Многовид Ілса — Кейпера

Многовидом Ілса — Кейпера називається компактифікація евклідового простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ сферою ${\displaystyle S^{\frac {n}{2}}}$, де n = 2, 4, 8, та 16.

• n = 2: многовид Ілса — Кейпера дифеоморфний дійсній проективній площині ${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$.

Для ${\displaystyle n\geq 4}$ він є однозв'язним і має когомологічну структуру

• ${\displaystyle n=4}$: комплексної проективної площини ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$,
• ${\displaystyle n=8}$: кватерніонної проективної площини ${\displaystyle \mathbb {H} P^{2}}$,
• n = 16: проективної площини Келі ${\displaystyle \mathbb {O} P^{2}}$.

Многовиди Ілса — Кейпера грають важливу роль у теорії Морса і в теорії шарувань.

Властивості

• Теорема Ілса — Кейпера. Нехай ${\displaystyle M}$ зв'язний замкнутий многовид розмірності ${\displaystyle n}$ (не обов'язково орієнтовний). Припустимо, на ${\displaystyle M}$ існує функція Морса ${\displaystyle f:M\to R}$ класа гладкості ${\displaystyle C^{3}}$, що має рівно три критичні точки. Тоді ${\displaystyle n=}$2, 4, 8 або 16 і ${\displaystyle M}$ є многовидом Ілса — Кейпера.

• Теорема: Нехай ${\displaystyle M^{n}}$ компактний зв'язний многовид, на якому задано (морсовське шарування) ${\displaystyle F}$. Припустимо, що число ${\displaystyle c}$ (центрів) шарування ${\displaystyle F}$ більше числа (сідлових точок) ${\displaystyle s}$. Тоді існує рівно дві можливості:
  • ${\displaystyle c=s+2}$, у цьому випадку ${\displaystyle M^{n}}$ гомеоморфно сфері ${\displaystyle S^{n}}$,
  • ${\displaystyle c=s+1}$, у цьому випадку ${\displaystyle M^{n}}$ є многовидом Ілса — Кейпера, причому ${\displaystyle n=2,4,8}$ і ${\displaystyle 16}$.

Див. також

• Теорема Ріба про сферу
• Теорія Морса

Примітки

1. J. Eells, N. Kuiper, Manifolds which are like projective planes — Pub. I.H.E.S., 14 , 1962, pp. 5-46. [1] [ 1 березня 2012 у Wayback Machine.]
2. C. Camacho, B. Scardua, On foliations with Morse singularities. — Proc. Amer. Math. Soc., 136, 2008, pp. 4065-4073[2]