Тригонометри́чні фу́нкції — функції кута. Вони можуть бути визначені як відношення двох сторін та кута трикутника або як відношення координат точок кола. Відіграють важливу роль при дослідженні періодичних функцій та багатьох об'єктів. Наприклад, при дослідженні рядів, диференціальних рівнянь.
Тригонометричні функції | |
Досліджується в | тригонометрія |
---|---|
Апроксимаційний алгоритм | CORDIC |
Підтримується Вікіпроєктом | |
Обернений елемент | обернені тригонометричні функції |
Тригонометричні функції у Вікісховищі |
Наведемо шість базових тригонометричних функцій. Останні чотири визначаються через перші дві. Іншими словами, вони є означеннями, а не самостійними сутностями.
- синус ();
- косинус ();
- тангенс ();
- котангенс ();
- секанс ();
- косеканс ();
Означення
Геометричне визначення
Тригонометричні функції можна визначити розглянувши прямокутний трикутник.
Косинусом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи:
Синусом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи:
Тангенсом кута називається відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого катета:
Котангенсом кута називається відношення довжини прилеглого катета до довжини протилежного катета:
Аналогічним чином можна визначити тригонометричні функції на колі з одиничним радіусом.
та — це періодичні функції із періодом
та мають період
Співвідношення, наведені нижче, дозволяють виразити значення тригонометричних функцій від довільного дійсного арґументу через значення функцій для аргументу з інтервалу
Основні співвідношення
Наступне співвідношення випливає із теореми Піфагора:
Теореми додавання та формули для кратних кутів
Формули для функцій суми кутів
З основного співвідношення
отримуємо
Формули для функцій подвійних кутів
Формули для функцій потрійних кутів
Формули для функцій половинних кутів
Формули для суми функцій кута
Формула для суми будь-якої кількості синусів кутів із їх зсувом і отримання однієї функції кута:
Загальні формули для функцій кратних кутів
Якщо n є цілим додатним числом, то
Загальні формули для степенів функцій
Якщо n є цілим непарним числом, то
Якщо n є цілим парним числом, то
Розклади в ряд Тейлора
Існують такі розклади в ряд Тейлора тригонометричних функцій:
де
- — n-те ,
- — числа Бернуллі, та
- — числа Ейлера.
Зв'язок з експонентою та комплексними числами
Використовуючи вищенаведені розклади в ряди Тейлора можна показати, що функції та є уявною та дійсною частинами експоненти чисто уявного числа:
Це співвідношення називається формулою Ейлера.
Можна визначити тригонометричні функції комплексної змінної z:
де , а та — відповідно гіперболічні синус та косинус. Для дійсного мають місце співвідношення
Диференціювання та інтегрування
Зв'язок з диференціальним рівнянням
Функції та є розв'язками диференціального рівняння гармонічних коливань
Властивості та застосування
Теорема синусів
Теорема синусів стверджує, що для довільного трикутника зі сторонами , , і та кутами, що протилежні тим сторонам , і :
де — це площа трикутника, або, еквівалентно,
де — це радіус кола, що описує трикутник.
Це можна довести розділивши трикутник на два прямокутних трикутники, і використовуючи визначення синуса. Теорема синусів корисна для розрахунку довжин невідомих сторін трикутника, при відомих двох кутах і довжині однієї з його сторін. Ця ситуація є типовою для задачі триангуляції, техніки визначення невідомих відстаней шляхом вимірювання двох кутів із двох точок на доступній відомій відстані.
Теорема косинусів
Теорема косинусів є узагальненням теореми Піфагора:
або еквівалентно,
В цій формулі кут є протилежним до сторони . Цю теорему можна довести розділивши трикутник на два прямокутних трикутники та застосувавши теорему Піфагора.
Теорему косинусів можна застосувати для визначення сторони трикутника, якщо відомі довжини двох сторін і кут між ними. Також її можна застосувати для визначення косинуса кута (і відповідно значення самого кута) якщо відомі довжини всіх сторін трикутника.
