Приклад Данжуа

В теорії динамічних систем, приклад Данжуа — приклад ${\displaystyle C^{1}}$-дифеоморфізму кола з ірраціональним числом обертання, має канторову інваріантну множину  (і, відповідно, не спряжений до чистого повороту). М. Ерманом були побудовані приклади такого дифеоморфізму в класі гладкості ${\displaystyle C^{1+\varepsilon }}$ (тобто, ${\displaystyle C^{1}}$ з гельдеровою похідною з показником ${\displaystyle \varepsilon }$) для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon <1}$. Ця гладкість не може далі збільшуватись: для дифеоморфізмів з ліпшицевою похідною (і навіть з похідною, логарифм якої має обмежену варіацію) має місце теорема Данжуа, яка стверджує, що такий дифеоморфізм з ірраціональним числом обертання пов'язаний із ірраціональний поворотом (на відповідне число обертання).

Конструкція

Процедура вклейки

Приклад гомеоморфізму

Найпростіше зобразити приклад гомеоморфізму кола, число обертання якого ірраціональне, але який, тим не менш, не мінімальний. А саме, розглянемо поворот ${\displaystyle R}$ на деякий ірраціональний кут ${\displaystyle \alpha }$, і виберемо довільну початкову точку ${\displaystyle x_{0}}$. Розглянемо її орбіту ${\displaystyle x_{n}=R^{n}(x_{0})}$ при всіх цілих ${\displaystyle n}$, як додатних, так і від'ємних). Зробимо наступну перебудову: в кожній точці ${\displaystyle x_{n}}$ разріжемо коло і вклеїмо інтервал ${\displaystyle I_{n}}$ деякої довжини ${\displaystyle l_{n}>0}$, так, щоб сума довжин вклеєних інтервалів сходилася:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }l_{n}<\infty .}$

Тоді множина, яка утворилась після такої вклейки, як і раніше, буде колом, більш того, на ній буде природна міра Лебега (складається з міри Лебега на розрізаному старому колі і заходи Лебега на вклеєних інтервалах), тобто довжина — і, тим самим, гладка структура. Довільним чином продовживши відображення ${\displaystyle R}$ зі старого кола так, щоб воно переводило інтервал ${\displaystyle I_{n}}$ в інтервал ${\displaystyle I_{n+1}}$ — наприклад, вибравши продовженням афінне відображення ${\displaystyle I_{n}}$ в ${\displaystyle I_{n+1}}$, - ми отримуємо гомеоморфізм f нового кола з тим же числом обертання ${\displaystyle \alpha }$. Однак, у цього гомеоморфізму є канторова інваріантна множина ${\displaystyle K}$ (замикання множини точок старого кола), і тому вона не може бути спряженою з ірраціональним поворотом.

Вибравши послідовність довжин ${\displaystyle l_{n}}$ так, щоб послідовність відносин ${\displaystyle l_{n}/l_{n+1}}$ залишалася обмеженою при ${\displaystyle n\to \pm \infty }$, для продовження конструкції афінного перетворення можна домогтися ліпшицевості побудованого гомеоморфізму. Однак, щоб побудоване відображення було дифеоморфізмом, вибір продовження на відрізки ${\displaystyle I_{n}}$ слід зробити більш тонко.

Приклад в класі ${\displaystyle C^{1}}$

Приклад в класі ${\displaystyle C^{1}}$ будується так, щоб похідна побудованого дифеоморфізму ${\displaystyle f}$ на канторовій множині ${\displaystyle K}$ — замикання множини точок вихідного кола — дорівнювала б 1 (оскільки міра Лебега на цій множині зберігається побудованим дифеоморфізмом, це необхідна умова при такій конструкції). Тому, необхідно вибирати інтервали ${\displaystyle I_{n}}$ обмеження ${\displaystyle \varphi _{n}=f|_{I_{n}}:I_{n}\to I_{n+1}}$ так, щоб виконувалися наступні умови:

• (D1) Похідна ${\displaystyle \varphi _{n}}$ на кінцях інтервалу ${\displaystyle I_{n}}$ дорівнює 1.
• (D2) При ${\displaystyle n\to \pm \infty }$, похідні відображень ${\displaystyle \varphi _{n}}$ рівномірно прямують до 1.

Остання умова необхідна, так як з ростом ${\displaystyle n}$ інтервали ${\displaystyle I_{n}}$ накопичуються до канторової множини ${\displaystyle K}$. Більше того, неважко бачити, що ці умови і достатні для того, щоб побудоване відображення ${\displaystyle f}$ було б ${\displaystyle C^{1}}$-дифеоморфізмом.

