Скінченновимірний простір

Не плутати з скінченним топологічним простором.

Скінченнови́мірний про́стір — це векторний простір, у якому є скінченний базис — породжувальна (повна) лінійно незалежна система векторів. Іншими словами, в такому просторі існує скінченна лінійно незалежна система векторів, лінійною комбінацією яких можна подати будь-який вектор даного простору.

Базис — це (одночасно) і мінімальна породжувальна (повна) система, і максимальна лінійно незалежна система векторів. Всі базиси містять однакову кількість елементів, яку називають розмірністю векторного простору.

Скінченновимірний простір, у якому введено скалярний добуток його елементів, називають евклідовим. Скінченновимірний простір, у якому введено норму його елементів, називають скінченновимірним нормованим. Наявність скалярного добутку або норми породжує в скінченновимірному просторі метрику.

Властивості скінченновимірних просторів

Кожен елемент ${\displaystyle x}$ скінченновимірного простору ${\displaystyle X}$ можна подати єдиним чином у вигляді

${\displaystyle x=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+...+a_{n}e_{n},}$

${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}\in \mathbb {P} }$ де ${\displaystyle \mathbb {P} }$ — поле (часто ${\displaystyle \mathbb {R} }$ або ${\displaystyle \mathbb {C} }$), над яким розглядається простір ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n}\in X}$ — елементи базису. Це випливає з визначення базису.

Також будь-який базис в евклідовому просторі можна зробити ортонормованим за допомогою ортогоналізації Шмідта.

• Всі базиси скінченновимірного простору складаються з однакової кількості елементів. Ця властивість дає коректність визначення розмірності простору.
• Нехай ${\displaystyle X}$ — скінченновимірний простір і ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},...,x_{k}\}}$ — лінійно-незалежна система елементів. Тоді цю систему завжди можна доповнити до базиса.
• Всі скінченновимірні простори однакової розмірності ізоморфні один одному.
• В будь-якому скінченновимірному просторі над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ можна ввести скалярний добуток. Наприклад, у просторі ${\displaystyle X}$ із фіксованим базисом, розмірності ${\displaystyle n}$, можна ввести скалярний добуток за правилом:
  
  ${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X,(x_{1},x_{2})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{k}}$, де ${\displaystyle \{a_{k}\},\{b_{k}\}}$ — компоненти векторів ${\displaystyle x_{1}}$ і ${\displaystyle x_{2}}$ відповідно.
  
  Із цієї властивості випливає, що в скінченновимірному просторі над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ можна ввести норму і метрику. Як наслідок, можна отримати що:
  • ${\displaystyle X}$ — рефлексивний простір.
  • Простір ${\displaystyle X^{*}}$, спряжений до деякого скінченновимірного простору ${\displaystyle X}$, скінченновимірний і його розмірність збігається з розмірністю ${\displaystyle X}$.
  • Для будь-якого підпростору ${\displaystyle M\subset X}$ скінченновимірного простору ${\displaystyle X}$ існує підпростір ${\displaystyle M^{\perp }\subset X}$ такий, що ${\displaystyle \forall x\in M,\forall y\in M^{\perp },x\perp y}$ і ${\displaystyle X}$ розкладається в пряму суму ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle M^{\perp }}$, ${\displaystyle X=M\oplus M^{\perp }}$.
• В евклідовому просторі кожна слабко збіжна послідовність збігається сильно.
• Всі норми у скінченновимірному просторі над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ еквівалентні. Збіжність у евклідовому просторі еквівалентна покоординатній збіжності.
• Кожен лінійний неперервний оператор у скінченновимірному просторі можна подати у вигляді матриці.
• Простір ${\displaystyle X}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$ є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли одиничний оператор ${\displaystyle I:X\rightarrow X}$ є цілком неперервним.
• Простір ${\displaystyle X}$ є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли знайдеться оборотний цілком неперервний оператор, що діє над ${\displaystyle X}$.
• Простір ${\displaystyle X}$ є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли одинична куля в ${\displaystyle X}$ передкомпактна. Цю властивість можна переформулювати так: простір ${\displaystyle X}$ є скінченновимірним тоді й лише тоді, коли будь-яка обмежна в ${\displaystyle X}$ множина передкомпактна.
• Будь-який лінійний оператор ${\displaystyle A:X\rightarrow Y}$, визначений у скінченновимірному просторі ${\displaystyle X}$ є неперервним і навіть цілком неперервним.
• У скінченновимірному просторі кожен оператор є унітарним тоді й лише тоді, коли він ізометричний, тобто зберігає скалярний добуток.

Приклади

• Евклідів простір ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ має розмірність 3, за його базис можна вибрати трійку векторів

${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}}$

Загальніший випадок — простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ розмірності n. Норму в них зазвичай задають одним з таких способів (${\displaystyle 1\leq p<\infty }$):

${\displaystyle \|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{|x_{i}|^{p}}}}}$ або ${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max _{i=1,2,\dots ,n}{|x_{i}|}.}$

Якщо ввести норму ${\displaystyle \|x\|_{2}}$ і скалярний добуток ${\displaystyle (x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}}},}$ то простір буде евклідовим.

• ${\displaystyle P^{n}}$ — простір усіх многочленів степеня не вище ${\displaystyle n}$. Розмірність цього простору ${\displaystyle n+1}$. Многочлени ${\displaystyle 1,x,x^{2},...,x^{n}}$ утворюють у ньому базис.
• Нехай ${\displaystyle X}$ — довільний лінійний простір і нехай ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}}$ деяка лінійно-незалежна система векторів. Тоді лінійна оболонка, натягнута на цю систему є скінченновимірним простором.

Див. також

• Нескінченновимірний простір

Примітки

1. Цей факт можна отримати як за допомогою теореми Ріса — Фреше, так і прямими викладками, без використання теорії гільбертових просторів.
2. ${\displaystyle M^{\perp }}$ часто називають ортогональним доповненням до ${\displaystyle M}$

Література

• Функциональный анализ. — М. : Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М. : , 1963. — 264 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М. : , 1961. — 436 с.