Поліноми Ґеґенбауера

Ортогональні поліноми
Ґеґенбауера
Відкриті	Леопольд Ґеґенбауер
Формула	${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{n-k}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}}$
Диференціальне рівняння	${\displaystyle (1\!-\!z^{2}){d^{2}y(z) \over dz^{2}}\!\!-\!(2\alpha \!+\!1)z{dy(z) \over dz}\!\!+\!n(n\!+\!2\alpha )y(z)=0}$
Визначені на	${\displaystyle \ [-1,+1]}$
Вага	${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}}$
Норма	${\displaystyle {\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}}$
Примітки

Поліноми Ґеґенбауера або ультрасфери́чні поліноми — поліноми, ортогональні на відрізку [−1,1] з вагою ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}}$ і є узагальненням поліномів Лежандра і Чебишева. Їх можна явно записати у вигляді суми

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{n-k}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k},}$

де ${\displaystyle \Gamma (s)}$ — гамма-функція, ${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$ позначає цілу частину числа ${\displaystyle n/2}$, а ${\displaystyle (\cdot )_{m}}$ — символ Похгаммера.

Щоб вагова функція була дійснозначною та інтегровною часто накладають обмеження ${\displaystyle \alpha >-{\tfrac {1}{2}}}$, хоча більшість формальних співвідношень залишаються справедливими для довільного ${\displaystyle \alpha }$.

Згідно наведено вище означення ${\displaystyle C_{n}^{(0)}(z)=0}$ і часто у випадку ${\displaystyle \alpha =0}$ функцію ${\displaystyle C_{n}^{(0)}(z)}$ перевизначають окремо (див. розділ «Зв'язок з іншими функціями»).

Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком поліномів Якобі. Вперше введені у 1875 році в докторській дисертації австрійського математика Леопольда Ґеґенбауера (1849—1903) та були пізніше названі на його честь. Варто відзначити, що після захисту дисертації протягом наступних трьох років Л. Ґеґенбауер працював професором математики у Чернівецькому універститеті, на той час — Університеті Франца-Йосифа (нім. Franz-Josephs-Universität).

Приклади

Графіки поліномів Ґеґенбауера при ${\displaystyle \alpha =1}$

Перші шість поліномів Ґеґенбауера:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{\alpha }(z)&=1,\\C_{1}^{\alpha }(z)&=2\alpha z,\\C_{2}^{\alpha }(z)&=2\alpha (1+\alpha )z^{2}-\alpha ,\\C_{3}^{\alpha }(z)&={\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{3}-2\alpha (1+\alpha )z,\\C_{4}^{\alpha }(z)&={\tfrac {2}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )z^{4}-2\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z^{2}+{\tfrac {1}{2}}\alpha (1+\alpha ),\\C_{5}^{\alpha }(z)&={\tfrac {4}{15}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\alpha )z^{5}-{\tfrac {4}{3}}\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )z^{3}+\alpha (1+\alpha )(2+\alpha )z.\end{aligned}}}$

Значення в деяких точках

Мають місце такі співвідношення:

• при ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle C_{2n}^{(\alpha )}(0)={\frac {(-1)^{n}(\alpha )_{n}}{(n)!}}}$,       ${\displaystyle C_{2n-1}^{(\alpha )}(0)=0;}$

• при ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}};}$

• при ${\displaystyle x=-1}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(-1)=(-1)^{n}{\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}.}$

Властивості

• Функція ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}$ є поліномом степеня ${\displaystyle n}$ відносно ${\displaystyle z}$ та ${\displaystyle \alpha }$ і визначена для довільних ${\displaystyle z,\alpha \in \mathbb {C} }$.

• Як і всі ортогональні поліноми функція ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}$, ${\displaystyle \alpha >-{\tfrac {1}{2}}}$, має тільки прості нулі, які всі лежать на відрізку ${\displaystyle [-1,1]}$. Нулі розташовані симетрично відносно початку координат. Нулі поліномів ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}$ та ${\displaystyle C_{n+1}^{(\alpha )}(z)}$ чергуються.

