Комплексною амплітудою у фізиці та інженерії називають комплексне число, що представляє собою синусоїду, чиї амплітуда (A), кутова частота (ω) та початкова фаза () є незмінними у часі (англ. time-invariant). За межами пострадянського простору найпоширеніший термін фазовий вектор або фазор (англ. phasor), слово, що створене методом телескопії зі слів фаза та вектор. Своїй ідеї використання фазового вектора завдячує більш загальному представленню аналітичного сигналу, яким синусоїда розкладається на результат множення комплексної константи та коефіцієнту, що включає в себе частоту та залежність від часу. Комплексна константа відома у літературі під назвами фазор, комплексна амплітуда, та, у старіших текстах, синор (англ. sinor) чи комплексор (англ. complexor).
Звичайною ситуацією для електричних мереж є наявність кількох синусоїд з однаковою частотою але різною амплітудою та фазою. Єдиною різницею при аналітичному представленні є їх комплексна амплітуда або фазор. Лінійна комбінація таких функцій може бути перетворена у результат лінійної комбінації комплексних амплітуд (відома як арифметика фазорів англ. phasor arithmetic) та коефіцієнтів залежності від часу та частоти, що є спільними для них всіх.
Термін фазор виник на основі коректного припущення, що дії з комплексними амплітудами чимось подібні до дій з векторами .. Важливою особливістю використання комплексних амплітуд є те, що визначення похідної та інтегралу сигналу у формі синусоїди (з сталими амплітудою, періодом та фазою) відповідають простим арифметичним операціям над комплексними амплітудами. Таким чином перехід до комплексних амплітуд дозволяє виконувати аналіз режимів роботи електричних мереж, або іншими словами — розрахунки сталих режимів коливних контурів змінного струму, розв'язанням систем алгебраїчних рівнянь (хоча і з комплексними коефіцієнтами) в області комплексних амплітуд у порівнянні з розв'язанням системи диференціальних рівнянь в часовій області. Винахідником такого перетворення був Чарльз Протеус Штейнмец, що працював у кінці 19 сторіччя у компанії General Electric.
Якщо не звертати увагу на певні математичні тонкощі, то можна сказати, що перетворення комплексних амплітуд є окремим випадком перетворення Лапласа, що додатково може використовуватись для визначення перехідного процесу, що відбувається у коливному колі. Однак власне перетворення Лапласа математично важче застосовувати та це може бути недоречним, якщо мова іде виключно про аналіз сталого режиму.
Визначення
Формула Ейлера каже, що синусоїда може бути представлена математично як сума двох функцій з комплексними складовими:
або як дійсне число однієї з функцій:
Функція є аналітичним представленням Рисунок 2 показує вектор, що обертається, на комплексній площині. Інколи зручно до всіє функції звертатись, як до комплексної амплітуди, як і буде використано далі у статті. Хоча зазвичай під поняттям комплексної амплітуди мають на увазі лише статичний вектор, Ще більш компактне представлення комплексної амплітуди — це використання кутового представлення (англ. angle notation): у порівнянні з векторним представленням (англ. vector notation).
Арифметика комплексної амплітуди
Множення на скалярну величину
В результаті множення комплексної амплітуди на комплексне число дає іншу комплексну амплітуду. Це означає, що змін зазнає амплітуда та фаза синусоїди, що писана цією комплексною амплітудою:
В електроніці представляє комплексний опір, що є незалежним від часу. Зокрема він не є спрощеним записом іншої комплексної амплітуди. Множення комплексної амплітуди струму на опір дає комплексну амплітуду напруги, але множення між собою двох комплексних амплітуд або зведення до квадрату, що є операцією множення двох синусоїд — це виконання нелінійної операції, що утворює компоненти з новою частотою. Представлення у комплексних амплітудах може застосовуватись лише для систем з однією частотою.
Диференціювання та інтегрування
Похідна за часом чи інтеграл від комплексної амплітуди дасть іншу комплексну амплітуду. Наприклад:
Таким чином у представленні комплексними амплітудами похідна за часом синусоїди є простим множенням на константу
Подібно до похідної, інтеграл від комплексної амплітуди відповідає множенню на Залежний від часу коефіцієнт, , на зазнає впливу.
Коли ми вирішуємо лінійне диференціальне рівняння у арифметиці комплексних амплітуд ми, фактично, виносимо коефіцієнт за межі рівнянь та повертаємо його до відповіді. Наприклад, розглянемо таке рівняння напруги на конденсаторі в RC-колі:
Якщо джерело напруги в колі дає синусоїду:
можна підставити:
де комплексні амплітуди та невідомі, які необхідно визначити.