Теорема тангенсів
Всі наступні вирази формулюють теорему тангенсів
Пояснення цих формул на словах було б громіздким, але закономірності сум і різниць для довжин сторін і відповідних протилежних кутів видно із теореми.
Теорема котангенсів
Якщо
- (радіус вписаного кола в трикутник)
і
- (напівпериметр трикутника),
тоді всі наступні формули описують теорему котангенсів
Звідси випливає, що
На словах теорема полягає в тому, що котангенс половинного кута дорівнює відношенню напівпериметра від якого віднято сторону протилежну заданому куту, до радіуса вписаного кола.
Періодичні функції
Тригонометричні функції також мають важливе застосування у фізиці. Функції синуса і косинуса, наприклад, використовують для описання гармонічних коливань, які моделюють багато природних явищ, такі як рух маси закріпленої на пружині, і для малих кутів, рух маятника для маси що висить на нитці. Функції синуса і косинуса є одновимірними проєкціями рівномірного кругового руху.
Тригонометричні функції також довели свою користь при вивченні загальних періодичних функцій. Характерна хвильова структура періодичних функцій корисна для моделювання явищ, таких як звукові або світлові хвилі.
В загальних умовах, періодичну функцію можна виразити у вигляді суми синусних або косинусних хвиль за допомогою Ряду Фур'є. Позначивши синусні або косинусні базисні функції як , розкладання періодичної функції буде мати наступну форму:
Наприклад, квадратну хвилю (меандр) можна записати у вигляді ряду Фур'є
В анімації квадратної хвилі праворуч можна побачити, що лише декілька термів вже досить аби створити добру апроксимацію квадратної форми хвилі. Суперпозицію декількох термів в розкладанні пилоподібної хвилі можна побачити знизу під тим малюнком.
Див. також
Примітки
- The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 529-530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.
- Farlow, Stanley J. (1993). Partial differential equations for scientists and engineers (вид. Reprint of Wiley 1982). Courier Dover Publications. с. 82. ISBN . оригіналу за 20 березня 2015.
{{}}
: Cite має пустий невідомий параметр:|df=
() - Див. приклад, Folland, Gerald B. (2009). Convergence and completeness. Fourier Analysis and its Applications (вид. Reprint of Wadsworth & Brooks/Cole 1992). American Mathematical Society. с. 77ff. ISBN . оригіналу за 12 червня 2019. Процитовано 23 лютого 2019.
{{}}
: Cite має пустий невідомий параметр:|df=
()
Джерела
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973, — 832 с.
- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
Посилання
- Тангенс // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.
- Тригонометричні функції // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 180. — 594 с.
- FIZMA.neT - Математика онлайн [ 1 квітня 2022 у Wayback Machine.]