Позначимо через ${\displaystyle x_{m},m=1,\ldots ,n,}$ нулі многочлена ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}$ розташовані у порядку спадання:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x_{m})=0,\qquad -1<x_{n}<x_{n-1}<\cdots <x_{1}<1,}$

Нулі розташовані симетрично ${\displaystyle x_{m}=-x_{n-m},m=1,\ldots ,[n/2],}$. Для нулів на інтеравалі [0,1] введемо позначення

${\displaystyle x_{m}=\cos(\theta _{m}),\quad \theta _{1}<\cdots <\theta _{m},\quad m=1,\ldots ,[n/2].}$

Тоді мають місце оцінки:

${\displaystyle \left(m-{\frac {1}{2}}\right){\frac {\pi }{n}}\leq \theta _{m}\leq {\frac {m\pi }{n+1}},\quad m=1,\ldots ,[n/2].}$

• Поліном ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}$ містить члени лише тієї ж парності, що й саме число ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(-z)=(-1)^{n}C_{n}^{(\alpha )}(z),\quad n=0,1,2,\ldots .}$

Зв'язок з іншими функціями

• Поліноми Лежандра ${\displaystyle P_{n}(z)}$ є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$:

${\displaystyle P_{n}(z)=C_{n}^{(1/2)}(z).}$

У загальному випадку поліноми Ґеґенбауера півцілого верхнього індексу можна виразити через поліноми Лежандра:

${\displaystyle C_{n}^{\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)}(z)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\cdots \sum _{k_{2m+1}=0}^{n}\delta _{n,l}\prod _{j=1}^{2m+1}P_{k_{j}}(z),\quad l=\sum _{j=1}^{2m+1}k_{j},}$

де ${\displaystyle \delta _{n,l}}$ — символ Кронекера, або через похідну від полінома Лежандра:

${\displaystyle C_{n}^{\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)}(z)={\frac {2^{m}m!}{(2m)!}}{\frac {d^{m}}{dz^{m}}}P_{n+m}(z),\quad m=0,1,2,\ldots .}$

• Приєднана функція Лежандра першого роду також може бути виражена через поліноми Ґеґенбауера:

${\displaystyle P_{n}^{m}(z)={\frac {(-1)^{m}}{\sqrt {\pi }}}\Gamma \left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)2^{m}(1-z^{2})^{\tfrac {m}{2}}C_{n-m}^{\left(m+{\tfrac {1}{2}}\right)}(z).}$

• Поліноми Чебишева першого роду ${\displaystyle T_{n}(z)}$ є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при ${\displaystyle \alpha \rightarrow 0}$:

${\displaystyle T_{n}(z)={\frac {n}{2}}\lim _{\alpha \rightarrow 0}\left({\frac {1}{\alpha }}C_{n}^{(\alpha )}(z)\right).}$

Це співвідношення беруть за означення полінома Ґеґенбауера індекса ${\displaystyle \alpha =0}$, тобто ${\displaystyle C_{n}^{(0)}(z):=T_{n}(z)}$.

• Поліноми Чебишева другого роду ${\displaystyle U_{n}(z)}$ є частковим випадком поліномів Ґеґенбауера при ${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle U_{n}(z)=C_{n}^{(1)}(z).}$

У загальному випадку поліноми Ґеґенбауера цілого верхнього індексу можна виразити через поліноми Чебишева:

${\displaystyle C_{n}^{(m)}(z)=\sum _{k_{1}=0}^{n}\cdots \sum _{k_{m}=0}^{n}\delta _{n,l}\prod _{j=1}^{m}U_{k_{j}}(z),\quad l=\sum _{j=1}^{m}k_{j},\quad m=1,2,\ldots ,}$

де ${\displaystyle \delta _{n,l}}$ — символ Кронекера, або за допомогою операції диференціювання:

${\displaystyle C_{n}^{(m)}(z)={\frac {2^{-m+1}m!}{(m-1)!(n+m)}}{\frac {d^{m}}{dz^{m}}}T_{n+m}(z),\quad m=1,2,\ldots .}$

• Поліноми Ерміта також можуть бути виражені як граничний випадок поліномів ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}$:

${\displaystyle H_{n}(z)={\frac {n!}{2}}\lim _{\alpha \rightarrow 0}\left(\alpha ^{-{\tfrac {n}{2}}}C_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {z}{\sqrt {\alpha }}}\right)\right).}$

