Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Функціона́льний ана́ліз — розділ математики, який заміною векторів на функції є фактичним поширенням лінійної алгебри на нескінченновимірний простір. В такому просторі функцій визначають внутрішній добуток, норму або топологію для дослідження границь, що перетворює функціональний аналіз на частину математичного аналізу, в якому досліджують функціонали та оператори.
| Функціональний аналіз | |
| Підтримується Вікіпроєктом | |
|---|---|
| Класифікаційний код ACM 2012 | 10003736 |
| Код CIP (Classification of Instructional Programs) | 27.0103 |
 Функціональний аналіз у Вікісховищі | |
Загальна інформація
Функціональний аналіз як самостійна дисципліна розвивався на межі 19 і 20 століття й остаточно сформувався у 20-30 рр. 20 століття. З одного боку, він розвинувся під впливом дослідження конкретних класів лінійних операторів — інтегральних операторів і пов'язаних з ними інтегральних рівнянь, з другого боку — під впливом чисто внутрішнього розвитку сучасної математики з її бажанням узагальнити і тим самим пізнати істинну природу тих чи тих закономірностей. Величезний вплив на розвиток функціонального аналізу мала квантова механіка, оскільки в ній вимірюваним фізичним величинам відповідають лінійні оператори над простором станів фізичної системи.
Поняття простору
Найзагальнішими просторами, що фігурують в функціональному аналізі є топологічні векторні простори. Так називається векторний (лінійний) простір над полем комплексних чисел(або дійсних). На просторі може бути введена метрика — дійсна функція від двох аргументів, що належать цьому простору, результатом якої є «відстань» між цими елементами. Слово відстань використане тут в непрямому розумінні. Простір з метрикою називається метричним простором. Також відрізняють простори, на яких аксіоматично визначена норма елементу — «довжина» вектора x, ||x||. На нормованому просторі завжди можна ввести метрику у вигляді f(x, y)=||x-y||. Також у просторі можна визначити операцію скалярного добутку яку геометрично можна інтерпретувати як кут між елементами. Простори зі скалярним добутком називаються унітарними. Скалярний добуток породжує норму в просторі таким чином: ||x||2=(x, x). Простір який є повним відносно норми породженої скалярним добутком цього простору називається гільбертовим простором.
«Вимірність» простору — максимальна кількість лінійно-незалежних елементів у цьому просторі. Безмежновимірний простір це простір, у якому для будь-якого натурального числа n існує n лінійно-незалежних елементів.
Функціонал
Функціонал — це відображення, що ставить у відповідність кожному елементу даного простору елемент з простору дійсних або комплексних чисел. Важливу роль в функціональному аналізі відіграють поняття неперервних функціоналів і лінійних функціоналів. Простір всіх лінійних обмежених і всюди визначених на просторі Х функціоналів називається спряженим до Х і позначається Х' або Х*.
Оператор
Оператор — відображення, що ставить у відповідність елемент одного простору елементу з іншого. L(X, Y) — простір всіх лінійних, неперервних, всюди визначених в Х операторів. Переважно розглядаються випадки коли X i Y — нормовані або гільбертові простори. Оператор називається спряженим до оператора А і позначається А* якщо (А х, y)=(x, A* y). Дуже важливим є клас самоспряжених операторів — (A x, y)=(x, A y).
Література
- Українською
- Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)() (оригінал (пол.))
- Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель В. Г. Функціональний аналіз : курс лекцій. — Львів : І.Е. Чижиков, 2014. — 560 с. (укр.) (оригінал (рос.), див. нижче)
- Кадець В.М. Курс функціонального аналізу та теорії міри. — Число: видавничий проект (Серія "Університетська бібліотека"). — Львів : І.Е. Чижиков, 2012. — 589 с. — . (укр.)
- Колмогоров А.М., Фомін С. В. Елементи теорії функцій та функціонального аналізу. — Київ : Вища школа, 1974. — 456 с. (так само: Київ, Наукова думка, 1977. — 578 с.) (укр.) (оригінал (рос.), див. нижче)
- Іншими мовами
- Erwin Kreyszig. Introductory Functional Analysis with Applications. — 1. — Wiley, 1989. — 704 с. — . (англ.)