У спрощеному представлені комплексних амплітуд диференціальне рівняння спрощується до:
Вирішуючи для комплексної амплітуди напруги на конденсаторі:
Як ми веж бачили, коефіцієнт представляє різницю амплітуди та фази по відношенню до та
У полярних координатах:
Таким чином:
Додавання
Сума кількох комплексних амплітуд є ще однією комплексною амплітудою. Це виходить тому, що сума синусоїд однієї частоти є також синусоїдою тієї ж частоти:
де:
чи, за теоремою косинусів на комплексній площині (чи (тригонометричних тотожностей для різниці кутів))
де . Головним є те, що 3 та θ3 не залежать від ω чи t і це уможливлює представлення у вигляді комплексних амплітуд. Час та частота можуть бути викинуті з розгляду та введені назад після виконання дій якщо проведені операції були виключно такі, що утворювали інші комплексні амплітуди. У кутовому представленні операції вище виглядають як:
Інший спосіб представлення суми двох векторів з координатами [A1 cos(ωt + θ1), A1 sin(ωt + θ1)] та [A2 cos(ωt + θ2), A2 sin(ωt + θ2)] є додавання векторів для отримання результуючого вектора з координатами [A3 cos(ωt + θ3), A3 sin(ωt + θ3)].
У фізиці таке додавання відбувається, коли синусоїди взаємодіють між собою у фазі або у протифазі. Концепція статичних векторів надає необхідну інформацію для відповіді на питання на кшталт: «Яка різниця у фазі між трьома ідеальними синусоїдами потрібна для отримання ідеальної протифази?» У цьому випадку просто візьміть три вектори однакової довжини та розташуйте їх, сумістивши їх початки та кінці таким чином, що кінець останнього вектора має ті ж координати, що і початок першого. Очевидно, що цій умові відповідає рівносторонній трикутник з кутами між сусідніми векторами 120° (2π/3 радіан) або одна третя довжини хвиліλ/3. Тож різниця фаз має бути також 120°, як у випадку трифазної системи електропостачання.
Іншими словами:
У прикладі з трьома хвилями різниця у фазі між першою та останньою хвилями була 240 градусів, в той час як протифаза для двох хвиль відбувається при 180 градусах. За умови математичного наближення до великої кількості хвиль протифаза виникне за умови, якщо остання комплексна амплітуда є майже паралельною до першої. Це означає, що для великої кількості джерел протифаза виникає за умови різниці між першою та останньою хвилями у 360 градусів, тобто повної довжини хвилі . Саме тому виникають області дифракції з мінімальним освітленням, коли світло з віддаленого джерела подорожує на довжину хвилі довше, ніж від ближчого джерела.
Діаграма комплексних амплітуд
Інженери у галузях електротехніки, енергетики, електроніки та авіації використовують діаграми комплексних амплітуд (англ. phasor diagrams) для візуалізації комплексних сталих та змінних. Як і вектори, направлені стрілки на папері або у комп'ютерних програмах представляють комплексні амплітуди. Декартова та полярна системи координат має кожна свої переваги, перша краще показує дійсну та уявні складові, в той час як друга — розмір та фазу векторів.
Застосування
Розрахунок електричних кіл
З використанням комплексних амплітуди можливе застосування методів для розрахунку кіл постіного струму для кіл зі змінним струмом. Перелік основних правил наведено нижче:
- Закон Ома для резисторів — резистор не має затримок у часі та не змінює фазу сигналу, тому вираз V=IR діє і тут.
- Закон Ома для резисторів, котушок індуктивностей та конденсаторів — V = IZ, де Z — повний опір
- В колі змінного струму потужність має дві складові — активну (P), що є представленням споживання підключеного корисного навантаження, та реактивна (Q), що є споживаною та повернутою потужністю реактивними компонентами протягом одного циклу. Можна визначити повну потужність S = P + jQ, що має амплітуду S. Закон потужності, виражений у комплексних амплітудах, буде S = VI* (де I* — це спряжене значення струму I, та I з V — діючі значення напруги та струму).
- Правила Кірхгофа діють для комплексних амплітуд у комплексній формі.
