Скінченнопороджена абелева група

У абстрактній алгебрі абелева група ${\displaystyle (\mathbb {G} ,\;+)}$ називається скінченнопородженою, якщо існує скінченна множина ${\displaystyle x_{1},\;\ldots ,\;x_{s}\in \mathbb {G} }$, така що ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {G} }$ існує представлення:

${\displaystyle \ x=n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\ldots +n_{s}x_{s},}$

де ${\displaystyle n_{1},\;\ldots ,\;n_{s}}$ — цілі числа. В такому випадку кажуть, що ${\displaystyle \ x_{1},\;\ldots ,\;x_{s}\ }$ породжує групу ${\displaystyle \mathbb {G} }$ або що ${\displaystyle x_{1},\;\ldots ,\;x_{s}}$ породжують ${\displaystyle \mathbb {G} }$.

Очевидно, кожна скінченна абелева група є скінченнопородженою. Скінченнопороджені абелеві групи мають порівняно просту структуру і можуть бути повністю класифіковані.

Приклади

• Цілі числа ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\;+)}$ є скінченнопородженою абелевою групою.
• Числа по модулю ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{n},\;+)}$ є скінченнопородженою абелевою групою.
• Будь-який прямий добуток скінченного числа скінченнопороджених абелевих груп також є скінченнопородженою абелевою групою.

Група ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\;+)}$ раціональних чисел не є скінченнопородженою: якщо ${\displaystyle x_{1},\;\ldots ,\;x_{s}\in \mathbb {Q} }$, візьмемо натуральне число ${\displaystyle w}$, взаємно просте зі всіма їх знаменниками; тоді ${\displaystyle 1/w}$ не може бути породжено ${\displaystyle x_{1},\;\ldots ,\;x_{s}\in \mathbb {Q} }$.

Класифікація

Теорема про класифікацію скінченнопороджених абелевих груп стверджує, що будь-яка скінченнопороджена абелева група ${\displaystyle \mathbb {G} }$ ізоморфна прямому добутку простих циклічних груп і нескінченних циклічних груп, де проста циклічна група - це така циклічна група, порядок якої є степенем простого числа. Тобто кожна така група ізоморфна групі вигляду

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{m}\oplus \mathbb {Z} _{m_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{m_{t}},}$

де ${\displaystyle m\geqslant 0}$, і числа ${\displaystyle m_{1},\;\ldots ,\;m_{t}}$ є степенями (не обов'язково різних) простих чисел. Значення ${\displaystyle m,\;m_{1},\;\ldots ,\;m_{t}}$ однозначно визначені (з точністю до порядку) групою ${\displaystyle \mathbb {G} }$, зокрема ${\displaystyle \mathbb {G} }$ скінченна тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle m=0\;}$.

На підставі того факту що ${\displaystyle \mathbb {G} _{l}}$ буде ізоморфна добутку ${\displaystyle \mathbb {G} _{j}}$ і ${\displaystyle \mathbb {G} _{k}}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle j\;}$ і ${\displaystyle k\;}$ взаємно прості і ${\displaystyle l=jk\;}$, ми також можемо представити будь-яку скінченнопороджену групу ${\displaystyle \mathbb {G} }$ у вигляді прямого добутку:

${\displaystyle \mathbb {Z} ^{m}\oplus \mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{r}},}$

де ${\displaystyle k_{1}\;}$ ділить ${\displaystyle k_{2}\;}$, що ділить ${\displaystyle k_{3}\;}$ і так далі до ${\displaystyle k_{u}\;}$. І знову, числа ${\displaystyle m\;}$ і ${\displaystyle k_{1},\;\ldots ,\;k_{r}}$ однозначно задані групою ${\displaystyle \mathbb {G} }$.

Доведення

Існування

Позначимо n = m + u і доводитимемо другий варіант твердження. Нехай дана абелева група G із скінченним числом твірних. Група G є ізоморфною факторгрупі деякої вільної абелевої групи A_n по деякій її підгрупі V. З властивостей вільних абелевих груп випливає, що можна вибрати такий базис ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ групи A_n, що базис вільної абелевої групи V матиме вигляд ${\displaystyle m_{1}x_{1},\ldots ,m_{r}x_{r},}$ де ${\displaystyle m_{i}}$ ділиться на ${\displaystyle m_{i-1}}$ для всіх ${\displaystyle i=2,\ldots ,r.}$ Завдяки такому вибору базисів елемент

${\displaystyle x=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots +a_{n}x_{n}}$

з групи A_n тоді і тільки тоді міститиметься в підгрупі V якщо коефіцієнти ${\displaystyle a_{i}}$ діляться на ${\displaystyle m_{i},~i=1,\ldots ,r,}$ а коефіцієнти ${\displaystyle a_{i},~i=r+1,\ldots ,n,}$ рівні нулю. Дійсно, якщо коефіцієнти ${\displaystyle a_{i}}$ задовольняють цим умовам, то елемент x може бути записаний базис ${\displaystyle m_{1}x_{1},\ldots ,m_{r}x_{r},}$. Навпаки, якщо

${\displaystyle x=b_{1}m_{1}x_{1}+b_{2}m_{2}x_{2}+\ldots +b_{n}m_{n}x_{n}}$

то, очевидно, всі зазначені умови виконуються.

У факторгрупі A_n/V елемент x_i + V має при ${\displaystyle i\leqslant r}$ порядок m_i, а при i > r нескінченний порядок. Циклічні підгрупи всіх цих елементів дають в сумі всю факторгрупу, причому, складають пряму суму — всякий елемент з A_n/V однозначно записується у вигляді суми елементів з циклічних підгруп x_i + V. Звичайно, якщо декілька перших з чисел m₁, m₂, ... рівні 1, то відповідні прямі доданки x₁ + V, x₂ + V{ и2 + V), ... повинні бути виключені. Зважаючи на ізоморфізм групи G з факторгрупою чинника A_n/V теорема доведена не тільки для A_n/V, але і для G.

Єдиність

Щоб довести єдиність такого, припустимо, що ми маємо другий такий розклад. Доведемо спершу, що n = n^' Припустимо, що n > n' і p — просте число, що ділить m₁. Використання початковий розклад, існує очевидний епіморфізм з G у n-вимірний векторний простір над ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$; цей простір повинен породжуватися образами x'_i — базисних елементів з другого розкладу. Але це неможливо, тому що множина яку вони породжують містить щонайбільше p^n' < pⁿ елементів.

Для натурального числа m > 0 розглянемо групу mG, що складається з усіх mx де ${\displaystyle x\in g}$. Розклад для цієї групи одержиться з розкладу для G заміною x_i на mx_i і mx_i на ${\displaystyle {\frac {m_{i}}{GCD(m,m_{i})}}}$, де GCD(m, m_i) — найбільший спільний дільник. Якщо m_i ділить m, то даний коефіцієнт рівний одиниці і відповідний елемент mx_i повинен бути видалений. Отже m_i однозначно визначаються властивістю, що m_i є найменше натуральне число для якого канонічне представлення mG використань щонайбільше n - i твірних.

Література

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — .(рос.)