• Поліноми Ґеґенбауера можна виразити через скінченний гіпергеометричний ряд:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),\qquad \alpha +{\tfrac {1}{2}}\neq -n,n\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle C_{2m}^{(\alpha )}(z)=(-1)^{m}{\frac {(\alpha )_{m}}{m!}}\,_{2}F_{1}\left(-m,\alpha +m;{\tfrac {1}{2}};x^{2}\right),\qquad C_{2m+1}^{(\alpha )}(z)=(-1)^{m}{\frac {(\alpha )_{m+1}}{m!}}\,_{2}F_{1}\left(-m,\alpha +m+1;{\tfrac {3}{2}};x^{2}\right).}$

Це співвідношення дозволяє розширити означення функції ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}$ на випадок довільного дійсного (комплесного) значення індексу ${\displaystyle n}$. Так означена функція ${\displaystyle C_{\beta }^{(\alpha )}(z)}$ називається функцією Ґеґенбауера і у випадку натурального ${\displaystyle \beta }$ збігається з поліномом Ґеґенбауера.

• Поліноми Ґеґенбауера є частковим випадком поліномів Якобі ${\displaystyle P_{n}^{(\mu ,\nu )}(z)}$ при ${\displaystyle \mu =\nu =\alpha -{\tfrac {1}{2}}}$:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\;\alpha -1/2)}(z),}$

де ${\displaystyle (\cdot )_{n}}$ — символ Похгаммера.

Твірна функція та формула Родріга

Твірна функція поліномів Ґеґенбауера :

${\displaystyle {\frac {1}{(1-2zt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(z)t^{n}.}$

Вони можуть бути виражені за допомогою (формули Родріга)

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(-2)^{n}}{n!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha )\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (2n+2\alpha )}}(1-z^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {{\rm {d}}^{n}}{{\rm {d}}z^{n}}}\left[(1-z^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}$

Рекурентні співвідношення

Для поліномів Ґеґенбауера виконується рекурентне співвідношення по індексу ${\displaystyle n}$, яке можна застосовувати для знаходження поліномів при ${\displaystyle n\geq 2}$:

${\displaystyle C_{0}^{(\alpha )}(z)=1,\quad C_{1}^{(\alpha )}(z)=2\alpha z,\quad C_{n+1}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{n+1}}[2z(n+\alpha )C_{n}^{(\alpha )}(z)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(z)].}$

Рекурентне співвідношення по індексу ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha +1)}(z)={\frac {2\alpha z^{2}+2n(z^{2}-1)+4\alpha -1}{2\alpha (z^{2}-1)}}C_{n}^{(\alpha )}(z)+{\frac {(n+2\alpha -2)(n+2\alpha -1)}{4\alpha (\alpha -1)(z^{2}-1)}}C_{n}^{(\alpha -1)}(z).}$

Інші формули:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=zC_{n}^{(\alpha )}(z)+{\frac {n+2\alpha -2}{2\alpha -2}}C_{n}^{(\alpha -1)}(z),}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(n+1)z}{n+2\alpha }}C_{n+1}^{(\alpha )}(z)-{\frac {2\alpha (z^{2}-1)}{n+2\alpha }}C_{n}^{(\alpha +1)}(z),}$

${\displaystyle n(n+2\alpha )C_{n}^{(\alpha )}(z)-2\alpha (2\alpha +1)zC_{n-1}^{(\alpha +1)}(z)-4\alpha (\alpha +1)(z^{2}-1)C_{n-2}^{(\alpha +2)}(z)=0.}$

Диференціальні властивості

Похідна полінома Ґеґенбауера виражається через поліном зі зміщеним індексом

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2\alpha C_{n-1}^{(\alpha +1)}(z)}$

або у загальному випадку

${\displaystyle {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}C_{n}^{(\alpha )}(z)=2^{m}(\alpha )_{m}C_{n-m}^{(\alpha +m)}(z).}$

Похідна від добутку на вагову функцію

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left((1-z^{2})^{\alpha -{\tfrac {1}{2}}}C_{n}^{(\alpha )}(z)\right)=-{\frac {(n+1)(n+2\alpha +1)}{2(\alpha -1)}}(1-z^{2})^{\alpha -{\tfrac {3}{2}}}C_{n+1}^{(\alpha -1)}(z).}$

Похідна полінома Ґеґенбауера по параметру ${\displaystyle \alpha }$ також може бути обчислена через поліноми за наступною формулою:

${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {2(1+(-1)^{n-k})(k+\alpha )}{(n+k+2\alpha )(n-k)}}C_{k}^{(\alpha )}(z)+\left({\frac {2(k+1)}{(k+2\alpha )(2k+2\alpha +1)}}+{\frac {2}{(n+k+2\alpha )}}\right)C_{n}^{(\alpha )}(z)\right).}$