- . OnlineMSchool. Архів оригіналу за 3 березня 2021. Процитовано 13 лютого 2021.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Trigonometri chni fu nkciyi funkciyi kuta Voni mozhut buti viznacheni yak vidnoshennya dvoh storin ta kuta trikutnika abo yak vidnoshennya koordinat tochok kola Vidigrayut vazhlivu rol pri doslidzhenni periodichnih funkcij ta bagatoh ob yektiv Napriklad pri doslidzhenni ryadiv diferencialnih rivnyan Trigonometrichni funkciyiDoslidzhuyetsya vtrigonometriyaAproksimacijnij algoritmCORDICPidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt MatematikaObernenij elementoberneni trigonometrichni funkciyi Trigonometrichni funkciyi u Vikishovishi Navedemo shist bazovih trigonometrichnih funkcij Ostanni chotiri viznachayutsya cherez pershi dvi Inshimi slovami voni ye oznachennyami a ne samostijnimi sutnostyami sinus sin a displaystyle sin alpha kosinus cos a displaystyle cos alpha tangens tg a sin acos a displaystyle operatorname tg alpha tfrac sin alpha cos alpha kotangens ctg a cos asin a displaystyle operatorname ctg alpha tfrac cos alpha sin alpha sekans sec a 1cos a displaystyle sec alpha tfrac 1 cos alpha kosekans cosec a 1sin a displaystyle operatorname cosec alpha tfrac 1 sin alpha OznachennyaGeometrichne viznachennya Viznachennya kutiv za dopomogoyu pryamokutnogo trikutnika Viznachennya trigonometrichnih funkcij na odinichnomu koli Trigonometrichni funkciyi mozhna viznachiti rozglyanuvshi pryamokutnij trikutnik Kosinusom kuta nazivayetsya vidnoshennya dovzhini prileglogo kateta do dovzhini gipotenuzi cos a ACAB bc cos b BCAB ac displaystyle cos alpha frac AC AB frac b c cos beta frac BC AB frac a c Sinusom kuta nazivayetsya vidnoshennya dovzhini protilezhnogo kateta do dovzhini gipotenuzi sin a BCAB ac sin b ACAB bc displaystyle sin alpha frac BC AB frac a c sin beta frac AC AB frac b c Tangensom kuta nazivayetsya vidnoshennya dovzhini protilezhnogo kateta do dovzhini prileglogo kateta tg a BCAC ab tg b ACBC ba displaystyle mbox tg alpha frac BC AC frac a b mbox tg beta frac AC BC frac b a Kotangensom kuta nazivayetsya vidnoshennya dovzhini prileglogo kateta do dovzhini protilezhnogo kateta ctg a ACBC ba ctg b BCAC ab displaystyle mbox ctg alpha frac AC BC frac b a mbox ctg beta frac BC AC frac a b Analogichnim chinom mozhna viznachiti trigonometrichni funkciyi na koli z odinichnim radiusom Odin period funkcij sin x displaystyle sin x ta cos x displaystyle cos x sinx displaystyle sin x ta cosx displaystyle cos x ce periodichni funkciyi iz periodom 2p displaystyle 2 pi tgx displaystyle operatorname tg x ta ctgx displaystyle operatorname ctg x mayut period p displaystyle pi Spivvidnoshennya navedeni nizhche dozvolyayut viraziti znachennya trigonometrichnih funkcij vid dovilnogo dijsnogo argumentu cherez znachennya funkcij dlya argumentu z intervalu 0 p2 displaystyle 0 pi over 2 sin x cos p2 x displaystyle sin x cos left pi over 2 x right cos x sin p2 x displaystyle cos x sin left pi over 2 x right tg x ctg p2 x displaystyle operatorname tg x operatorname ctg left pi over 2 