Рефлексивний простір

Рефлексивний простір — банахів простір ${\displaystyle X}$, що збігається при канонічному вкладенні зі своїм другим спряженим ${\displaystyle X^{**}}$.

Означення

Нехай ${\displaystyle X^{*}}$ — простір, спряжений з ${\displaystyle X}$, тобто сукупність усіх неперервних лінійних функціоналів, визначених на ${\displaystyle X}$. Якщо ${\displaystyle \langle x,f\rangle }$ — значення функціоналу ${\displaystyle f\in X^{*}}$ на елементі ${\displaystyle x\in X}$, то при фіксованому ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle f}$, що пробігають ${\displaystyle X^{*}}$, вираз ${\displaystyle \langle x,f\rangle ={\mathcal {F}}_{x}(f)}$ буде лінійним функціоналом на ${\displaystyle X^{*}}$, тобто елементом простору ${\displaystyle X^{**}}$. Нехай ${\displaystyle {\overline {X}}\subset X^{**}}$ — множина таких функціоналів. Відповідність ${\displaystyle x\to {\mathcal {F}}_{x}}$ є ізоморфізм, що не змінює норму ${\displaystyle |\!|x|\!|=|\!|{\mathcal {F}}_{x}|\!|}$.

Якщо ${\displaystyle {\overline {X}}=X^{**}}$, то простір ${\displaystyle X}$ називається рефлексивним.

Приклади

• Простори ${\displaystyle \ell _{p}}$ і ${\displaystyle L_{p}(a,b)}$, ${\displaystyle 1<p<\infty }$, рефлексивні,
• Простори ${\displaystyle C[a,b]}$, ${\displaystyle L_{1}[a,b],L_{\infty }[a,b]}$ не рефлексивні.

Властивості

• Простір ${\displaystyle X}$ рефлексивний тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle X^{*}}$ рефлексивно.
• Простір X рефлексивний тоді і тільки тоді, коли одинична куля цього простору слабо компактна.
• Рефлексивний простір слабко повний. Зворотне невірно, існують слабко повні нерефлексівним простору, наприклад ${\displaystyle L_{1}}$.
• Замкнутий підпростір рефлексивного простору рефлексивно.

Варіації і узагальнення

• Поняття рефлексивності природним чином поширюється на .

Література

• Данфорд Н., Шварц Дж., Линейные операторы, ч. 1 — Общая теория, пер. с англ., М., 1982;
• Иосида К., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1967;
• Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.
• Функциональный анализ.
• Функциональный анализ.