Враховуючи вищезазначене ми можемо застосувати методи аналізу електричних кіл з комплексними амплітудами для аналізу електричних кіл змінного струму з резисторами, котушками індуктивності та конденсаторами. Кола з кількома частотами можуть бути проаналізовані шляхом перетворення всіх форм хвиль до компонентів синусоїдної форми та вирішення окремих задач, кожна з яких має власну частоту, відповідно до принципу суперпозиції
Енергетика
Зазвичай, при аналізі трифазної енергосистеми, набір комплексних амплітуд обирається, як три середньоквадратичних одиниці. Що графічно представляються як амплітуди з кутами 0, 120 та 240 градусів. Для спрощення розрахунків можна розглядати багатофазну систему комплексних амплітуд, як збалансовану або, за умови незбалансованості, представити її як систему лінійних збалансованих рівнянь. Такий підхід значно знижує вимоги до складності розрахунків падіння напруги, перетоків потужності та струмів короткого замикання. У контексті аналізу енергосистем фаза представляється у вигляді градуса, а амплітуди — у вигляді середньоквадратичних, а не пікових амплітудних значень синусоїди.
Технологія синхрофазора використовується у цифрових вимірювальних пристроях для визначення напруги в електричних системах у географічно віддалених ділянках. Різниця між комплексними амплітудами показує перетоки потужності та допомагає визначати загрози для стабільності системи.
Див. також
Виноски
-
- i - уявна одиниця ().
- В електротехніці, через використання літери i для позначення миттєвого значення струму, вісь уявних чисел позначається через j.
- Частота хвилі в герцах, визначається як .
- Це виходить з що означає, що комплексна ступенева функція є власною функцією при операції диференціювання.
- Доказ:
-
(
)
Оскільки так має бути для всіх , зокрема: виходить:
-
(
)
Також видно, що:
Підставляючи в Eq.1 та Eq.2, перемножаючи Eq.2 на да оддоаючи рівняння одне до одного:
-
Примітки
- Huw Fox; William Bolton (2002). Mathematics for Engineers and Technologists. Butterworth-Heinemann. с. 30. ISBN .
- Clay Rawlins (2000). Basic AC Circuits (вид. 2nd). Newnes. с. 124. ISBN .
- Bracewell, Ron. The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill, 1965. p269
- K. S. Suresh Kumar (2008). Electric Circuits and Networks. Pearson Education India. с. 272. ISBN .
- Kequian Zhang; Dejie Li (2007). Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics (вид. 2nd). Springer Science & Business Media. с. 13. ISBN .
- J. Hindmarsh (1984). Electrical Machines & their Applications (вид. 4th). Elsevier. с. 58. ISBN .
- William J. Eccles (2011). Pragmatic Electrical Engineering: Fundamentals. Morgan & Claypool Publishers. с. 51. ISBN .
- Richard C. Dorf; James A. Svoboda (2010). Introduction to Electric Circuits (вид. 8th). John Wiley & Sons. с. 661. ISBN .
- Allan H. Robbins; Wilhelm Miller (2012). Circuit Analysis: Theory and Practice (вид. 5th). Cengage Learning. с. 536. ISBN .
- Won Y. Yang; Seung C. Lee (2008). Circuit Systems with MATLAB and PSpice. John Wiley & Sons. с. 256—261. ISBN .
- Singh, Ravish R (2009). Section 4.5: Phasor Representation of Alternating Quantities. Electrical Networks. Mcgraw Hill Higher Education. с. 4.13. ISBN .
Література
Посилання
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Комплексна амплітуда |
- Phasor Phactory [ 20 Квітня 2008 у Wayback Machine.]
- Візуальне представлення фазорів [ 9 Вересня 2010 у Wayback Machine.]
