Теорема Лагранжа – твердження в теорії груп згідно з яким кількість елементів будь-якої підгрупи скінченної групи ділить кількість елементів самої групи.
Точніше можна записати
- ,
де позначає індекс групи по підгрупі ,тобто кількість класів суміжності в , а , позначають порядок групи і підгрупи, тобто кількість їх елементів.
Доведення
Нехай є скінченною групою. Розглянемо множину лівосторонніх класів суміжності групи щодо . Ця множина розбиває групу на рівнопотужних множин: .
Тобто
- ,
і враховуючи відсутність перетину цих множин:
- ,
і враховуючи їх рівнопотужність з , остаточно отримуємо
- ,
тобто:
- .
Наслідки
- Кількість правих і лівих суміжних класів будь-якої підгрупи в однакова і називається індексом підгрупи в (позначається ).
- Порядок будь-якої підгрупи скінченної групи є дільником порядку .
- Із того, що порядок елемента групи дорівнює порядку циклічної підгрупи, яку створює цей елемент, слідує, що порядок будь-якого елемента скінченної групи є дільником . Цей наслідок узагальнює теорему Ейлера і малу теорему Ферма в теорії чисел.
- Група порядку , де - просте число, циклічна. (Оскільки порядок елемента, відмінного від одиниці, не може дорівнювати , всі елементи, крім одиниці, мають порядок , а отже, кожен з них породжує групу.)
Узагальнення
Теорема Лагранжа допускає наступне просте узагальнення:
нехай є скінченною групою і маємо , тоді
- .
Доведення
З теореми Лагранжа випливає:
- і також
- ,
- звідки
- .
Джерела
Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
- Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)
- [en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — .(англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Lagranzha tverdzhennya v teoriyi grup zgidno z yakim kilkist elementiv bud yakoyi pidgrupi skinchennoyi grupi dilit kilkist elementiv samoyi grupi Tochnishe mozhna zapisati G G H H displaystyle G G H cdot H de G H displaystyle G H poznachaye indeks grupi G displaystyle G po pidgrupi H displaystyle H tobto kilkist klasiv sumizhnosti H displaystyle H v G displaystyle G a G displaystyle G H displaystyle H poznachayut poryadok grupi i pidgrupi tobto kilkist yih elementiv DovedennyaNehaj G displaystyle G ye skinchennoyu grupoyu Rozglyanemo mnozhinu livostoronnih klasiv sumizhnosti g H g G displaystyle gH colon g in G grupi G displaystyle G shodo H displaystyle H Cya mnozhina rozbivaye grupu G displaystyle G na n G H displaystyle n G H rivnopotuzhnih mnozhin g 1 H g 2 H g n H displaystyle g 1 H g 2 H dots g n H Tobto G g 1 H g 2 H g n H displaystyle G g 1 H cup g 2 H cup dots cup g n H i vrahovuyuchi vidsutnist peretinu cih mnozhin G g 1 H g 2 H g n H displaystyle G g 1 H g 2 H dots g n H i vrahovuyuchi yih rivnopotuzhnist z H displaystyle H ostatochno otrimuyemo G H H H n H displaystyle G H H dots H n H tobto G G H H displaystyle G G H cdot H NaslidkiKilkist pravih i livih sumizhnih klasiv bud yakoyi pidgrupi H displaystyle H v G displaystyle G odnakova i nazivayetsya indeksom pidgrupi H displaystyle H v G displaystyle G poznachayetsya G H displaystyle G H Poryadok bud yakoyi pidgrupi skinchennoyi grupi G displaystyle G ye dilnikom poryadku G displaystyle G Iz togo sho poryadok elementa grupi dorivnyuye poryadku ciklichnoyi pidgrupi yaku stvoryuye cej element sliduye sho poryadok bud yakogo elementa skinchennoyi grupi G displaystyle G ye dilnikom G displaystyle G Cej naslidok uzagalnyuye teoremu Ejlera i malu teoremu Ferma v teoriyi chisel Grupa poryadku p displaystyle p de p displaystyle p proste chislo ciklichna Oskilki poryadok elementa vidminnogo vid odinici ne mozhe dorivnyuvati 1 displaystyle 1 vsi elementi krim odinici mayut poryadok p displaystyle p a otzhe kozhen z nih porodzhuye grupu UzagalnennyaTeorema Lagranzha dopuskaye nastupne proste uzagalnennya nehaj G displaystyle G ye skinchennoyu grupoyu i mayemo K H G displaystyle K leqslant H leqslant G todi G H H K G K displaystyle G H cdot H K G K dd Dovedennya Z teoremi Lagranzha viplivaye G H H G G K K displaystyle G H cdot H G G K cdot K i takozh H K K H displaystyle H K cdot K H dd zvidki G H H K G H H K G K K K G K displaystyle G H cdot H K frac G H cdot frac H K frac G K cdot K K G K dd DzherelaUkrayinskoyu ukr Elementi teoriyi grup ta teoriyi kilec I F Golinej 2023 153 s Inshimi movami Kurosh A G Teoriya grupp 3 e izd Moskva Nauka 1967 648 s ISBN 5 8114 0616 9 ros en An Introduction to the Theory of Groups 4th Springer Graduate Texts in Mathematics 1994 532 s ISBN 978 0387942858 angl