}$,^{:p. 64} але гіпотеза Ферма — Каталана строгіша, оскільки стверджує скінченність числа розв'язків для нескінченної множини трійок ${\displaystyle m,n,k}$.

abc-гіпотеза тягне гіпотезу Ферма — Каталана.

полягає в тому, що всі розв'язки рівняння Ферма — Каталана мають один з показників рівний 2.

Примітки

1. Pomerance, Carl (2008), Computational Number Theory, у Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (ред.), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, с. 361—362, ISBN .
2. Darmon, H.; Granville, A. (1995). On the equations z^m = F(x, y) and Ax^p + By^q = Cz^r. Bulletin of the London Mathematical Society. 27: 513—43. doi:10.1112/blms/27.6.513.
3. Elkies, Noam D. (2007). (PDF). The Harvard College Mathematics Review. 1 (1). Архів оригіналу (PDF) за 10 березня 2016. Процитовано 12 січня 2021.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Fermat-Catalan Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• . Величайшие математические задачи. — М. : , 2016. — 460 с. — .