Теорема Адамара про лакуни

Теорема Адамара про лакуни (також теорема Островського — Адамара) — твердження про неможливість аналітичного продовження степеневого ряду, у якого коефіцієнти дорівнюють нулю для доданків, що задовольняють деяким вимогам, за межі круга збіжності, навіть на точки границі круга. Названа на честь математиків Олександра Островського і Жака Адамара.

Формулювання

Розглянемо функцію, яка визначається степеневим рядом виду ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }p_{n}z^{\lambda _{n}}}$, збіжним у крузі радіусу 1, де ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ — деяка зростаюча послідовність натуральних чисел. Тоді, якщо існує деяка додатна константа ${\displaystyle \delta }$, така, що ${\displaystyle {\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}>1+\delta }$ для всіх ${\displaystyle n}$, то функція ${\displaystyle f(z)}$ є лакунарною, тобто для неї не існує аналітичного продовження навіть на точки на границі круга.

Доведення

Припустимо, що деяка ${\displaystyle P\in \partial D}$ є регулярною для ${\displaystyle f}$, тобто для ${\displaystyle f}$ існує аналітичне продовження в деякий окіл цієї точки. Без втрати загальності можна вважати ${\displaystyle P=1}$. Дійсно замінивши ${\displaystyle z}$ на ${\displaystyle wz}$, де ${\displaystyle |w|=1}$, отримуємо ряд тієї ж форми, коефіцієнти якого за модулем рівні попередньому; тож новий ряд також має радіус збіжності 1, згідно з радикальною ознакою Коші. Тоді існує круг ${\displaystyle D(l,\epsilon )}$ і голоморфна функція ${\displaystyle F}$ на ${\displaystyle U=D(0,1)\cup D(l,\epsilon )}$ для яких ${\displaystyle F|_{D(0,1)}=f|_{D(0,1)}}$.

Виберемо ціле число ${\displaystyle k>0}$ таке що ${\displaystyle (k+l)/k<1+\delta }$ і визначимо функцію ${\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{2}}(z^{k}+z^{k+1})}$.

Зауважимо, що ${\displaystyle \psi (1)=1}$ і якщо ${\displaystyle |z|\leqslant 1}$, але ${\displaystyle z\neq 1}$, тоді маємо

${\displaystyle |\psi (z)|={\frac {1}{2}}|z^{k}|\cdot |1+z|<{\frac {1}{2}}|z^{k}|\cdot 2\leqslant 1}$

Тому ${\displaystyle \psi ({\overline {D}})}$ є компактною підмножиною ${\displaystyle U}$. З неперервності ${\displaystyle \psi }$ випливає, що існує круг ${\displaystyle D(0,1+\delta )}$ такий що ${\displaystyle \psi (D(0,1+\delta ))\subseteq U}$. Зауважимо, що ${\displaystyle 1\in \psi (D(0,1+\delta ))}$.

Визначимо ${\displaystyle G(z)=F(\psi (z)),\;z\in D(0,1+\delta )}$. Розкладемо ${\displaystyle G}$ в степеневий ряд в околі 0:

${\displaystyle G(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$.

Порівняємо цю формулу із формулою одержаною заміною ${\displaystyle \psi (z)}$ у степеневий ряд для ${\displaystyle F=f}$ на ${\displaystyle D(0,1)}$:

${\displaystyle (F\circ \psi )(z)=\sum _{j}a_{j}\left({\frac {1}{2}}\left(z^{k}+z^{k+1}\right)\right)^{p_{j}}}$

Зауважимо що j-й доданок цього ряду містить степені ${\displaystyle z}$ від ${\displaystyle z^{kp_{j}}}$ до ${\displaystyle z^{(k+1)p_{j}}}$, а (j+1)-й доданок містить степені ${\displaystyle z}$ від ${\displaystyle z^{kp_{j+1}}}$ до ${\displaystyle z^{(k+1)p_{j+1}}}$. Але умови теореми щодо ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ і вибір ${\displaystyle k}$ гарантують що ${\displaystyle (k+1)p_{j}<k(p_{j+1})}$, тож степені у різних доданках є різними відрізняються.

Як наслідок,

${\displaystyle \sum _{j=0}^{N}a_{j}(\psi (z))^{p_{j}}=\sum _{l=0}^{(k+1)p_{N}}c^{l}z^{l}}$.

Вираз у правій стороні збігається при ${\displaystyle N\to \infty }$ на крузі ${\displaystyle D(0,1+\delta )}$, оскільки ${\displaystyle G(z)}$ є голоморфною всюди в цьому крузі. Тому збігається і вираз у лівій стороні. Іншими словами, ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }a_{j}\omega ^{p_{j}}}$ збігається для всіх ${\displaystyle w\in \psi (D(0,1+\delta ))}$. Зокрема цей ряд збігається для всіх ${\displaystyle w}$ в околі 1, тож із теореми Абеля випливає, що його радіус збіжності не є рівним 1, що суперечить припущенню.

Див. також

• Аналітичне продовження
• Степеневий ряд

Література

• Бибербах Л. Аналитическое продолжение, пер. с нем. — М.: Наука, 1967. (рос.)
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002), Function Theory of One Complex Variable (вид. 2), American Mathematical Society, ISBN