В силу теореми Лагранжа на відрізку ${\displaystyle I_{n}}$ знайдеться точка, похідна якої дорівнює ${\displaystyle l_{n+1}/l_{n}}$. Тому друга умова вимагає, щоб для послідовності ${\displaystyle l_{n}}$ мало місце

${\displaystyle \lim _{n\to \pm \infty }l_{n}/l_{n+1}=1.\qquad (*)}$

Як виявляється, це правило довжини для побудови ${\displaystyle C^{1}}$-дифеоморфізму є достатнім. А саме, відображення ${\displaystyle \varphi _{n}}$ вибираються наступним чином: на відрізках ${\displaystyle I_{n}}$ і ${\displaystyle I_{n+1}}$ вводяться координати, які ототожнюються з відрізками ${\displaystyle [-l_{n}/2,l_{n}/2]}$ і ${\displaystyle [-l_{n+1}/2,l_{n+1}/2]}$ відповідно, і відображення ${\displaystyle \varphi _{n}}$ вибирається як

${\displaystyle \varphi _{n}=F_{l_{n+1}}^{-1}\circ F_{l_{n}},\qquad (**)}$

де

${\displaystyle F_{l}:[-l/2,l/2]\to \mathbb {R} ,\quad F_{l}(x)=l\tan {\frac {\pi x}{l}}.\qquad (***)}$

Нескладна викладка показує тоді, що похідна ${\displaystyle \varphi _{n}}$ в будь-якій точці відхиляється від 1 на не більше, ніж ${\displaystyle \mathrm {const} \cdot |1-{\frac {l_{n}}{l_{n+1}}}|}$, тому умови (*) достатньо для виконання другої необхідної умови D2. З іншого боку, настільки ж нескладно бачити, що умова D1 також виконана (саме для цього тангенс у формулі (***) і множився на l: тоді швидкість відходу на нескінченність на кінцях це ${\displaystyle 1/x}$і не залежить від довжини інтервалу l — тому композиційне приватне стосується тотожного відображення).

Вибір будь-якої послідовності ${\displaystyle l_{n}}$ зі збіжної сумою — наприклад, ${\displaystyle l_{n}=1/(1+n^{2}),}$ — і завершує побудову.

Приклад в класі ${\displaystyle C^{1+\epsilon }}$

Приклад в класі ${\displaystyle C^{1+\varepsilon }}$ представляється вже описаною вище конструкцією, але з більш тонкими умовами на довжини ${\displaystyle l_{n}}$. А саме, як легко бачити, побудований дифеоморфізм буде мати гельдерову похідну тоді і тільки тоді, коли похідні всіх обмежень ${\displaystyle \varphi _{n}}$ рівномірно по ${\displaystyle n}$ гельдерові. Дійсно, порівнюючи похідні в точках з різних відрізків, можна розбити цю різницю похідними в проміжних кінцевих точках (оскільки похідна в кінцевій точці завжди дорівнює 1), і скористатися нерівністю трикутника (в гіршому випадку, подвоївши константу Гельдера).

Оскільки на відрізку ${\displaystyle I_{n}}$ є точка з похідною ${\displaystyle l_{n+1}/l_{n}}$ (теорема Лагранжа) і є точка, похідна якої дорівнює 1 (це кінцева точка), константа Гельдера для показника Гельдера ${\displaystyle \varepsilon }$ не може бути меншою, ніж

${\displaystyle (|1-{\frac {l_{n+1}}{l_{n}}})/l_{n}^{\varepsilon }={\frac {|l_{n+1}-l_{n}|}{l_{n}^{1+\varepsilon }}}.\qquad (L)}$

Тому вираз (L) повинен бути обмеженим при ${\displaystyle n\to \pm \infty }$. Як виявляється, це умова обмеженості і досить — явна викладка показує, що точна константа Гельдера обмеження ${\displaystyle \varphi _{n}}$ відрізняється від оцінки знизу (L) не більше, ніж в константу раз. Для завершення конструкції залишається представити двосторонньо-нескінченну послідовність ${\displaystyle l_{n}}$ з збіжної сумою, для якої вираз (L) залишається обмеженим. Прикладом такої послідовності є

${\displaystyle l_{n}={\frac {1}{m\ln ^{2}m}},\quad m=2+|n|,}$

яка підходить одночасно для всіх ${\displaystyle \varepsilon <1}$.

Відображення такої послідовності і завершує конструкцію — побудований дифеоморфізм належить класу ${\displaystyle C^{1+\varepsilon }}$ з будь-яким ${\displaystyle \varepsilon <1}$.

Посилання

• Записки Дж. Милнора Introductory Dynamics Lectures, лекція "Теорема Данжуа" [ 5 лютого 2012 у Wayback Machine.] (див. §15B).

Література

• А.Б.Каток, Б.Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А.С.Городецкого. М.: МЦНМО, 2005.
• M. Herman, Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations. Publications Mathématiques de l IHÉS, 49 (1979), p. 5-233.