- Полярна та прямокутні системи координат [ 27 Лютого 2010 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kompleksnoyu amplitudoyu u fizici ta inzheneriyi nazivayut kompleksne chislo sho predstavlyaye soboyu sinusoyidu chiyi amplituda A kutova chastota w ta pochatkova faza 8 displaystyle theta ye nezminnimi u chasi angl time invariant Za mezhami postradyanskogo prostoru najposhirenishij termin fazovij vektor abo fazor angl phasor slovo sho stvorene metodom teleskopiyi zi sliv faza ta vektor Svoyij ideyi vikoristannya fazovogo vektora zavdyachuye bilsh zagalnomu predstavlennyu analitichnogo signalu yakim sinusoyida rozkladayetsya na rezultat mnozhennya kompleksnoyi konstanti ta koeficiyentu sho vklyuchaye v sebe chastotu ta zalezhnist vid chasu Kompleksna konstanta vidoma u literaturi pid nazvami fazor kompleksna amplituda ta u starishih tekstah sinor angl sinor chi kompleksor angl complexor Priklad poslidovnogo kolivalnogo konturu ta vidpovidnoyi vektornoyi diagrami dlya pevnoyi chastoti Zvichajnoyu situaciyeyu dlya elektrichnih merezh ye nayavnist kilkoh sinusoyid z odnakovoyu chastotoyu ale riznoyu amplitudoyu ta fazoyu Yedinoyu rizniceyu pri analitichnomu predstavlenni ye yih kompleksna amplituda abo fazor Linijna kombinaciya takih funkcij mozhe buti peretvorena u rezultat linijnoyi kombinaciyi kompleksnih amplitud vidoma yak arifmetika fazoriv angl phasor arithmetic ta koeficiyentiv zalezhnosti vid chasu ta chastoti sho ye spilnimi dlya nih vsih Termin fazor vinik na osnovi korektnogo pripushennya sho diyi z kompleksnimi amplitudami chimos podibni do dij z vektorami Vazhlivoyu osoblivistyu vikoristannya kompleksnih amplitud ye te sho viznachennya pohidnoyi ta integralu signalu u formi sinusoyidi z stalimi amplitudoyu periodom ta fazoyu vidpovidayut prostim arifmetichnim operaciyam nad kompleksnimi amplitudami Takim chinom perehid do kompleksnih amplitud dozvolyaye vikonuvati analiz rezhimiv roboti elektrichnih merezh abo inshimi slovami rozrahunki stalih rezhimiv kolivnih konturiv zminnogo strumu rozv yazannyam sistem algebrayichnih rivnyan hocha i z kompleksnimi koeficiyentami v oblasti kompleksnih amplitud u porivnyanni z rozv yazannyam sistemi diferencialnih rivnyan v chasovij oblasti Vinahidnikom takogo peretvorennya buv Charlz Proteus Shtejnmec sho pracyuvav u kinci 19 storichchya u kompaniyi General Electric Yaksho ne zvertati uvagu na pevni matematichni tonkoshi to mozhna skazati sho peretvorennya kompleksnih amplitud ye okremim vipadkom peretvorennya Laplasa sho dodatkovo mozhe vikoristovuvatis dlya viznachennya perehidnogo procesu sho vidbuvayetsya u kolivnomu koli Odnak vlasne peretvorennya Laplasa matematichno vazhche zastosovuvati ta ce mozhe buti nedorechnim yaksho mova ide viklyuchno pro analiz stalogo rezhimu Ris 2 Koli funkciya A e i w t 8 displaystyle scriptstyle A cdot e i omega t theta predstavlena na kompleksnij ploshini vektor sho utvorenij dijsnoyu ta uyavnoyu jogo chastinoyu obertayetsya navkolo vihidnoyi tochki Jogo amplituda poznachena cherez A odin obert zdijsnyuyetsya za 2p w sekund 8 ce kut sho formuye vektor do osi realnih chisel v t n 2p w dlya cilih n ViznachennyaFormula Ejlera kazhe sho sinusoyida mozhe buti predstavlena matematichno yak suma dvoh funkcij z kompleksnimi skladovimi A cos w t 8 A e i w t 8 e i w t 8 2 displaystyle A cdot cos omega t theta A cdot frac e i omega t theta e i omega t theta 2 abo yak dijsne chislo odniyeyi z funkcij A cos w t 8 Re A e i w t 8 Re A e i 8 e i w t displaystyle begin aligned A cdot cos omega t theta operatorname Re A cdot e i omega t theta operatorname Re Ae i theta cdot e i omega t end aligned Funkciya A e i w t 8 displaystyle A cdot e i omega t theta ye analitichnim predstavlennyam A cos w t 8 