Диференціальне рівняння

Поліноми Ґеґенбауера є частковим розв'язком диференціального рівняння, яке називають рівнянням Ґеґенбауера

${\displaystyle (1-z^{2}){\frac {{\rm {d}}^{2}y(z)}{{\rm {d}}z^{2}}}-(2\alpha +1)z{\frac {{\rm {d}}y(z)}{{\rm {d}}z}}+n(n+2\alpha )y(z)=0.}$

Загальний розв'язок вказаного рівняння зображується у вигляді

${\displaystyle y(z)=AC_{n}^{(\alpha )}(z)+B(1-z^{2})^{\frac {1-2\alpha }{4}}Q_{n+\alpha -{\tfrac {1}{2}}}^{{\tfrac {1}{2}}-\alpha }(z),}$

де ${\displaystyle Q_{\nu }^{\mu }(z)}$ — приєднана функція Лежандра другого роду, ${\displaystyle A,B}$ — довільні сталі.

Ортогональність

Зауваження. Всі співвідношення цього розділу справедливі за умови ${\displaystyle \alpha >-{\tfrac {1}{2}}}$, ${\displaystyle -1\leq z\leq 1}$.

Для заданого ${\displaystyle \alpha >-{\tfrac {1}{2}}}$ поліноми Ґеґенбауера ортогональні на відрізку [−1,1] с вагою ${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha -1/2}}$, тобто (при ${\displaystyle n\neq m}$),

${\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(z)C_{m}^{(\alpha )}(z)(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z=0,}$

причому виконується умова нормування

${\displaystyle \|C_{n}^{(\alpha )}(z)\|^{2}=\int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(z)\right]^{2}(1-z^{2})^{\alpha -1/2}\,{\rm {d}}z={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}$

Як наслідок, функції

${\displaystyle \psi _{n}^{\alpha }(z):={\frac {2^{{\tfrac {1}{2}}-\alpha }{\sqrt {\pi \Gamma (n+2\alpha )}}}{\Gamma (\alpha ){\sqrt {n!(n+\alpha )}}}}(1-z^{2})^{\frac {1-2\alpha }{4}}C_{n}^{(\alpha )}(z),\quad n=0,1,2,\ldots ,}$

утворюють ортонормований базис у просторі ${\displaystyle L^{2}[-1,1]}$. Довільна функція ${\displaystyle f(z)\in L^{2}[-1,1]}$ може бути розвинена в узагальнений ряд Фур'є по набору функцій ${\displaystyle \{\psi _{n}^{\alpha }(z)\}_{n=0}^{\infty }}$:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}\psi _{k}^{\alpha }(z),\quad f_{k}=\int _{-1}^{1}f(z)\psi _{k}^{\alpha }(z)dz.}$

Також розвинення можна будувати безпосередньо по многочленах Ґеґенбауера у ваговому просторі Лебега ${\displaystyle L_{w}^{2}[-1,1]}$:

${\displaystyle L_{w}^{2}[-1,1]:=\left\{f(z):\int _{-1}^{1}f^{2}(z)w(z)dz<\infty \right\},\quad w(z)=(1-z^{2})^{\alpha -1/2},}$

за формулами:

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}C_{k}^{(\alpha )}(z),\quad f_{k}={\tfrac {1}{N_{k}}}\int _{-1}^{1}f(z)C_{k}^{(\alpha )}(z)dz,\quad N_{k}={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (k+2\alpha )}{k!(k+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}$

Приклади розвинень

${\displaystyle \operatorname {sgn}(z)=4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{k}}{(2k+1)(2k+2\alpha +1)k!}}{\frac {C_{2k+1}^{(\alpha )}(z)}{N_{2k+1}}},}$

де ${\displaystyle \operatorname {sgn}(z)}$ — функція знаку.

