Кільце множин

Непорожня система множин ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ називається кільцем множин, якщо вона є замкнута щодо операцій об'єднання та перетину множин.

Тобто ${\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {R}}}$ виконується:

1. ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {R}}}$

Дана алгебраїчна структура не є алгебраїчним кільцем, а є дистрибутивною ґраткою.

Вищенаведене визначення задовільняють системи із однієї множини — сінглетони. Щоб уникнути цього, в теорії міри, кільцем множин називають непорожню систему множин, що є замкнутою відносно двох операцій:

• операцій об'єднання та різниці множин:

1. ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$

• або операцій перетину та симетричної різниці множин (при даному визначенні кільце множин є алгебраїчним кільцем):

1. ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A\triangle B\in {\mathcal {R}}}$

Обидва визначення є строгішими ніж початкове, а також еквівалентними оскільки виражаються:

• перше через друге:
  • ${\displaystyle A\cup B=(A\triangle B)\triangle (A\cap B)}$
  • ${\displaystyle A\backslash B=A\triangle (A\cap B)}$
• друге через перше:
  • ${\displaystyle \ A\cap B=A\setminus (A\setminus B)}$
  • ${\displaystyle A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$

Властивості

• ${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {R}}}$
• Виконується дистрибутивний закон:

${\displaystyle A\cap (B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)}$

Поле множин

Полем множин — називається кільце множин замкнуте відносно доповнення множин.

Поле множин ще називають алгеброю множин, хоча алгеброю множин частіше називають ту частину теорії множин, що вивчає властивості теоретико-множинних операцій.

Насправді, поле множин з точки зору абстрактної алгебри не є ні алгебраїчним полем, ні алгеброю над полем, а є булевим кільцем.

Сигма-алгебра

• Сигма-кільцем називається кільце, замкнуте відносно зліченного об'єднання елементів.
• Дельта-кільцем називається кільце, замкнуте відносно зліченного перетину елементів.

Аналогічно визначається сигма-алгебра та дельта-алгебра (до речі, довільна дельта-алгебра є сигма-алгеброю і навпаки).

Теорема Стоуна

Докладніше: Теорема Стоуна про представлення булевих алгебр

• Ґратка є дистрибутивною тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому кільцю множин.
• Ґратка є булевою алгеброю тоді і тільки тоді, коли вона ізоморфна деякому полю множин.

Див. також

• Алгебра (теорія множин)
• Сигма-алгебра

Джерела

• Кільце множин на PlanetMath [ 30 вересня 2007 у Wayback Machine.]