displaystyle A cdot cos omega t theta Risunok 2 pokazuye vektor sho obertayetsya na kompleksnij ploshini Inkoli zruchno do vsiye funkciyi zvertatis yak do kompleksnoyi amplitudi yak i bude vikoristano dali u statti Hocha zazvichaj pid ponyattyam kompleksnoyi amplitudi mayut na uvazi lishe statichnij vektor A e i 8 displaystyle Ae i theta She bilsh kompaktne predstavlennya kompleksnoyi amplitudi ce vikoristannya kutovogo predstavlennya angl angle notation A 8 displaystyle A angle theta u porivnyanni z vektornim predstavlennyam angl vector notation Arifmetika kompleksnoyi amplitudiMnozhennya na skalyarnu velichinu V rezultati mnozhennya kompleksnoyi amplitudi A e i 8 e i w t displaystyle Ae i theta e i omega t na kompleksne chislo B e i ϕ displaystyle Be i phi daye inshu kompleksnu amplitudu Ce oznachaye sho zmin zaznaye amplituda ta faza sinusoyidi sho pisana ciyeyu kompleksnoyu amplitudoyu Re A e i 8 B e i ϕ e i w t Re A B e i 8 ϕ e i w t A B cos w t 8 ϕ displaystyle begin aligned operatorname Re Ae i theta cdot Be i phi cdot e i omega t amp operatorname Re ABe i theta phi cdot e i omega t amp AB cos omega t theta phi end aligned V elektronici B e i ϕ displaystyle Be i phi predstavlyaye kompleksnij opir sho ye nezalezhnim vid chasu Zokrema vin ne ye sproshenim zapisom inshoyi kompleksnoyi amplitudi Mnozhennya kompleksnoyi amplitudi strumu na opir daye kompleksnu amplitudu naprugi ale mnozhennya mizh soboyu dvoh kompleksnih amplitud abo zvedennya do kvadratu sho ye operaciyeyu mnozhennya dvoh sinusoyid ce vikonannya nelinijnoyi operaciyi sho utvoryuye komponenti z novoyu chastotoyu Predstavlennya u kompleksnih amplitudah mozhe zastosovuvatis lishe dlya sistem z odniyeyu chastotoyu Diferenciyuvannya ta integruvannya Pohidna za chasom chi integral vid kompleksnoyi amplitudi dast inshu kompleksnu amplitudu Napriklad Re d d t A e i 8 e i w t Re A e i 8 i w e i w t Re A e i 8 e i p 2 w e i w t Re w A e i 8 p 2 e i w t w A cos w t 8 p 2 displaystyle begin aligned operatorname Re left frac d dt Ae i theta cdot e i omega t right operatorname Re Ae i theta cdot i omega e i omega t operatorname Re Ae i theta cdot e i pi 2 omega e i omega t operatorname Re omega Ae i theta pi 2 cdot e i omega t omega A cdot cos omega t theta pi 2 end aligned Takim chinom u predstavlenni kompleksnimi amplitudami pohidna za chasom sinusoyidi ye prostim mnozhennyam na konstantu i w e i p 2 w displaystyle i omega e i pi 2 cdot omega Podibno do pohidnoyi integral vid kompleksnoyi amplitudi vidpovidaye mnozhennyu na 1 i w e i p 2 w displaystyle frac 1 i omega frac e i pi 2 omega Zalezhnij vid chasu koeficiyent e i w t displaystyle e i omega t na zaznaye vplivu Koli mi virishuyemo linijne diferencialne rivnyannya u arifmetici kompleksnih amplitud mi faktichno vinosimo koeficiyent e i w t displaystyle e i omega t za mezhi rivnyan ta povertayemo jogo do vidpovidi Napriklad rozglyanemo take rivnyannya naprugi na kondensatori v RC koli d v C t d t 1 R C v C t 1 R C v S t displaystyle frac d v C t dt frac 1 RC v C t frac 1 RC v S t Yaksho dzherelo naprugi v koli daye sinusoyidu v S t V P cos w t 8 displaystyle v S t V P cdot cos omega t theta mozhna pidstaviti v S t Re V s e i w t displaystyle begin aligned v S t amp operatorname Re V s cdot e i omega t end aligned v C t Re V c e i w t displaystyle v C t operatorname Re V c cdot e i omega t de kompleksni amplitudi V s V P e i 8 displaystyle V s V P e i theta ta V c displaystyle V c nevidomi yaki neobhidno viznachiti U sproshenomu predstavleni kompleksnih amplitud diferencialne rivnyannya sproshuyetsya do i w V c 1 R C V c 1 R C V s displaystyle i omega V c frac 1 RC V c frac 1 RC V s Virishuyuchi dlya kompleksnoyi amplitudi naprugi na kondensatori V c 1 1 i w R C V s 1 i w R C 1 