Число обертання

У теорії динамічних систем, галузі математики, число обертання гомеоморфізму кола, що зберігає орієнтацію, - середнє "число обертів на одну ітерацію" при тривалому ітеруванні точки. Точніше, це границя відношення (у певний спосіб визначеного) "числа обертів" до кількості ітерацій.

Визначення

Для формального визначення замість гомеоморфізму кола ${\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}}$ розглядають його підняття ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ для накриття кола прямою ${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ . Число зсуву цього підняття визначають як границю

${\displaystyle \tau (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}},}$

де ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ - довільна точка. Число обертання f тоді визначають як

${\displaystyle \rho (f):=\tau (F)\mod 1\,\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ .

Властивості

• Число обертання є інваріантом топологічного спряження, що зберігає орієнтацію, і навіть напівспряження відображеннями степеня 1: якщо ${\displaystyle h:S^{1}\to S^{1}}$ - відображення степеня 1, таке, що ${\displaystyle f\circ h=h\circ g}$, де ${\displaystyle f,g}$ — гомеоморфізми кола, числа обертання ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$ збігаються.
• Як стверджує , число обертання раціональне тоді й лише тоді, коли відображення має періодичну точку.
• стверджує, що якщо відображення ${\displaystyle f}$ — C²-гладке, а його число обертання ${\displaystyle \rho (f)}$ ірраціональне, то ${\displaystyle f}$ спряжене повороту на ${\displaystyle \rho (f)}$.
• Число обертання неперервно залежить від гомеоморфізму - відображення ${\displaystyle \rho :Homeo(S^{1})\to S^{1}}$ неперервне.

Література

• ^[ru], ^[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М. : Факториал, 1999. — 768 с. — .