Топологія замкненого розширення

Нехай (Х,τ) — довільний топологічний простір, ${\displaystyle p\notin X}$, ${\displaystyle X^{*}=X\cup \{p\}}$, ${\displaystyle \tau ^{*}=\{\varnothing ,U\cup \{p\}\mid U\in \tau \}}$. Топологічний простір (X*,τ*) називається замкненим розширенням простору (Х,τ).

Властивості

• Довільна відмінна від X* замкнена в X* множина замкнена в Х. Саме тому таке розширення називається замкненим.
• X* є ${\displaystyle T_{0}}$-простором тоді і тільки тоді, коли Х є ${\displaystyle T_{0}}$-простором.
• X* не є ${\displaystyle T_{1}}$, ${\displaystyle T_{2}}$, ${\displaystyle T_{3}}$-простором.
• X* є ${\displaystyle T_{4}}$-простором чи ${\displaystyle T_{5}}$-простором в тому й лише в тому разі, коли Х є ${\displaystyle T_{4}}$ або ${\displaystyle T_{5}}$-простором відповідно.

Див. також

• Топологія відкритого розширення

Література

1. ; (1995) [1978], (вид. reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 0507446