Ніль-ідеал

У теорії кілець, лівий, правий або двосторонній ідеал I кільця R називається ніль-ідеалом якщо всі його елементи нільпотентними, тобто для кожного ${\displaystyle a\in I}$ існує натуральне число n для якого ${\displaystyle a^{n}=0.}$ Якщо всі елементи кільця є нільпотентними (це можливо лише для кілець без одиниці), то кільце називають ніль-кільцем.

Приклади

• Будь-який нільпотентний ідеал є ніль-ідеалом.
• Якщо a є нільпотентним елементом комутативного кільця, то головний ідеал (a) є ніль-ідеалом. Для некомутативних кілець у загальному випадку це не так.
• Нільрадикал комутативного кільця є прикладом ніль-ідеалу. Він є максимальним ніль-ідеалом комутативного кільця і будь-який ідеал є ніль-ідеалом тоді і тільки тоді, коли він є підмножиною нільрадикалу. Натомість для некомутативних кілець множина нільпотентних елементів може не бути ідеалом.
• Перетин простих двосторонніх ідеалів кільця (простий радикал або радикал Бера) є ніль-ідеалом.
• Простий радикал кільця ${\displaystyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} /2^{n}\mathbb {Z} }$ є ніль-ідеалом але не є нільпотентним ідеалом. Вказане кільце є комутативним тому простий радикал для нього є нільрадикалом і є множиною всіх нільпотентних елементів. Зокрема усі ${\displaystyle x_{n},}$ де в ${\displaystyle x_{n}}$ усі елементи добутку є рівними 0 окрім 2 на позиції n є нільпотентними (оскільки ${\displaystyle x_{n}^{n}=0}$ ) і належать нільрадикалу. Проте цей ідеал не є нільпотентним оскільки для довільного натурального n виконується ${\displaystyle x_{k}^{n}\neq 0,\ \forall k>n.}$

Властивості

• Нехай ${\displaystyle A\subset B}$ — двосторонні ідеали кільця R. Якщо A є ніль-ідеалом кільця R, а B/A є ніль-ідеалом кільця R/A, то B є ніль-ідеалом кільця R.

Візьмемо довільний елемент ${\displaystyle x\in B.}$ Оскільки B/A є ніль-ідеалом, то існує натуральне число n для якого ${\displaystyle x^{n}\in A.}$ Але A є ніль-ідеалом, тож існує натуральне число m для якого ${\displaystyle x^{nm}=(x^{n})^{m}=0.}$ Тому x є нільпотентним елементом.

• Сума довільної сім'ї ніль-ідеалів є ніль-ідеалом.

Кожен елемент такої суми є сумою скінченної кількості елементів, тож достатньо довести твердження для скінченної кількості доданків і за індукцією лише для двох доданків. Нехай A і B — двосторонні ніль-ідеали. Тоді ${\displaystyle (A+B)/A\simeq A/(A\cap B).}$ Ідеал ${\displaystyle A/(A\cap B)}$ є очевидно ніль-ідеалом, тому і ${\displaystyle (A+B)/A}$ є ніль-ідеалом. Зважаючи, що за умовою A є ніль-ідеалом, то з попередньої властивості випливає, що і сума A і B є ніль-ідеалом.

• З попередньої властивості випливає, що сума усіх ніль-ідеалів кільця є максимальним ніль-ідеалом. Він називається верхнім нільрадикалом кільця.
• Не відомо чи є сума двох односторонніх ніль-ідеалів ніль-ідеалом. Дане твердження називається гіпотезою Кете.
• Довільний односторонній ніль-ідеал є підмножиною радикала Джекобсона.

Розглянемо доведення для кілець з одиницею. Якщо ${\displaystyle r\in R}$ — нільпотентний елемент, то 1 -r є оборотним. Справді, якщо ${\displaystyle r^{n}=0}$ то ${\displaystyle (1-r)(1+r+\ldots +r^{n-1})=1.}$

Якщо I є правим ніль-ідеалом, то для усіх ${\displaystyle i\in I,r\in R}$ елемент ${\displaystyle ir\in I}$ є нільпотентним і тому ${\displaystyle 1-ir}$ є оборотним. Тому i належить радикалу Джекобсона. Для лівих ідеалів доведення аналогічне.

• Для будь-якого правого кільця Артіна довільний ніль-ідеал є нільпотентним ідеалом.

Ця властивість є наслідком попередньої і того факту, що для артинових кілець радикал Джекобсона є нільпотентним. Для простоти припустимо, що в кільці є одиничний елемент. Із властивості обриву спадних послідовностей, послідовність степенів радикала Джекобсона стабілізується. Нехай всі достатньо великі степені радикала Джекобсона рівні A. Припустимо, що ${\displaystyle A=A^{2}\neq 0.}$ Із властивості Артіна випливає, що існує мінімальний правий ідеал L для якого ${\displaystyle LA=\neq 0}$ і відповідно ${\displaystyle \lambda \in L}$ для якого ${\displaystyle \lambda A\neq 0.}$ Правий ідеал ${\displaystyle \lambda A}$ задовольняє властивості ${\displaystyle (\lambda A)A=\lambda A\neq 0}$ і ${\displaystyle \lambda A\subset L.}$ Із мінімальності L випливає, що ${\displaystyle \lambda A=L.}$ Зокрема для деякого ${\displaystyle a\in A}$ маємо ${\displaystyle \lambda a=\lambda .}$ Але A є підмножиною радикала Джекобсона і тому a -1 є оборотним елементом. Тож ${\displaystyle \lambda =0,}$ що призводить до суперечності. Тому A, який є степенем радикала Джекобсона є нульовим ідеалом, що завершує доведення.

• Теорема Левицького: для правого нетерового кільця будь-який (одно- чи двосторонній) ніль-ідеал є нільпотентним.

Див. також

• Нільпотентний елемент
• Нільпотентний ідеал
• Нільрадикал
• Радикал Джекобсона
• Теорема Левицького

Література

• Херштейн И.Н., Некоммутативные кольца, М.: Мир, 1972
• Beachy, John A. (1999), Introductory Lectures on Rings and Modules, London Mathematical Society Student Texts, т. 47, Cambridge University Press, ISBN .
• John Dauns (1994), Modules and rings, Cambridge University Press, ISBN 
• Goodearl, K. R.; Warfield, Robert B. (1989), An introduction to noncommutative noetherian rings, Cambridge University Press, ISBN .
• Michiel Hazewinkel; Nadiya Gubareni; Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni; Vladimir V. Kirichenko. (2004), Algebras, rings and modules, т. Vol. 1, Kluwer Academic Publishers, ISBN