x right ctg x tg p2 x displaystyle operatorname ctg x operatorname tg left pi over 2 x right Osnovni spivvidnoshennyaDokladnishe Spisok trigonometrichnih totozhnostej Nastupne spivvidnoshennya viplivaye iz teoremi Pifagora sin2 x cos2 x 1 displaystyle sin 2 x cos 2 x 1 Teoremi dodavannya ta formuli dlya kratnih kutivFormuli dlya funkcij sumi kutiv Z osnovnogo spivvidnoshennya sin a b sin acos b cos asin b displaystyle sin left alpha beta right sin alpha cos beta cos alpha sin beta otrimuyemo sin a b sin acos b cos asin b displaystyle sin left alpha pm beta right sin alpha cos beta pm cos alpha sin beta cos a b cos acos b sin asin b displaystyle cos left alpha pm beta right cos alpha cos beta mp sin alpha sin beta tg a b tg a tg b1 tg atg b ctg a b ctg actg b 1ctg b ctg a displaystyle operatorname tg left alpha pm beta right operatorname tg alpha pm operatorname tg beta over 1 mp operatorname tg alpha operatorname tg beta operatorname ctg left alpha pm beta right operatorname ctg alpha operatorname ctg beta mp 1 over operatorname ctg beta pm operatorname ctg alpha Formuli dlya funkcij podvijnih kutiv sin 2a 2sin acos a displaystyle sin 2 alpha 2 sin alpha cos alpha cos 2a cos2 a sin2 a 2cos2 a 1 1 2sin2 a displaystyle cos 2 alpha cos 2 alpha sin 2 alpha 2 cos 2 alpha 1 1 2 sin 2 alpha tg 2a 2tg a1 tg2 a ctg 2a ctg2 a 12ctg a 12 ctg a tg a displaystyle operatorname tg 2 alpha 2 operatorname tg alpha over 1 operatorname tg 2 alpha operatorname ctg 2 alpha operatorname ctg 2 alpha 1 over 2 operatorname ctg alpha 1 over 2 left operatorname ctg alpha operatorname tg alpha right Formuli dlya funkcij potrijnih kutiv sin 3a 3sin a 4sin3 a cos 3a 4cos3 a 3cos a displaystyle sin 3 alpha 3 sin alpha 4 sin 3 alpha cos 3 alpha 4 cos 3 alpha 3 cos alpha Formuli dlya funkcij polovinnih kutiv sin a2 1 cos a2 cos a2 1 cos a2 displaystyle sin alpha over 2 sqrt 1 cos alpha over 2 cos alpha over 2 sqrt 1 cos alpha over 2 tg a2 sin a1 cos a 1 cos asin a ctg a2 sin a1 cos a 1 cos asin a displaystyle operatorname tg alpha over 2 sin alpha over 1 cos alpha 1 cos alpha over sin alpha operatorname ctg alpha over 2 sin alpha over 1 cos alpha 1 cos alpha over sin alpha Formuli dlya sumi funkcij kuta asin A bcos A rsin A B rcos p2 A B a2 b2sin A arctg ba r a2 b2 tgB ba displaystyle a sin A b cos A r sin left A B right r cos left pi over 2 A B right sqrt a 2 b 2 sin left A operatorname arctg b over a right r sqrt a 2 b 2 tgB b over a sin A sin B 2sin A B2cos A B2 displaystyle sin A pm sin B 2 sin A pm B over 2 cos A mp B over 2 cos A cos B 2cos A B2cos A B2 displaystyle cos A cos B 2 cos A B over 2 cos A B over 2 cos A cos B 2sin A B2sin A B2 displaystyle cos A cos B 2 sin A B over 2 sin A B over 2 tg A tg B sin A Bcos Acos B ctg A ctg B sin B Asin Asin B displaystyle operatorname tg A pm operatorname tg B sin A pm B over cos A cos B operatorname ctg A pm operatorname ctg B sin B pm A over sin A sin B Formula dlya sumi bud yakoyi kilkosti sinusiv kutiv iz yih zsuvom i otrimannya odniyeyi funkciyi kuta Asin x a Bsin x b Csin x g Ysin x