Нільрадикал

У комутативній алгебрі, нільрадікал комутативного кільця — (ідеал), що складається з усіх його (нільпотентних елементів). Формально для кільця A його нільрадикал рівний:

${\displaystyle {\text{Nil}}(A):=\{x\in A\,|\,\exists n\in \mathbb {N} ^{*},\;x^{n}=0_{A}\}.}$

Іншими словами — нільрадикал є (радикалом) нульового ідеалу (0).

Також існує кілька варіантів узагальнення цього визначення для некомутативних кілець.

Властивості

• Нільрадикал дійсно є ідеалом, тому що сума двох нільпотентних елементів є нільпотентним елементом і також добуток добуток нільпотентного елемента на довільний елемент є нільпотентним елементом. Детальніше у статті (Нільпотентний елемент).
• Нільрадикал рівний перетину всіх (простих ідеалів) кільця. Це є частковим випадком твердження про те, що довільний радикал ідеалу є рівним перетину простих ідеалів, що містять даний ідеал. Детальніше у статті (Простий ідеал).
• Якщо A — довільне комутативне кільце, то фактор-кільце по його нільрадикалу не містить ненульових нільпотентних елементів.
• Кільце A складається лише з нільпотентних і оборотних елементів тоді і тільки тоді коли фактор-кільце по нільрадикалу є полем. У цьому випадку кільце має єдиний простий ідеал, що, очевидно, рівний нільрадикалу.
• Кожен максимальний ідеал є простим, тому радикал Джекобсона — перетин всіх максимальних ідеалів — містить нільрадикал. У разі якщо кільце є вони збігаються, при цьому нільрадикал можна описати як максимальний (нільпотентний ідеал).
• Якщо нільрадикал є (наприклад для нетерівських кілець), то він є нільпотентним.

Приклади

• Будь-яка область цілісності, зокрема кільця цілих чисел, многочленів над довільним полем не має нільпотентних елементів, тож їх нільрадикал рівний (0).
• У кільці многочленів від змінних X₁, …, X_n з коефіцієнтами з деякого кільця A нільрадикал рівний множині тих многочленів всі коефіцієнти яких є нільпотентними елементами в кільці ${\displaystyle A}$.
• У кільці Z₈ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} лишків за модулем 8 єдиним простим ідеалом є {0, 2, 4, 6}. Він є нільрадикалом оскільки у Z₈ маємо 2³ = 0, 4² = 0 i 6³ = 0.
• У кільці Z₃₆ простими ідеалами є (головні ідеали), що генеруються елементами 2 і 3. Їх перетин рівний головному ідеалу (6) = {0, 6, 12, 18, 24}, який і є нільрадикалом. Ідеал (6) не є простим, бо не містить ні 2 ні 3 але їх добуток 6 належить ідеалу.
• У кільці Z₁₈₀ простими ідеалами є (2), (3) і (5), а нільрадикалом є ідеал (30).

Некомутативні кільця

У некомутативними випадку можна виділити три способи узагальнення поняття нільрадікала. Нижній нільрадікал некомутативного кільця визначається як перетин всіх простих ідеалів. Верхній нільрадікал — ідеал, породжений усіма (ніль-ідеалами) (тобто ідеалами, кожен елемент яких є нільпотентним). Радикал Левицького за розміром знаходиться між ними, і визначається як максимальний локально нільпотентний ідеал. Якщо кільце є нетеровим, всі три визначення збігаються.

Див. також

• (Нільпотентний елемент)
• (Простий елемент)
• (Радикал (теорія кілець))

Література

• Атья М., Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
• David Eisenbud, «Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry», Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, .
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (вид. 2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 1838439