w R C 2 V P e i 8 displaystyle V c frac 1 1 i omega RC cdot V s frac 1 i omega RC 1 omega RC 2 cdot V P e i theta Yak mi vezh bachili koeficiyent V s displaystyle V s predstavlyaye riznicyu amplitudi ta fazi v C t displaystyle v C t po vidnoshennyu do V P displaystyle V P ta 8 displaystyle theta U polyarnih koordinatah 1 1 w R C 2 e i ϕ w where ϕ w arctan w R C displaystyle frac 1 sqrt 1 omega RC 2 cdot e i phi omega text where phi omega arctan omega RC Takim chinom v C t 1 1 w R C 2 V P cos w t 8 ϕ w displaystyle v C t frac 1 sqrt 1 omega RC 2 cdot V P cos omega t theta phi omega Dodavannya Suma kompleksnih amplitud u viglyadi sum vektoriv sho obertayutsya Suma kilkoh kompleksnih amplitud ye she odniyeyu kompleksnoyu amplitudoyu Ce vihodit tomu sho suma sinusoyid odniyeyi chastoti ye takozh sinusoyidoyu tiyeyi zh chastoti A 1 cos w t 8 1 A 2 cos w t 8 2 Re A 1 e i 8 1 e i w t Re A 2 e i 8 2 e i w t Re A 1 e i 8 1 e i w t A 2 e i 8 2 e i w t Re A 1 e i 8 1 A 2 e i 8 2 e i w t Re A 3 e i 8 3 e i w t A 3 cos w t 8 3 displaystyle begin aligned A 1 cos omega t theta 1 A 2 cos omega t theta 2 amp operatorname Re A 1 e i theta 1 e i omega t operatorname Re A 2 e i theta 2 e i omega t 8pt amp operatorname Re A 1 e i theta 1 e i omega t A 2 e i theta 2 e i omega t 8pt amp operatorname Re A 1 e i theta 1 A 2 e i theta 2 e i omega t 8pt amp operatorname Re A 3 e i theta 3 e i omega t 8pt amp A 3 cos omega t theta 3 end aligned de A 3 2 A 1 cos 8 1 A 2 cos 8 2 2 A 1 sin 8 1 A 2 sin 8 2 2 displaystyle A 3 2 A 1 cos theta 1 A 2 cos theta 2 2 A 1 sin theta 1 A 2 sin theta 2 2 8 3 arctan A 1 sin 8 1 A 2 sin 8 2 A 1 cos 8 1 A 2 cos 8 2 displaystyle theta 3 arctan left frac A 1 sin theta 1 A 2 sin theta 2 A 1 cos theta 1 A 2 cos theta 2 right chi za teoremoyu kosinusiv na kompleksnij ploshini chi trigonometrichnih totozhnostej dlya riznici kutiv A 3 2 A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2 cos 180 D 8 A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2 cos D 8 displaystyle A 3 2 A 1 2 A 2 2 2A 1 A 2 cos 180 circ Delta theta A 1 2 A 2 2 2A 1 A 2 cos Delta theta de D 8 8 1 8 2 displaystyle Delta theta theta 1 theta 2 Golovnim ye te sho 3 ta 83 ne zalezhat vid w chi t i ce umozhlivlyuye predstavlennya u viglyadi kompleksnih amplitud Chas ta chastota mozhut buti vikinuti z rozglyadu ta vvedeni nazad pislya vikonannya dij yaksho provedeni operaciyi buli viklyuchno taki sho utvoryuvali inshi kompleksni amplitudi U kutovomu predstavlenni operaciyi vishe viglyadayut yak A 1 8 1 A 2 8 2 A 3 8 3 displaystyle A 1 angle theta 1 A 2 angle theta 2 A 3 angle theta 3 Inshij sposib predstavlennya sumi dvoh vektoriv z koordinatami A1 cos wt 81 A1 sin wt 81 ta A2 cos wt 82 A2 sin wt 82 ye dodavannya vektoriv dlya otrimannya rezultuyuchogo vektora z koordinatami A3 cos wt 83 A3 sin wt 83 Diagrama kompleksnih amplitud troh hvil v idealnij protifazi angl perfect destructive interference U fizici take dodavannya vidbuvayetsya koli sinusoyidi vzayemodiyut mizh soboyu u fazi abo u protifazi Koncepciya statichnih vektoriv nadaye neobhidnu informaciyu dlya vidpovidi na pitannya na kshtalt Yaka riznicya u fazi mizh troma idealnimi sinusoyidami potribna dlya otrimannya idealnoyi protifazi U comu vipadku prosto vizmit tri vektori odnakovoyi dovzhini ta roztashujte yih sumistivshi yih pochatki ta kinci takim chinom sho kinec ostannogo vektora maye ti zh koordinati sho i pochatok pershogo Ochevidno sho cij umovi vidpovidaye rivnostoronnij trikutnik z kutami mizh susidnimi vektorami 120 2p 3 radian abo odna tretya dovzhini hvilil 3 Tozh riznicya faz maye buti takozh 120 yak u vipadku trifaznoyi sistemi elektropostachannya Inshimi slovami cos w t cos w t 2 p 3 cos w t 2 p 3 0 displaystyle cos omega t cos omega t 