Простір T0

Простір ${\displaystyle T_{0}}$ — топологічний простір, що задовольняє одній з найслабших аксіом відокремлюваності ${\displaystyle T_{0}}$. Ці простори також називаються просторами Колмогорова.

Аксіоми відокремлюваності в топологічних просторах
T0	(Колмогорова)
T1	(Фреше)
T2	(Гаусдорфів)
T2½	(Урисонів)
CT2	(повністю Гаусдорфів)
T3	(регулярний Гаусдорфів)
T3½	(Тихонівський)
T4	(нормальний Гаусдорфів)
T5	(повністю нормальний  Гаусдорфів)
T6	(досконало нормальний  Гаусдорфів)
класифікація Колмогорова

Визначення

Топологічний простір ${\displaystyle X}$ називається простором ${\displaystyle T_{0}}$, якщо для будь-яких двох різних точок ${\displaystyle x,y\in X}$ існує відкрита множина ${\displaystyle U\subseteq X}$, така що одна з цих двох точок належить цій підмножині, а інша - ні. На відміну від простору ${\displaystyle T_{1}}$, якщо ${\displaystyle x\in U}$, але ${\displaystyle y\notin U}$, то кожен відкритий окіл точки y може мати x своїм елементом.

Еквівалентно можна визначити, що ${\displaystyle X}$ є простором ${\displaystyle T_{0}}$, коли будь-які його дві точки не є граничними точками одна одної.

Приклади і властивості

• Більшість типових прикладів топологічних просторів є просторами ${\displaystyle T_{0}}$ і простори, що не є ${\displaystyle T_{0}}$ вважаються "дуже патологічними". Прикладами просторів ${\displaystyle T_{1}}$ є зокрема: простір дійсних чисел із звичайною топологією, евклідові простори і, в більш загальному випадку, метричні простору. Кожен дискретний простір є простором ${\displaystyle T_{0}}$.
• Кожен простір ${\displaystyle T_{1}}$ зокрема гаусдорфів простір є простором ${\displaystyle T_{0}}$.
• Будь-який простір з антидискретною топологією не є простором ${\displaystyle T_{0}}$. Також якщо на дійсному векторному просторі топологія породжена напівнормою, що не є нормою, то такий топологічний простір не є простором ${\displaystyle T_{0}}$.
• Прикладом простору, що задовольняє аксіому ${\displaystyle T_{0}}$, але не є простором ${\displaystyle T_{1}}$ є множина ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ з топологією ${\displaystyle \tau _{0}={\big \{}\emptyset ,X,\{a\}{\big \}}}$. Іншими такими прикладами є топологія перекривних інтервалів, топологія замкненого розширення і простір Серпінського. Також спектр кільця із топологією Зариського є простором ${\displaystyle T_{0}}$ але в загальному випадку не є простором ${\displaystyle T_{1}}$.
• Підмножина простору ${\displaystyle T_{0}}$ з індукованою топологією є простором ${\displaystyle T_{0}}$.
• Декартовий добуток просторів ${\displaystyle T_{0}}$ теж є простором ${\displaystyle T_{0}}$.
• На множині точок довільного топологічного простору ввести відношення еквівалентності: ${\displaystyle \,x\sim y}$ тоді й тільки тоді коли довільна відкрита множина, що містить x містить також y і навпаки. Фактор-простір по цьому відношенню буде простором ${\displaystyle T_{0}}$.

Див. також

• Аксіоми відокремлюваності
• Простір T1
• Гаусдорфів простір

Література

• Gaal, Steven A.(1966), Point set topology, New York: Dover Publications, (англ.)