${\displaystyle (1-z)^{\beta }={\frac {2^{2\alpha +\beta }}{\sqrt {\pi }}}\Gamma (\alpha )\Gamma \left(\alpha +\beta +{\tfrac {1}{2}}\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+\alpha )(-\beta )_{k}}{\Gamma (k+2\alpha +\beta +1)}}C_{k}^{(\alpha )}(z),\quad -\beta <(\alpha +1)/2,\,{\text{при}}\,\alpha >0;\quad -\beta <{\tfrac {1}{2}}+\alpha ,\,{\text{при}}\,-{\tfrac {1}{2}}<\alpha <0.}$

Двовимірні розвинення:

${\displaystyle \exp(ixy)=\Gamma (\alpha )\left({\tfrac {y}{2}}\right)^{-\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }i^{k}(k+\alpha )J_{k+\alpha }(y)C_{k}^{(\alpha )}(x),\quad \alpha >0,}$

де ${\displaystyle J_{n}(y)}$ — функція Бесселя першого роду.

${\displaystyle (1-x^{2})^{\tfrac {1-2\alpha }{4}}(1-y^{2})^{\tfrac {1-2\alpha }{4}}={\frac {\Gamma ^{2}(\alpha )}{\pi 2^{1-2\alpha }}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!(k+\alpha )}{\Gamma (k+2\alpha )}}C_{k}^{(\alpha )}(x)C_{k}^{(\alpha )}(y).}$

Представлення через суми та ряди

Поліноми Ґеґенбауера ${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)}$ можна записати у вигляді суми по степенях ${\displaystyle z}$ або ${\displaystyle \alpha }$ за відповідними формулами:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}(\alpha )_{n-k}}{k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k},}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k+n}(2z)^{n-2j}s(n-j,k)}{j!(n-2j)!}}\alpha ^{k},}$

де ${\displaystyle s(n-j,k)}$ — числа Стірлінга першого роду.

Розвиненням в ряд Тейлора в околі довільної точки ${\displaystyle z=z_{0}}$ буде скінчення сума:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {2^{k}(\alpha )_{k}}{k!}}C_{n-k}^{(\alpha +k)}(z_{0})(z-z_{0})^{k}.}$

Інтегральне представлення

Поліноми Ґеґенбауера допускають інтегральне представлення:

через інтеграл по дійсній змінній:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {2^{1-2\alpha }\pi \Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}\int _{0}^{\pi }(z+\cos t\cdot {\sqrt {z^{2}-1}})^{n}(\sin t)^{2\alpha -1}dt,}$

через контурний інтеграл:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {du}{u^{n+1}(1-2zu+u^{2})^{\alpha }}},}$

де ${\displaystyle \gamma }$ — довільний контур в комплексній області, що містить одиничний круг.

Ряд інших інтегральних тотожностей:

${\displaystyle \int C_{n}^{(\alpha )}(z)dz={\frac {1}{2(\alpha -1)}}C_{n+1}^{(\alpha -1)}(z)+C,}$

${\displaystyle \int C_{n}^{({\tfrac {3}{2}})}(z)dz=P_{n+1}(z)+C,\quad \int C_{n}^{(2)}(z)dz={\tfrac {1}{2}}U_{n+1}(z)+C,}$

${\displaystyle \int (1-z^{2})^{\alpha -{\tfrac {1}{2}}}C_{n}^{(\alpha )}(z)dz=-{\frac {2\alpha (1-z^{2})^{\alpha +{\tfrac {1}{2}}}}{n(n+2\alpha )}}C_{n-1}^{(\alpha +1)}(z)+C.}$

Асимптотична поведінка

Наведені формули характеризують поведінку поліномів Ґеґенбауера в околі різних значень параметра ${\displaystyle \alpha }$ та змінної ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {2^{n}{\sqrt {\pi }}\Gamma (\alpha +{\tfrac {1}{2}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma ({\tfrac {1-n}{2}})n!}}(1+O(z));\qquad C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {\Gamma (2\alpha +n)}{\Gamma (2\alpha )n!}}(1+O(z-1)),\quad -\alpha -{\tfrac {1}{2}}\neq \mathbb {N} ;}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {(-1)^{n}(2\alpha )_{n}}{n!}}(1+O(z+1));\qquad C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {2^{n}z^{n}(\alpha )_{n}}{n!}}\left(1+O\left({\frac {1}{z^{2}}}\right)\right);}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx C_{n}^{(0)}(z)\alpha (1+O(\alpha )),\quad n>0;\qquad C_{n}^{(\alpha )}(z)\approx {\frac {(2z)^{n}\alpha ^{n}}{n!}}\left(1+O\left({\frac {1}{\alpha }}\right)\right).}$

Нерівності та оцінки

Справедливі такі оцінки:

${\displaystyle \max _{-1\leq z\leq 1}|C_{n}^{(\alpha )}(z)|=C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}},\quad \alpha >0}$

${\displaystyle \max _{-1\leq z\leq 1}|C_{2m}^{(\alpha )}(z)|=|C_{2m}^{(\alpha )}(0)|=\left|{\frac {(\alpha )_{m}}{m!}}\right|,\quad -m<\alpha <0,\quad \alpha \neq \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle \max _{-1\leq z\leq 1}|C_{2m+1}^{(\alpha )}(z)|<{\frac {2|(\alpha )_{m+1}|}{m!{\sqrt {(2m+1)(2m+2\alpha +1)}}}},\quad -m-{\tfrac {1}{2}}<\alpha <0,\quad \alpha \neq \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle (1-z^{2})^{\alpha }|C_{n}^{(\alpha )}(z)|<\left({\frac {n}{2}}\right)^{\alpha }{\frac {1}{\Gamma (\alpha )}},\quad 0<\alpha <1,\quad z\in [-1,1].}$

При ${\displaystyle z\geq -1,\,\alpha \geq 1/4}$ справедлива наступна нерівність:

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{(\alpha )}(z)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0,\qquad {2\alpha +j-1 \choose j}={\frac {(2\alpha +j-1)(2\alpha +j-2)(2\alpha +j-3)\cdots (2\alpha )}{j(j-1)(j-2)\cdots 1}}.}$

Поліноми Ґеґенбауера від косинуса полярного кута

Поліном Ґеґенбауера від косинуса полярного кута ${\displaystyle \theta }$ може бути представлений у вигляді суми

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(\cos \theta )=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\alpha )_{k}(\alpha )_{n-k}}{k!(n-k)!}}\cos((n-2k)\theta ),}$

або через інтеграл від дійсного параметра:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(\cos \theta )={\frac {2^{\alpha }\Gamma (\alpha +{\tfrac {1}{2}})(2\alpha )_{n}}{n!\Gamma (\alpha ){\sqrt {pi}}}}\int _{0}^{\theta }{\frac {\cos((n+\alpha )\phi )}{(\cos \phi -\cos \theta )^{1-\alpha }}}d\phi .}$

Зауваження. Наведені вище формули справедливі для косинуса взагалі, без прив'язки до сферичної системи координат.

При повороті точки заданої в сферичній системі координатами ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ на кут нутації ${\displaystyle \beta }$ новий кут ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$ визначається рівністю

${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=\cos \theta \cos \beta +\sin \theta \sin \beta \cos \varphi .}$

Справедлива формула додавання:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(\cos \theta ^{\prime })=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\alpha )_{k}(n-k)!}{(\alpha +{\tfrac {1}{2}})_{k}(2k+2\alpha )_{n-k}}}\sin ^{k}\theta \,\sin ^{k}\beta \,C_{n-k}^{(\alpha +k)}(\cos \theta )\,C_{n-k}^{(\alpha +k)}(\cos \beta )\,C_{k}^{(\alpha +{\tfrac {1}{2}})}(\cos \varphi )}$

або

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}\left(xy+\gamma {\sqrt {(1-x^{2})(1-y^{2})}}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(\alpha )_{k}(n-k)!}{(\alpha +{\tfrac {1}{2}})_{k}(2k+2\alpha )_{n-k}}}(1-x^{2})^{k/2}\,(1-y^{2})^{k/2}\,C_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)\,C_{n-k}^{(\alpha +k)}(y)\,C_{k}^{(\alpha +{\tfrac {1}{2}})}(\gamma )}$

після заміни ${\displaystyle x=\cos \theta ,y=\cos \beta ,\gamma =\cos \varphi }$.

Випадок комплексного аргументу

Симетрія відносно операції комплексного спряження:

${\displaystyle C_{n}^{({\bar {\alpha }})}({\bar {z}})={\overline {C_{n}^{(\alpha )}(z)}}.}$

Якщо ${\displaystyle z=x+iy}$, де ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ — дійсні змінні (${\displaystyle \alpha }$ також дійсне), то дійсна та уявна частини поліномів Ґеґенбауера можуть бути записані в такому вигляді:

${\displaystyle {\rm {Re}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k}(\alpha )_{2k}}{(2k)!}}\;C_{n-2k}^{(2k+\alpha )}(x)\;y^{2k},}$

${\displaystyle {\rm {Im}}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x+{\rm {i}}y)\right]=\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {(-1)^{k}2^{2k+1}(\alpha )_{2k+1}}{(2k+1)!}}\;C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha +1)}(x)\;y^{2k+1}.}$

Застосування

Поліноми Ґеґенбауера природно виникають як узагальнення поліномів Лежандра у теорії потенціалу та гармонічному аналізі. А саме, ньютонівський потенціал в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ допускає такий розклад:

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ),\qquad \alpha ={\frac {n-2}{2}},\quad \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n},\quad \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}.}$

Зокрема, при ${\displaystyle n=3}$ ця формула дає розклад гравітаційного потенціалу по поліномах Лежандра.