2 pi 3 cos omega t 2 pi 3 0 U prikladi z troma hvilyami riznicya u fazi mizh pershoyu ta ostannoyu hvilyami bula 240 gradusiv v toj chas yak protifaza dlya dvoh hvil vidbuvayetsya pri 180 gradusah Za umovi matematichnogo nablizhennya do velikoyi kilkosti hvil protifaza vinikne za umovi yaksho ostannya kompleksna amplituda ye majzhe paralelnoyu do pershoyi Ce oznachaye sho dlya velikoyi kilkosti dzherel protifaza vinikaye za umovi riznici mizh pershoyu ta ostannoyu hvilyami u 360 gradusiv tobto povnoyi dovzhini hvili l displaystyle lambda Same tomu vinikayut oblasti difrakciyi z minimalnim osvitlennyam koli svitlo z viddalenogo dzherela podorozhuye na dovzhinu hvili dovshe nizh vid blizhchogo dzherela Diagrama kompleksnih amplitudInzheneri u galuzyah elektrotehniki energetiki elektroniki ta aviaciyi vikoristovuyut diagrami kompleksnih amplitud angl phasor diagrams dlya vizualizaciyi kompleksnih stalih ta zminnih Yak i vektori napravleni strilki na paperi abo u komp yuternih programah predstavlyayut kompleksni amplitudi Dekartova ta polyarna sistemi koordinat maye kozhna svoyi perevagi persha krashe pokazuye dijsnu ta uyavni skladovi v toj chas yak druga rozmir ta fazu vektoriv ZastosuvannyaRozrahunok elektrichnih kil Z vikoristannyam kompleksnih amplitudi mozhlive zastosuvannya metodiv dlya rozrahunku kil postinogo strumu dlya kil zi zminnim strumom Perelik osnovnih pravil navedeno nizhche Zakon Oma dlya rezistoriv rezistor ne maye zatrimok u chasi ta ne zminyuye fazu signalu tomu viraz V IR diye i tut Zakon Oma dlya rezistoriv kotushok induktivnostej ta kondensatoriv V IZ de Z povnij opir V koli zminnogo strumu potuzhnist maye dvi skladovi aktivnu P sho ye predstavlennyam spozhivannya pidklyuchenogo korisnogo navantazhennya ta reaktivna Q sho ye spozhivanoyu ta povernutoyu potuzhnistyu reaktivnimi komponentami protyagom odnogo ciklu Mozhna viznachiti povnu potuzhnist S P jQ sho maye amplitudu S Zakon potuzhnosti virazhenij u kompleksnih amplitudah bude S VI de I ce spryazhene znachennya strumu I ta I z V diyuchi znachennya naprugi ta strumu Pravila Kirhgofa diyut dlya kompleksnih amplitud u kompleksnij formi Vrahovuyuchi vishezaznachene mi mozhemo zastosuvati metodi analizu elektrichnih kil z kompleksnimi amplitudami dlya analizu elektrichnih kil zminnogo strumu z rezistorami kotushkami induktivnosti ta kondensatorami Kola z kilkoma chastotami mozhut buti proanalizovani shlyahom peretvorennya vsih form hvil do komponentiv sinusoyidnoyi formi ta virishennya okremih zadach kozhna z yakih maye vlasnu chastotu vidpovidno do principu superpoziciyi Energetika Zazvichaj pri analizi trifaznoyi energosistemi nabir kompleksnih amplitud obirayetsya yak tri serednokvadratichnih odinici Sho grafichno predstavlyayutsya yak amplitudi z kutami 0 120 ta 240 gradusiv Dlya sproshennya rozrahunkiv mozhna rozglyadati bagatofaznu sistemu kompleksnih amplitud yak zbalansovanu abo za umovi nezbalansovanosti predstaviti yiyi yak sistemu linijnih zbalansovanih rivnyan Takij pidhid znachno znizhuye vimogi do skladnosti rozrahunkiv padinnya naprugi peretokiv potuzhnosti ta strumiv korotkogo zamikannya U konteksti analizu energosistem faza predstavlyayetsya u viglyadi gradusa a amplitudi u viglyadi serednokvadratichnih a ne pikovih amplitudnih znachen sinusoyidi Tehnologiya sinhrofazora vikoristovuyetsya u cifrovih vimiryuvalnih pristroyah dlya viznachennya naprugi v elektrichnih sistemah u geografichno viddalenih dilyankah Riznicya mizh kompleksnimi amplitudami pokazuye peretoki potuzhnosti ta dopomagaye viznachati zagrozi dlya stabilnosti sistemi Div takozhIQ signalVinoskii uyavna odinicya i 2 1 displaystyle i 2 1 V elektrotehnici cherez vikoristannya literi i dlya poznachennya mittyevogo znachennya strumu