Циклічний запис (англ. cycle notation) — це угода щодо запису переставок у виразах циклів, що їх складають. Також називають коловий запис (англ. circular notation), а переставку — колова (циклічна) переставка (англ. cyclic (circular) permutation).
Визначення
Нехай буде скінченна множина, і
будуть різними елементами в . Вираз
позначає σ чиїми діями є
Для кожного індексу i,
де означає
.
Існує різних виразів для того самого циклу; всі наступні представляють один цикл:
1-елементний цикл на кшталт (3) — це тотожна переставка. Тотожну переставку також можна записати як порожній цикл, "()".
Переставка як добуток циклів
Нехай буде переставкою в
, і нехай
будуть орбітами з кількістю елементів більшою ніж 1. Розглянемо елемент
,
, нехай
позначає потужність
,
=
. Також, виберемо
, і визначимо
Тепер ми можемо виразити як добуток неперетинних циклів, as a product of disjoint cycles, а саме
Зауважимо, що звична домовленість в циклічному записі визначає множення зліва направо (на відміну від композиції функцій, яка зазвичай виконується справа наліво). Наприклад, добуток дорівнює
, але ні
.
Приклад
Використаємо 24-елементну симетричну групу на виражену через використання циклічного запису, і груповану відповідно до класів спряженості:
Див. також
Примітки
- Fraleigh 2002:89; Hungerford 1997:230
- Dehn 1930:19
- Hungerford 1997:231
- Johnson 2003:691
Посилання
- Циклічний запис на PlanetMath.(англ.)
- Dehn, Edgar (1960) [1930], Algebraic Equations, Dover.
- Fraleigh, John (2003), A first course in abstract algebra (вид. 7th), Addison Wesley, с. 88–90, ISBN .
- Hungerford, Thomas W. (1997), Abstract Algebra: An Introduction, Brooks/Cole, ISBN .
- Johnson, James L. (2003), Probability and Statistics for Computer Science, Wiley Interscience, ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ciklichnij zapis angl cycle notation ce ugoda shodo zapisu perestavok u virazah cikliv sho yih skladayut Takozh nazivayut kolovij zapis angl circular notation a perestavku kolova ciklichna perestavka angl cyclic circular permutation ViznachennyaNehaj S displaystyle S bude skinchenna mnozhina i a 1 a k k 2 displaystyle a 1 ldots a k quad k geq 2 budut riznimi elementami v S displaystyle S Viraz a 1 a k displaystyle a 1 ldots a k poznachaye s chiyimi diyami ye a 1 a 2 a 3 a k a 1 displaystyle a 1 mapsto a 2 mapsto a 3 mapsto ldots mapsto a k mapsto a 1 Dlya kozhnogo indeksu i s a i a i 1 displaystyle sigma a i a i 1 de a k 1 displaystyle a k 1 oznachaye a 1 displaystyle a 1 Isnuye k displaystyle k riznih viraziv dlya togo samogo ciklu vsi nastupni predstavlyayut odin cikl a 1 a 2 a 3 a k a 2 a 3 a k a 1 a k a 1 a 2 a k 1 displaystyle a 1 a 2 a 3 ldots a k a 2 a 3 ldots a k a 1 cdots a k a 1 a 2 ldots a k 1 1 elementnij cikl na kshtalt 3 ce totozhna perestavka Totozhnu perestavku takozh mozhna zapisati yak porozhnij cikl Perestavka yak dobutok ciklivNehaj p displaystyle pi bude perestavkoyu v S displaystyle S i nehaj S 1 S k S k N displaystyle S 1 ldots S k subset S quad k in mathbb N budut orbitami p displaystyle pi z kilkistyu elementiv bilshoyu nizh 1 Rozglyanemo element S j displaystyle S j j 1 k displaystyle j 1 ldots k nehaj n j displaystyle n j poznachaye potuzhnist S j displaystyle S j S j displaystyle S j n j displaystyle n j Takozh viberemo a 1 j S j displaystyle a 1 j in S j i viznachimo a i 1 j p a i j i N displaystyle a i 1 j pi a i j quad i in mathbb N Teper mi mozhemo viraziti p displaystyle pi yak dobutok neperetinnih cikliv as a product of disjoint cycles a same p a 1 1 a n 1 1 a 1 2 a n 2 2 a 1 k a n k k displaystyle pi a 1 1 ldots a n 1 1 a 1 2 ldots a n 2 2 ldots a 1 k ldots a n k k Zauvazhimo sho zvichna domovlenist v ciklichnomu zapisi viznachaye mnozhennya zliva napravo na vidminu vid kompoziciyi funkcij yaka zazvichaj vikonuyetsya sprava nalivo Napriklad dobutok 1 2 2 3 displaystyle 1 2 2 3 dorivnyuye 1 3 2 displaystyle 1 3 2 ale ni 1 2 3 displaystyle 1 2 3 PrikladVikoristayemo 24 elementnu simetrichnu grupu na 1 2 3 4 displaystyle 1 2 3 4 virazhenu cherez vikoristannya ciklichnogo zapisu i grupovanu vidpovidno do klasiv spryazhenosti displaystyle 12 13 14 23 24 34 displaystyle 12 13 14 23 24 34 transpoziciyi 123 132 124 142 134 143 234 243 displaystyle 123 132 124 142 134 143 234 243 12 34 13 24 14 23 displaystyle 12 34 13 24 14 23 1234 1243 1324 1342 1423 1432 displaystyle 1234 1243 1324 1342 1423 1432 dd Div takozhCiklichna perestavkaPrimitkiFraleigh 2002 89 Hungerford 1997 230 Dehn 1930 19 Hungerford 1997 231 Johnson 2003 691PosilannyaCiklichnij zapis na PlanetMath angl Dehn Edgar 1960 1930 Algebraic Equations Dover Fraleigh John 2003 A first course in abstract algebra vid 7th Addison Wesley s 88 90 ISBN 978 0201763904 Hungerford Thomas W 1997 Abstract Algebra An Introduction Brooks Cole ISBN 978 0030105593 Johnson James L 2003 Probability and Statistics for Computer Science Wiley Interscience ISBN 978 0471326724