Zcos x Y2 Z2sin x arctg ZY Y Acos a Bcos b Ccos g Z Asin a Bsin b Csin g displaystyle A sin x alpha B sin x beta C sin x gamma Y sin x Z cos x sqrt Y 2 Z 2 sin x operatorname arctg Z over Y Y A cos alpha B cos beta C cos gamma Z A sin alpha B sin beta C sin gamma Zagalni formuli dlya funkcij kratnih kutiv Yaksho n ye cilim dodatnim chislom to sin nA n1 cosn 1 Asin A n3 cosn 3 Asin3 A n5 cosn 5 Asin5 A displaystyle sin nA n choose 1 cos n 1 A sin A n choose 3 cos n 3 A sin 3 A n choose 5 cos n 5 A sin 5 A mp cdots cos nA cosn A n2 cosn 2 Asin2 A n4 cosn 4 Asin4 A displaystyle cos nA cos n A n choose 2 cos n 2 A sin 2 A n choose 4 cos n 4 A sin 4 A mp cdots Zagalni formuli dlya stepeniv funkcijYaksho n ye cilim neparnim chislom to sinn x 1 n 122n 1 sin nx n1 sin n 2 x n2 sin n 4 x n3 sin n 6 x 1 n 12 nn 12 sin x displaystyle sin n x 1 n 1 over 2 over 2 n 1 left sin nx n choose 1 sin n 2 x n choose 2 sin n 4 x n choose 3 sin n 6 x cdots 1 n 1 over 2 n choose n 1 over 2 sin x right cosn x 12 n 1 cos nx n1 cos n 2 x n2 cos n 4 x n3 cos n 6 x nn 12 cos x displaystyle cos n x left 1 over 2 right n 1 left cos nx n choose 1 cos n 2 x n choose 2 cos n 4 x n choose 3 cos n 6 x cdots n choose n 1 over 2 cos x right Yaksho n ye cilim parnim chislom to sinn x 1 n22n 1 cos nx n1 cos n 2 x n2 cos n 4 x n3 cos n 6 x 1 n 22 nn 22 cos 2x 12n nn2 displaystyle sin n x left 1 right n over 2 over 2 n 1 left cos nx n choose 1 cos n 2 x n choose 2 cos n 4 x n choose 3 cos n 6 x cdots left 1 right n 2 over 2 n choose n 2 over 2 cos 2x right 1 over 2 n n choose n over 2 cosn x 12 n 1 cos nx n1 cos n 2 x n2 cos n 4 x n3 cos n 6 x nn 22 cos 2x 12n nn2 displaystyle cos n x left 1 over 2 right n 1 left cos nx n choose 1 cos n 2 x n choose 2 cos n 4 x n choose 3 cos n 6 x cdots n choose n 2 over 2 cos 2x right 1 over 2 n n choose n over 2 Rozkladi v ryad TejloraIsnuyut taki rozkladi v ryad Tejlora trigonometrichnih funkcij sin x x x33 x55 x77 n 0 1 nx2n 1 2n 1 displaystyle sin x x frac x 3 3 frac x 5 5 frac x 7 7 cdots sum n 0 infty frac 1 n x 2n 1 2n 1 cos x 1 x22 x44 x66 n 0 1 nx2n 2n displaystyle cos x 1 frac x 2 2 frac x 4 4 frac x 6 6 cdots sum n 0 infty frac 1 n x 2n 2n tg x n 0 U2n 1x2n 1 2n 1 n 1 1 n 122n 22n 1 B2nx2n 1 2n x x33 2x515 17x7315 62x92835 pri x lt p2 displaystyle begin aligned operatorname tg x amp sum n 0 infty frac U 2n 1 x 2n 1 2n 1 amp sum n 1 infty frac 1 n 1 2 2n 2 2n 1 B 2n x 2n 1 2n amp x frac x 3 3 frac 2x 5 15 frac 17x 7 315 frac 62x 9 2835 cdots qquad text pri x lt frac pi 2 end aligned de Un displaystyle U n n te Bn displaystyle B n chisla Bernulli ta En displaystyle E n chisla Ejlera cosec x n 0 1 n 12 22n 1 1 B2nx2n 1 2n 1x x6 7x3360 31x515120 pri 0 lt x lt p displaystyle begin aligned operatorname cosec x amp sum n 0 infty frac 1 n 1 2 2 2n 1 1 B 2n x 2n 1 2n amp frac 1 x frac x 6 frac 7x 3 360 frac 31x 5 15120 cdots qquad text pri 0 lt x lt pi end aligned sec x n 0 U2nx2n 2n n 0 1 nE2nx2n 2n 1 x22 5x424 61x6720 pri x lt p2 displaystyle begin aligned sec x amp sum n 0 infty frac U 2n x 2n 2n sum n 0 