Алгебра множин — розділ теорії множин, який визначає закони композиції множин, виходячи з основних властивостей операцій над ними, а також пропонує певну систематичну процедуру для обчислення теоретико-множинних рівнянь та співвідношень.[]
З точки зору абстрактної алгебри алгебра множин — це кільце K підмножин множини R, що містить R.
Властивості операцій на множинах
Бінарні операції об'єднання та перетину множин, задовольняють певним фундаментальним алгебраїчним властивостям. Далі вони наводяться без доведення.
ТВЕРДЖЕННЯ 1: Для будь-яких множин A, B, та C, виконуються такі співвідношення:
- комутативність:
- A ∪B = B ∪A
- A ∩B = B ∩A
- асоціативність:
- (A ∪B) ∪C = A ∪(B ∪C)
- (A ∩B) ∩C = A ∩(B ∩C)
- дистрибутивність операції перетину відносно об'єднання:
- A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C)
- A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C)
Як можна спостерігати з наведених співвідношень, з точки зору основних властивостей можна провести певну аналогію між операцією об'єднання множин та операцією множення чисел, операцією перетину множин та операцією додавання чисел. Ця аналогія розвивається в наступному твердженні:
ТВЕРДЖЕННЯ 2: Для будь-якої підмножини A універсальної множини U, справедливі наступні співвідношення:
- властивості нуля
- A ∪Ø = A
- A ∩CA = Ø
- властивості одиниці
- A ∩U = A
- A ∪СA = U
Тут елементи Ø та U є нейтральними елементами відносно операцій ∪ та ∩ відповідно, тобто такими, що не впливають на результат операції, аналогічно тому, як в звичайній алгебрі дійсних чисел такими елементами на операціях множення та складання є 1 та 0 відповідно. Але, на відміну від звичайного множення та складання, в алгебрі операцій перетину та об'єднання множин не існує зворотного елементу.
Наведені закони складають основу алгебри множин. Всі інші співвідношення можуть бути виведені з них безпосередньо.
Принцип дуальності
Наведені вище співвідношення демонструють цікаву закономірність. Якщо в якомусь з законів провести заміни ∪ на ∩, а також Ø на U, то він залишиться справедливим. Це фундаментальна властивість алгебри множин, яка має назву принципа дуальності.......
Додаткові співвідношення алгебри множин
ТВЕРДЖЕННЯ 3: Для будь-яких підмножин A та B універсальної множини U, справедливі наступні твердження:
- ідемпотентність:
- A ∪A = A
- A ∩A = A
- домінування:
- A ∪U = U
- A ∩Ø = Ø
- поглинання:
- A ∪(A ∩B) = A
- A ∩(A ∪B) = A
ТВЕРДЖЕННЯ 4: Нехай A та B — підмножини універсуму U, тоді:
- правила де Моргана:
- С(A∪B) = CA∩CB
- C(A∩B) = CA∪CB
- CCA = A
- CØ = U
- CU = Ø
ТВЕРДЖЕННЯ 5: Нехай A та B — підмножини універсуму U, тоді:
- однозначність доповнення:
- Якщо A ∪B = U, та A ∩B = Ø тоді B = СA.
Часткова впорядкованість
На множині X можна ввести відношення порядку ⊆, яке задовольняє наступним властивостям:
ТВЕРДЖЕННЯ 6: Якщо A, B та C — деякі множини, то:
- рефлексивність:
- A ⊆ A
- антисиметричність:
- A ⊆ B та B ⊆ A тоді й тільки тоді, якщо A = B
- транзитивність:
- If A ⊆ B та B ⊆ C тоді A ⊆ C
Це твердження говорить про те, що множина X є алгебраїчною структурою, або решіткою, і якщо вона дистрибутивна (що показано в твердженні 1) та для кожного елементу існує його доповнення, то така структура має назву булевої алгебри (таке визначення булевої алгебри не є математично строгим, докладніше дивись в статті Булева алгебра).
ТВЕРДЖЕННЯ 7: Якщо A, B та C — підмножини S, то виконується наступне:
- Ø ⊆ A ⊆ S
- A ⊆ A ∪B
- Якщо A ⊆ C та B ⊆ C то A ∪B ⊆ C
- A ∩B ⊆ A
- Якщо C ⊆ A та C ⊆ B то C ⊆ A ∩B
ТВЕРДЖЕННЯ 8: Для будь-яких множин A та B, наступні твердження еквівалентні:
- A ⊆ B
- A ∩B = A
- A ∪B = B
- A − B = Ø
- BC ⊆ AC
Алгебра доповнень
ТВЕРДЖЕННЯ 9: Для універсальної множини U та підмножин A, B, та C з U, справедливе наступне:
- C − (A ∩B) = (C − A) ∪(C − B)
- C − (A ∪B) = (C − A) ∩(C − B)
- C − (B − A) = (A ∩C) ∪(C − B)
- (B − A) ∩C = (B ∩C) − A = B ∩(C − A)
- (B − A) ∪C = (B ∪C) − (A − C)
- A − A = Ø
- Ø − A = Ø
- A − Ø = A
- B − A = AC ∩B
- (B − A)C = A ∪BC
- U − A = AC
- A − U = Ø
Див. також
Література
- Енциклопедія кібернетики, т. 1, с. 70.
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет