Пилкоподібна хвиля

Пилкоподі́бна хви́ля (також пиля́ста або пилча́ста хви́ля) — різновид несинусоїдальної форми хвилі. Її так називають через схожість із зубцями звичайної зубчастої пилки з нульовим ^[en].

Обмежена пилкоподібна хвиля: залежність від часу (вгорі) та частоти (внизу). Основна частота складає 220 Гц ${\displaystyle (A_{3})}$.

Подібність полягає в тому, що пилкоподібна хвиля наростає, а потім різко опускається. Однак, у зворотній пилкоподібній хвилі, хвиля падає вниз і потім різко здіймається. Це також можна вважати граничним випадком асиметричної трикутної хвилі.

Кусково-лінійна функція

${\displaystyle x(t)=t-\underbrace {\lfloor t\rfloor } _{\operatorname {floor} (t)}}$,

або в еквівалентній формі

${\displaystyle x(t)=t{\pmod {1}}}$,

на основі функції цілої частини числа, є прикладом пилкоподібної хвилі з періодом 1.

Більш загальною формою пилкоподібної хвилі на інтервалі від ${\displaystyle (-1;1)}$ і з періодом ${\displaystyle a}$ є

${\displaystyle 2\left({\frac {t}{a}}-\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\frac {t}{a}}\right\rfloor \right)}$.

Ця пилкоподібна функція має ту саму фазу, що і функція синус.

Ще одним прикладом є тригонометрична функція з періодом ${\displaystyle p}$ та амплітудою ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle y(x)=-{\frac {2a}{\pi }}\arctan \left(\cot \left({\frac {x\pi }{p}}\right)\right)}$.

Тоді як прямокутна хвиля побудована лише з непарних гармонік, звук пилкоподібної хвилі різкий і чіткий, а її спектр містить як парні, так і непарні гармоніки основної частоти. Оскільки вона зберігає усі цілі гармоніки, це одна з найкращих форм хвиль, яка використовується для ^[en] музичних звуків, особливо смичкових струнних інструментів, таких як скрипки та віолончелі, внаслідок ^[en] смичка по струні з пилкоподібним рухом.

Additive Sawtooth Demo

Пилкоподібна хвиля 220 Гц, створена гармоніками, додається щосекунди над синусоїдою.

---

При проблемах гляньте в .

Пилкоподібна хвиля може бути побудована за допомогою ^[en]. Нескінченний ряд Фур'є

${\displaystyle x_{\text{reverse sawtooth}}(t)={\frac {2A}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}}$

збігається зі зворотною (оберненою) пилкоподібною хвилею. Звичайна пилкоподібна хвиля може бути побудована за допомогою формули

${\displaystyle x_{\mathrm {sawtooth} }(t)={\frac {A}{2}}-{\frac {A}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{(-1)}^{k}{\frac {\sin(2\pi kft)}{k}}}$,

де ${\displaystyle A}$ — амплітуда.

У цифровому синтезі цей ряд підсумовується за ${\displaystyle k}$ таким чином, що найвища гармоніка ${\displaystyle N_{\text{max}}}$ менша від частоти Найквіста (половина дискретизованої частоти). Цю суму зручніше можна обчислити за допомогою швидкого перетворення Фур'є. Якщо форма хвилі у цифровому вигляді створюється безпосередньо в часовій області за допомогою ^[en] форми, такої як ${\displaystyle y=x-}$floor(${\displaystyle x}$), нескінченні гармоніки відбираються, і отриманий тон містить аліасингові спотворення.

Анімація адитивного синтезу пилкоподібної хвилі зі збільшенням кількості гармонік.

Відтворення пилкоподібних звуків при 440Hz ${\displaystyle (A_{\text{4}})}$, 880Hz ${\displaystyle (A_{\text{5}})}$ і 1,760Hz ${\displaystyle (A_{\text{6}})}$ доступна нижче. Представлено обмежений (неаліасинговий) та аліасинговий тони.

Sawtooth aliasing demo

Пилкоподібні хвилі представлені в обмеженому та алісинговому тонах при 440Hz ${\displaystyle (A_{\text{4}})}$, 880Hz ${\displaystyle (A_{\text{5}})}$ і 1,760Hz ${\displaystyle (A_{\text{6}})}$.

---

При проблемах гляньте в .

Застосування

• Пилкоподібні хвилі відомі завдяки тому, що їх використовують у музиці. Пилкоподібні та прямокутні хвилі є одними з найпоширеніших форм хвиль, що використовуються для створення ^[en] і ^[en] музичних синтезаторів;
• Пилкоподібні хвилі застосовуються в імпульсних стабілізаторах напруги. У мікросхемі регулятора сигнал зворотного зв'язку на виході постійно порівнюється з високочастотною пилкоподібною хвилею для створення нового ШІМ-сигналу робочого циклу на виході компаратора.
• Пилкоподібна хвиля є вертикальною та горизонтальною формою сигналів ^[en], які використовуються для генерування растру на екранах ЕПТ телевізорів і моніторів. Осцилографи також застосовують пилкоподібні хвилі для їх горизонтального відхилення, хоча здебільшого вони використовують електростатичне відхилення.
  • На «пандусі» хвилі магнітне поле переміщує електронний промінь поверхнею ЕПТ, створюючи ^[en];
  • На «обриві» хвилі магнітне поле раптово руйнується, внаслідок чого електронний промінь одразу повертається у положення спокою;
  • Напруга, яка подається на відхильну систему, регулюється різними засобами (трансформаторами, конденсаторами), щоб напруга на півдорозі до «обриву» пилкоподібної хвилі прийняла нульову позначку, тобто від'ємна напруга спричинить відхилення в один напрямок, а додатна — в інший; таким чином, у центрі кріплення відхильної системи може використовуватись вся область екрану для зображення сліду;
  • Система вертикального відхилення працює так само, як і горизонтального, хоч і зі значно меншою частотою (59,94 Гц на NTSC, 50 Гц для PAL і SECAM);
  • Перші телевізійні приймачі керувались самими користувачами, що дозволяло їм коригувати лінійність зображення. Таких засобів керування не було в новіших моделях, оскільки стійкість електронних складників покращилася.

Див. також

Синусоїдна, прямокутна, трикутна та пилкоподібна форми хвиль.

• Список періодичних функцій
• Синусоїдна хвиля
• Прямокутна хвиля
• Трикутна хвиля
• Хвиля
• Звук

Посилання

1. Пошук | Англійсько-українські словники. e2u.org.ua. Процитовано 17 листопада 2022.
2. . Mathworld.wolfram.com. 2 липня 2012. Архів оригіналу за 4 січня 2018. Процитовано 11 липня 2012.
3. https://homepages.abdn.ac.uk/d.j.benson/pages/html/music.pdf [ 11 вересня 2020 у Wayback Machine.] page 42

Джерела

• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. Т. 97. с. 536—537. ISBN .