infty frac 1 n E 2n x 2n 2n amp 1 frac x 2 2 frac 5x 4 24 frac 61x 6 720 cdots qquad text pri x lt frac pi 2 end aligned ctg x n 0 1 n22nB2nx2n 1 2n 1x x3 x345 2x5945 pri 0 lt x lt p displaystyle begin aligned operatorname ctg x amp sum n 0 infty frac 1 n 2 2n B 2n x 2n 1 2n amp frac 1 x frac x 3 frac x 3 45 frac 2x 5 945 cdots qquad text pri 0 lt x lt pi end aligned Zv yazok z eksponentoyu ta kompleksnimi chislami Vikoristovuyuchi vishenavedeni rozkladi v ryadi Tejlora mozhna pokazati sho funkciyi sin displaystyle sin ta cos displaystyle cos ye uyavnoyu ta dijsnoyu chastinami eksponenti chisto uyavnogo chisla ei8 cos 8 isin 8 displaystyle e i theta cos theta i sin theta Ce spivvidnoshennya nazivayetsya formuloyu Ejlera Mozhna viznachiti trigonometrichni funkciyi kompleksnoyi zminnoyi z sin z n 0 1 n 2n 1 z2n 1 eiz e iz2i ish iz displaystyle sin z sum n 0 infty frac 1 n 2n 1 z 2n 1 e iz e iz over 2i i operatorname sh left iz right cos z n 0 1 n 2n z2n eiz e iz2 ch iz displaystyle cos z sum n 0 infty frac 1 n 2n z 2n e iz e iz over 2 operatorname ch left iz right de i2 1 displaystyle i 2 1 a sh x displaystyle operatorname sh x ta ch x displaystyle operatorname ch x vidpovidno giperbolichni sinus ta kosinus Dlya dijsnogo x displaystyle x mayut misce spivvidnoshennya cos x Re eix sin x Im eix displaystyle cos x operatorname Re e ix sin x operatorname Im e ix Kompleksnij sinus Kompleksnij kosinus Kompleksnij tangensDiferenciyuvannya ta integruvannya f x displaystyle f x ddxf x displaystyle frac d dx f x f x dx displaystyle int f x dx sin x displaystyle sin x cos x displaystyle cos x cos x C displaystyle cos x C cos x displaystyle cos x sin x displaystyle sin x sin x C displaystyle sin x C tg x displaystyle operatorname tg x sec2 x displaystyle sec 2 x ln cos x C displaystyle ln left cos x right C ctg x displaystyle operatorname ctg x cosec2 x displaystyle operatorname cosec 2 x ln sin x C displaystyle ln left sin x right C sec x displaystyle sec x sec xtg x displaystyle sec x operatorname tg x ln sec x tg x C displaystyle ln left sec x operatorname tg x right C cosec x displaystyle operatorname cosec x cosec xctg x displaystyle operatorname cosec x operatorname ctg x ln cosec x ctg x C displaystyle ln left operatorname cosec x operatorname ctg x right C Zv yazok z diferencialnim rivnyannyamFunkciyi sinx displaystyle sin x ta cosx displaystyle cos x ye rozv yazkami diferencialnogo rivnyannya garmonichnih kolivan d2ydx2 y 0 displaystyle d 2 y over d x 2 y 0 Vlastivosti ta zastosuvannyaTeorema sinusiv Teorema sinusiv stverdzhuye sho dlya dovilnogo trikutnika zi storonami a displaystyle a b displaystyle b i c displaystyle c ta kutami sho protilezhni tim storonam A displaystyle A B displaystyle B i C displaystyle C sin Aa sin Bb sin Cc 2Dabc displaystyle frac sin A a frac sin B b frac sin C c frac 2 Delta abc de D displaystyle Delta ce plosha trikutnika abo ekvivalentno asin A bsin B csin C 2R displaystyle frac a sin A frac b sin B frac c sin C 2R de R displaystyle R ce radius kola sho opisuye trikutnik Figura Lissazhu