Функція Морса

Функція Морса — гладка функція на многовиді, що має невироджені критичні точки.

Функції Морса виникають і використовуються в теорії Морса, одному з основних інструментів диференціальної топології.

Означення

Нехай ${\displaystyle W}$ ― гладкий многовид, межа якого ${\displaystyle \partial W}$ є диз'юнктним об'єднанням (можливо, порожніх) многовидів ${\displaystyle F_{0}}$ і ${\displaystyle F_{1}}$. Функція Морса тріади ${\displaystyle (W;F_{0},F_{1})}$ ― така гладка класу ${\displaystyle C^{2}}$ функція ${\displaystyle f:W\to [a,b]}$, ${\displaystyle -\infty <a,b<+\infty }$ (або ${\displaystyle f:W\to [a,\infty ]}$) або ${\displaystyle F_{1}=\emptyset }$, що:

1. ${\displaystyle F_{0}=f^{-1}(a),F_{1}=f^{-1}(b)}$
2. всі критичні точки функції ${\displaystyle f}$ лежать в ${\displaystyle W\backslash \partial W=f^{-1}(a,b)}$ і невироджені;

Джерела

• Milnor, John (1965). Lectures on the – scans available here
• Morse, Marston (1934). "The Calculus of Variations in the Large", American Mathematical Society Colloquium Publication 18; New York.