vis uyavnih chisel poznachayetsya cherez j Chastota hvili v gercah viznachayetsya yak w 2 p displaystyle omega 2 pi Ce vihodit z d d t e i w t i w e i w t displaystyle frac d dt e i omega t i omega e i omega t sho oznachaye sho kompleksna stupeneva funkciya ye vlasnoyu funkciyeyu pri operaciyi diferenciyuvannya Dokaz d Re V c e i w t d t 1 R C Re V c e i w t 1 R C Re V s e i w t displaystyle frac d operatorname Re V c cdot e i omega t dt frac 1 RC operatorname Re V c cdot e i omega t frac 1 RC operatorname Re V s cdot e i omega t Eq 1 Oskilki tak maye buti dlya vsih t displaystyle t zokrema t p 2 w displaystyle t frac pi 2 omega vihodit d Im V c e i w t d t 1 R C Im V c e i w t 1 R C Im V s e i w t displaystyle frac d operatorname Im V c cdot e i omega t dt frac 1 RC operatorname Im V c cdot e i omega t frac 1 RC operatorname Im V s cdot e i omega t Eq 2 Takozh vidno sho d Re V c e i w t d t Re d V c e i w t d t Re i w V c e i w t displaystyle frac d operatorname Re V c cdot e i omega t dt operatorname Re left frac d left V c cdot e i omega t right dt right operatorname Re left i omega V c cdot e i omega t right d Im V c e i w t d t Im d V c e i w t d t Im i w V c e i w t displaystyle frac d operatorname Im V c cdot e i omega t dt operatorname Im left frac d left V c cdot e i omega t right dt right operatorname Im left i omega V c cdot e i omega t right Pidstavlyayuchi v Eq 1 ta Eq 2 peremnozhayuchi Eq 2 na i displaystyle i da oddoayuchi rivnyannya odne do odnogo i w V c e i w t 1 R C V c e i w t 1 R C V s e i w t displaystyle i omega V c cdot e i omega t frac 1 RC V c cdot e i omega t frac 1 RC V s cdot e i omega t i w V c 1 R C V c e i w t 1 R C V s e i w t displaystyle left i omega V c frac 1 RC V c right cdot e i omega t left frac 1 RC V s right cdot e i omega t i w V c 1 R C V c 1 R C V s Q E D displaystyle i omega V c frac 1 RC V c frac 1 RC V s quad quad mathrm QED PrimitkiHuw Fox William Bolton 2002 Mathematics for Engineers and Technologists Butterworth Heinemann s 30 ISBN 978 0 08 051119 1 Clay Rawlins 2000 Basic AC Circuits vid 2nd Newnes s 124 ISBN 978 0 08 049398 5 Bracewell Ron The Fourier Transform and Its Applications McGraw Hill 1965 p269 K S Suresh Kumar 2008 Electric Circuits and Networks Pearson Education India s 272 ISBN 978 81 317 1390 7 Kequian Zhang Dejie Li 2007 Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics vid 2nd Springer Science amp Business Media s 13 ISBN 978 3 540 74296 8 J Hindmarsh 1984 Electrical Machines amp their Applications vid 4th Elsevier s 58 ISBN 978 1 4832 9492 6 William J Eccles 2011 Pragmatic Electrical Engineering Fundamentals Morgan amp Claypool Publishers s 51 ISBN 978 1 60845 668 0 Richard C Dorf James A Svoboda 2010 Introduction to Electric Circuits vid 8th John Wiley amp Sons s 661 ISBN 978 0 470 52157 1 Allan H Robbins Wilhelm Miller 2012 Circuit Analysis Theory and Practice vid 5th Cengage Learning s 536 ISBN 1 285 40192 1 Won Y Yang Seung C Lee 2008 Circuit Systems with MATLAB and PSpice John Wiley amp Sons s 256 261 ISBN 978 0 470 82240 1 Singh Ravish R 2009 Section 4 5 Phasor Representation of Alternating Quantities Electrical Networks Mcgraw Hill Higher Education s 4 13 ISBN 0070260966 LiteraturaDouglas C Giancoli 1989 Physics for Scientists and Engineers Prentice Hall ISBN 0 13 666322 2 angl Dorf Richard C Tallarida Ronald J 15 lipnya 1993 Pocket Book of Electrical Engineering Formulas vid 1 Boca Raton FL CRC Press s 152 155 ISBN 0849344735 angl PosilannyaVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Kompleksna amplituda Phasor Phactory 20 Kvitnya 2008 u Wayback Machine Vizualne predstavlennya fazoriv 9 Veresnya 2010 u Wayback Machine Polyarna ta pryamokutni sistemi koordinat 27 Lyutogo 2010 u Wayback Machine