figura utvorena na osnovi trigonometrichnoyi funkciyi Ce mozhna dovesti rozdilivshi trikutnik na dva pryamokutnih trikutniki i vikoristovuyuchi viznachennya sinusa Teorema sinusiv korisna dlya rozrahunku dovzhin nevidomih storin trikutnika pri vidomih dvoh kutah i dovzhini odniyeyi z jogo storin Cya situaciya ye tipovoyu dlya zadachi triangulyaciyi tehniki viznachennya nevidomih vidstanej shlyahom vimiryuvannya dvoh kutiv iz dvoh tochok na dostupnij vidomij vidstani Teorema kosinusiv Teorema kosinusiv ye uzagalnennyam teoremi Pifagora c2 a2 b2 2abcos C displaystyle c 2 a 2 b 2 2ab cos C abo ekvivalentno cos C a2 b2 c22ab displaystyle cos C frac a 2 b 2 c 2 2ab V cij formuli kut C displaystyle C ye protilezhnim do storoni c displaystyle c Cyu teoremu mozhna dovesti rozdilivshi trikutnik na dva pryamokutnih trikutniki ta zastosuvavshi teoremu Pifagora Teoremu kosinusiv mozhna zastosuvati dlya viznachennya storoni trikutnika yaksho vidomi dovzhini dvoh storin i kut mizh nimi Takozh yiyi mozhna zastosuvati dlya viznachennya kosinusa kuta i vidpovidno znachennya samogo kuta yaksho vidomi dovzhini vsih storin trikutnika Teorema tangensiv Dokladnishe Teorema tangensiv Vsi nastupni virazi formulyuyut teoremu tangensiv tg A B2tg A B2 a ba b tg A C2tg A C2 a ca c tg B C2tg B C2 b cb c displaystyle frac operatorname tg dfrac A B 2 operatorname tg dfrac A B 2 frac a b a b qquad frac operatorname tg dfrac A C 2 operatorname tg dfrac A C 2 frac a c a c qquad frac operatorname tg dfrac B C 2 operatorname tg dfrac B C 2 frac b c b c Poyasnennya cih formul na slovah bulo b gromizdkim ale zakonomirnosti sum i riznic dlya dovzhin storin i vidpovidnih protilezhnih kutiv vidno iz teoremi Teorema kotangensiv Dokladnishe Teorema kotangensiv Yaksho z 1s s a s b s c displaystyle zeta sqrt frac 1 s s a s b s c radius vpisanogo kola v trikutnik i s a b c2 displaystyle s frac a b c 2 napivperimetr trikutnika todi vsi nastupni formuli opisuyut teoremu kotangensiv ctg A2 s az ctg B2 s bz ctg C2 s cz displaystyle operatorname ctg frac A 2 frac s a zeta qquad operatorname ctg frac B 2 frac s b zeta qquad operatorname ctg frac C 2 frac s c zeta Zvidsi viplivaye sho ctg A2s a ctg B2s b ctg C2s c displaystyle frac operatorname ctg dfrac A 2 s a frac operatorname ctg dfrac B 2 s b frac operatorname ctg dfrac C 2 s c Na slovah teorema polyagaye v tomu sho kotangens polovinnogo kuta dorivnyuye vidnoshennyu napivperimetra vid yakogo vidnyato storonu protilezhnu zadanomu kutu do radiusa vpisanogo kola Periodichni funkciyi Animaciya en meandru iz zbilshennyam kilkosti garmonikSinusoyidalni bazisni funkciyi znizu mozhut sformuvati pilopodibnu hvilyu zverhu yaksho yih dodati mizh soboyu Vsi bazovi funkciyi matimut vuzli sho zbigayutsya z vuzlami pilopodibnoyi hvili i vsi krim osnovnoyi k 1 displaystyle k 1 matimut dodatkovi vuzli Kolivannya yaki vidbuvayutsya bilya krayu zubcya pri velikih znachennyah k nazivayutsya en Trigonometrichni funkciyi takozh mayut vazhlive zastosuvannya u fizici Funkciyi sinusa i kosinusa napriklad vikoristovuyut dlya