- George Bachman, Lawrence Narici. Functional Analysis. — 2. — Dover Publications, 1998. — 544 с. — . (англ.)
- Walter Rudin. Functional Analysis. — 2. — McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1995. — 448 с. — . (англ.)
- Michael Reed, Barry Simon. Functional Analysis. — Academic Press, 1980. — Т. 1 Methods of Modern Mathematical Physics. — 400 с. — . (англ.)
- Peter D. Lax. Functional Analysis. — 1. — Wiley-Interscience, 2002. — 608 с. — . (англ.)
- Kôsaku Yosida. Classics in Mathematics // Functional analysis. — 6th Edition. — Springer, 1995. — 501 с. — . (англ.)
- Березанский Ю. М., , Шефтель З. Г. Функциональный анализ : курс лекций. — К. : Вища школа, 1990. — 600 с.(рос.)()
- Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ. — М. : Наука, 1967. — 416 с.
- Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. — М. : Наука, 1977. — 744 с.
- Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. — М. : Наука, 1988. — 400 с.
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
- Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — М. : Наука, 1965. — 520 с. (рос.)
- Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу = Leçons d'analyse fonctionelle. — М. : Мир, 1979. — 588 с. (рос.) (оригінал (фр.))
- Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М. : МЦНМО, 2004. — 552 с. (рос.)
- Эдвардс Р. Функциональный анализ: Теория и приложения = Functional Analysis: Theory and Applications. — М. : Мир, 1969. — 1070 с. (рос.) (оригінал (англ.))
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Funkcionalnij analiz znachennya Funkciona lnij ana liz rozdil matematiki yakij zaminoyu vektoriv na funkciyi ye faktichnim poshirennyam linijnoyi algebri na neskinchennovimirnij prostir V takomu prostori funkcij viznachayut vnutrishnij dobutok normu abo topologiyu dlya doslidzhennya granic sho peretvoryuye funkcionalnij analiz na chastinu matematichnogo analizu v yakomu doslidzhuyut funkcionali ta operatori Funkcionalnij analiz Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt Matematika Klasifikacijnij kod ACM 201210003736 Kod CIP Classification of Instructional Programs 27 0103 Funkcionalnij analiz u VikishovishiZagalna informaciyaFunkcionalnij analiz yak samostijna disciplina rozvivavsya na mezhi 19 i 20 stolittya j ostatochno sformuvavsya u 20 30 rr 20 stolittya Z odnogo boku vin rozvinuvsya pid vplivom doslidzhennya konkretnih klasiv linijnih operatoriv integralnih operatoriv i pov yazanih z nimi integralnih rivnyan z drugogo boku pid vplivom chisto vnutrishnogo rozvitku suchasnoyi matematiki z yiyi bazhannyam uzagalniti i tim samim piznati istinnu prirodu tih chi tih zakonomirnostej Velicheznij vpliv na rozvitok funkcionalnogo analizu mala kvantova mehanika oskilki v nij vimiryuvanim fizichnim velichinam vidpovidayut linijni operatori nad prostorom staniv fizichnoyi sistemi Ponyattya prostoruNajzagalnishimi prostorami sho figuruyut v funkcionalnomu analizi ye topologichni vektorni prostori Tak nazivayetsya vektornij linijnij prostir nad polem kompleksnih chisel abo dijsnih Na prostori mozhe buti vvedena metrika dijsna funkciya vid dvoh argumentiv sho nalezhat comu prostoru rezultatom yakoyi ye vidstan mizh cimi elementami Slovo vidstan vikoristane tut v nepryamomu rozuminni Prostir z metrikoyu nazivayetsya metrichnim prostorom Takozh vidriznyayut prostori na yakih aksiomatichno viznachena norma elementu dovzhina vektora x x Na normovanomu prostori zavzhdi mozhna vvesti metriku u viglyadi f x y x y Takozh u prostori mozhna viznachiti