Подібні розвинення мають місце для інтегрального ядра у формулі Пуассона для кулі (див. Stein & Weiss, 1971).

Поліноми Ґеґенбауера виникають при знаходженні власних функцій кутової частини ${\displaystyle n}$-вимірного оператора Лапласа і, відповідно, входять до виразу для багатовимірних сферичних (ультрасферичних) гармонік:

${\displaystyle Y_{l}(\Theta )=e^{im_{n-1}\theta _{n-1}}\prod _{k=1}^{n-2}\sin ^{m_{k}}(\theta _{k})C_{m_{k-1}-m_{k}}^{(m_{k}+(n-k)/2)}(\cos \theta _{k}),}$

де ${\displaystyle \Theta =(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n-1})}$ — кутові координати в ${\displaystyle n}$-вимірній сферичній системі координат,

${\displaystyle m_{1}=l,\quad l\geq m_{2}\geq m_{3}\geq \ldots \geq m_{n-1}\geq 0,\quad l=0,1,2,\ldots .}$

Також вони з'являються у імпульсному зображенні хвильової функції атома водню:

${\displaystyle \phi (p,\vartheta _{p},\varphi _{p})={\sqrt {{\frac {2}{\pi }}{\frac {(n-l-1)!}{(n+l)!}}}}n^{2}2^{2l+2}l!{\frac {n^{l}p^{l}}{(n^{2}p^{2}+1)^{l+2}}}C_{n-l-1}^{(l+1)}\left({\frac {n^{2}p^{2}-1}{n^{2}p^{2}+1}}\right)Y_{l}^{m}({\vartheta _{p},\varphi _{p}}),}$

де ${\displaystyle p}$ — одиниці ${\displaystyle \hbar /a_{0}^{*}}$, ${\displaystyle a_{0}^{*}}$ — радіус Бора атома водню, ${\displaystyle Y_{l}^{m}}$ — сферичні гармоніки.

Також поліноми Ґеґенбауера через відповідні ультрасферичні гармоніки пов'язані з представленнями спеціальної ортогональної групи ${\displaystyle SO(n)}$.

Література

• Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М. : Физматлит, 2007. — 480 с. — .
• Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представления групп. — 2-е изд., исправ. — М. : Наука, 1991. — 576 с. — .
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М. : Наука, 1974. — Т. 2. — 296 с.
• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, ^[en], (1964) Dover Publications, New York. . Див. Chapter 22 [ 19 вересня 2009 у Wayback Machine.]
• Stein, Elias; Weiss, Guido, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, (1971) Princeton, N.J.: Princeton University Press. .

Примітки

1. J.J. O'Connor and E.F. Robertson. Leopold Bernhard Gegenbauer. School of Mathematics and Statistics, University of St. Andrews, Scotland. Архів оригіналу (HTML) за 24 листопада 2012. Процитовано 06.09.2012.
2. Виленкин, 1991, с. 439.
3. Бейтмен, 1974, с. 203.
4. Gegenbauer Function [ 10 лютого 2020 у Wayback Machine.], functions.wolfram.com}}
5. Виленкин, 1991, с. 468.
6. . Архів оригіналу за 10 лютого 2020. Процитовано 18 березня 2020.
7. Виленкин, 1991.
8. Виленкин, 1991, с. 441.
9. Бейтмен, 1974, с. 209-212.
10. Бейтмен, 1974, с. 206.
11. Бейтмен, 1974, с. 177.
12. Виленкин, 1991, с. 415.

Посилання

• Gegenbauer Function [ 10 лютого 2020 у Wayback Machine.], functions.wolfram.com
• Eric W. Weisstein, Gegenbauer Polynomial [ 5 лютого 2021 у Wayback Machine.], MathWorld — mathworld.wolfram.com