opisannya garmonichnih kolivan yaki modelyuyut bagato prirodnih yavish taki yak ruh masi zakriplenoyi na pruzhini i dlya malih kutiv ruh mayatnika dlya masi sho visit na nitci Funkciyi sinusa i kosinusa ye odnovimirnimi proyekciyami rivnomirnogo krugovogo ruhu Trigonometrichni funkciyi takozh doveli svoyu korist pri vivchenni zagalnih periodichnih funkcij Harakterna hvilova struktura periodichnih funkcij korisna dlya modelyuvannya yavish takih yak zvukovi abo svitlovi hvili V zagalnih umovah periodichnu funkciyu f x displaystyle f x mozhna viraziti u viglyadi sumi sinusnih abo kosinusnih hvil za dopomogoyu Ryadu Fur ye Poznachivshi sinusni abo kosinusni bazisni funkciyi yak fk displaystyle varphi k rozkladannya periodichnoyi funkciyi f x displaystyle f x bude mati nastupnu formu f t k 1 ckfk t displaystyle f t sum k 1 infty c k varphi k t Napriklad kvadratnu hvilyu meandr mozhna zapisati u viglyadi ryadu Fur ye fsquare t 4p k 1 sin 2k 1 t 2k 1 displaystyle f text square t frac 4 pi sum k 1 infty sin big 2k 1 t big over 2k 1 V animaciyi kvadratnoyi hvili pravoruch mozhna pobachiti sho lishe dekilka termiv vzhe dosit abi stvoriti dobru aproksimaciyu kvadratnoyi formi hvili Superpoziciyu dekilkoh termiv v rozkladanni pilopodibnoyi hvili mozhna pobachiti znizu pid tim malyunkom Div takozhOberneni trigonometrichni funkciyi Ekzotichni trigonometrichni funkciyi Spisok trigonometrichnih totozhnostej Tablicya integraliv trigonometrichnih funkcij Integralni trigonometrichni funkciyi Trigonometriya Koordinatnij transportir Trigonometrichne rivnyannyaPrimitkiThe Universal Encyclopaedia of Mathematics Pan Reference Books 1976 page 529 530 English version George Allen and Unwin 1964 Translated from the German version Meyers Rechenduden 1960 Farlow Stanley J 1993 Partial differential equations for scientists and engineers vid Reprint of Wiley 1982 Courier Dover Publications s 82 ISBN 978 0 486 67620 3 originalu za 20 bereznya 2015 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite book title Shablon Cite book cite book a Cite maye pustij nevidomij parametr df dovidka Div priklad Folland Gerald B 2009 Convergence and completeness Fourier Analysis and its Applications vid Reprint of Wadsworth amp Brooks Cole 1992 American Mathematical Society s 77ff ISBN 978 0 8218 4790 9 originalu za 12 chervnya 2019 Procitovano 23 lyutogo 2019 a href wiki D0 A8 D0 B0 D0 B1 D0 BB D0 BE D0 BD Cite book title Shablon Cite book cite book a Cite maye pustij nevidomij parametr df dovidka DzherelaKorn G Korn T Spravochnik po matematike dlya nauchnyh rabotnikov i inzhenerov M Nauka 1973 832 s Grigorij Mihajlovich Fihtengolc Kurs diferencialnogo ta integralnogo chislennya 2024 2200 s ukr PosilannyaTangens Universalnij slovnik enciklopediya 4 te vid K Teka 2006 Trigonometrichni funkciyi Visha matematika v prikladah i zadachah Klepko V Yu Golec V L 2 ge vidannya K Centr uchbovoyi literaturi 2009 S 180 594 s FIZMA neT Matematika onlajn 1 kvitnya 2022 u Wayback Machine OnlineMSchool Arhiv originalu za 3 bereznya 2021 Procitovano 13 lyutogo 2021