operaciyu skalyarnogo dobutku yaku geometrichno mozhna interpretuvati yak kut mizh elementami Prostori zi skalyarnim dobutkom nazivayutsya unitarnimi Skalyarnij dobutok porodzhuye normu v prostori takim chinom x 2 x x Prostir yakij ye povnim vidnosno normi porodzhenoyi skalyarnim dobutkom cogo prostoru nazivayetsya gilbertovim prostorom Vimirnist prostoru maksimalna kilkist linijno nezalezhnih elementiv u comu prostori Bezmezhnovimirnij prostir ce prostir u yakomu dlya bud yakogo naturalnogo chisla n isnuye n linijno nezalezhnih elementiv FunkcionalFunkcional ce vidobrazhennya sho stavit u vidpovidnist kozhnomu elementu danogo prostoru element z prostoru dijsnih abo kompleksnih chisel Vazhlivu rol v funkcionalnomu analizi vidigrayut ponyattya neperervnih funkcionaliv i linijnih funkcionaliv Prostir vsih linijnih obmezhenih i vsyudi viznachenih na prostori H funkcionaliv nazivayetsya spryazhenim do H i poznachayetsya H abo H OperatorOperator vidobrazhennya sho stavit u vidpovidnist element odnogo prostoru elementu z inshogo L X Y prostir vsih linijnih neperervnih vsyudi viznachenih v H operatoriv Perevazhno rozglyadayutsya vipadki koli X i Y normovani abo gilbertovi prostori Operator nazivayetsya spryazhenim do operatora A i poznachayetsya A yaksho A h y x A y Duzhe vazhlivim ye klas samospryazhenih operatoriv A x y x A y LiteraturaUkrayinskoyu Banah S Kurs funkcionalnogo analizu linijni operaciyi K Radyanska shkola 1948 216 s ukr original pol Berezanskij Yu M Us G F Sheftel V G Funkcionalnij analiz kurs lekcij Lviv I E Chizhikov 2014 560 s ukr original ros div nizhche Kadec V M Kurs funkcionalnogo analizu ta teoriyi miri Chislo vidavnichij proekt Seriya Universitetska biblioteka Lviv I E Chizhikov 2012 589 s ISBN 9789662645033 ukr Kolmogorov A M Fomin S V Elementi teoriyi funkcij ta funkcionalnogo analizu Kiyiv Visha shkola 1974 456 s tak samo Kiyiv Naukova dumka 1977 578 s ukr original ros div nizhche Inshimi movami Erwin Kreyszig Introductory Functional Analysis with Applications 1 Wiley 1989 704 s ISBN 978 0471504597 angl George Bachman Lawrence Narici Functional Analysis 2 Dover Publications 1998 544 s ISBN 978 0486402512 angl Walter Rudin Functional Analysis 2 McGraw Hill Science Engineering Math 1995 448 s ISBN 978 0789625458 angl Michael Reed Barry Simon Functional Analysis Academic Press 1980 T 1 Methods of Modern Mathematical Physics 400 s ISBN 978 0125850506 angl Peter D Lax Functional Analysis 1 Wiley Interscience 2002 608 s ISBN 978 0471556046 angl Kosaku Yosida Classics in Mathematics Functional analysis 6th Edition Springer 1995 501 s ISBN 978 3540586548 angl Berezanskij Yu M Sheftel Z G Funkcionalnyj analiz kurs lekcij K Visha shkola 1990 600 s ros Vulih B Z Vvedenie v funkcionalnyj analiz M Nauka 1967 416 s Kantorovich L V Akilov G P Funkcionalnyj analiz M Nauka 1977 744 s Kirillov A A Gvishiani A D Teoremy i zadachi funkcionalnogo analiza M Nauka 1988 400 s Kolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros Lyusternik L A Sobolev V I Elementy funkcionalnogo analiza M Nauka 1965 520 s ros Riss F Syokefalvi Nad B Lekcii po funkcionalnomu analizu Lecons d analyse fonctionelle M Mir 1979 588 s ros original fr Helemskij A Ya Lekcii po funkcionalnomu analizu M MCNMO 2004 552 s ros Edvards R Funkcionalnyj analiz Teoriya i prilozheniya Functional Analysis Theory and Applications M Mir 1969 1070 s ros original angl Div takozhTopologichnij prostir Metrichnij prostir Povnij metrichnij prostir Banahiv prostir Normovanij prostir Gilbertiv prostir