Коливний контур

Колива́льний ко́нтур або коливний контур — електричне коло, складене з резистора, конденсатора та котушки індуктивності, в якому можливі коливання напруги й струму. Коливальні контури широко застосовуються в радіотехніці та електроніці, зокрема в генераторах , в частотних фільтрах. Вони використовуються практично в кожному електротехнічному пристрої.

RLC in serie circuit

Послідовний RLC-коливальний контур: V - напруга в контурі І - сила струму в контурі R - резистор L - котушка індуктивності C - конденсатор

Коливальний контур без джерела напруги

Коливальний контур, що складається із послідовно з'єднаних котушки індуктивністю ${\displaystyle L\ }$, конденсатора ємністю ${\displaystyle C\ }$ та активного резистора ${\displaystyle R\ }$ називається RLC-контуром.

В загальному випадку активний опір ${\displaystyle R}$ включає не тільки активні опори провідників, а й опір, зв'язаний з витратами на випромінювання, що виникає внаслідок відкритості конденсатора та індуктивності.

У випадку, коли активний опір малий, і ним можна знехтувати, коливальний контур називають LC-контуром.

В ланку коливального контуру можна додати перемикач для аналізу процесу накопичення зарядів на ємності.

Якісний опис

Нехай у певний момент часу на обкладинках конденсатора C існує певний заряд: додатній на одній із них, від'ємний на іншій. Оскільки обкладинки сполучені між собою колом, що складається з індуктивності і опору, то конденсатор почне розряджатися, а через коло потече струм. Збільшення струму на котушці індуктивності викликає в ній електрорушійну силу, яка діятиме проти струму, перешкоджаючи йому зростати миттєво. Крім того, проходячи через активний опір, струм буде викликати нагрівання цього опору за законом Джоуля-Ленца, призводячи до втрат енергії.

Сила струму в колі буде збільшуватися доти, доки на обкладинках конденсатора залишатиметься заряд. Тоді, коли заряд на обкладинках конденсатора дорівнюватиме нулю, сила струму в колі буде максимальною, і відтоді почне зменшуватися. Зменшення струму в індуктивності призводить до виникнення електрорушійної сили, яка намагатиметься сповільнити це зменшення, тому струм в колі не зменшиться до нуля миттєво, а продовжуватиме протікати, заряджаючи конденсатор уже оберненим зарядом. На обкладинці, зарядженій спочатку додатньо, зосереджуватиметься від'ємний заряд, і навпаки. Максимального значення заряд досягне тоді, коли струм через коло спаде до нуля. В цю мить на обкладинках конденсатора утвориться заряд майже рівний початковому, тільки з оберненим знаком. Зменшення заряду зумовлене втратами в активному опорі, що викликають зменшення струму перезарядки. Далі процес повторюється в зворотньому напрямку - конденсатор починає розряджатися, викликаючи в колі струм, індуктивність спочатку обмежує швидкість зростання струму, а потім швидкість його зменшення викликає електрорушійну силу , що втримує заряд, і, як наслідок, конденсатор знову заряджається.

Якщо втрати струму (на утворення тепла, на випромінювання електромагнітних хвиль тощо) невеликі, то коливання можуть продовжуватися дуже довго. У ідеальному випадку нульового опору - вічно. В реальних колах активний опір завжди існує, а тому реальні коливання завжди затухають.

Математичне формулювання

Основним критерієм розгляду є умова постійності сили струму у всіх точках контуру. Тобто сила струму в довільний момент часу повинна задовольняти всім законам притаманним постійному струму. Такий змінний струм називають квазістаціонарним. Диференціальне рівняння для класичного RLC-контуру записується для невідомої динамічної змінної - електричного заряду ${\displaystyle q(t)\ }$ і є математичним виразом закону Кірхгофа. Рівняння складається з трьох доданків - спадів напруги на індуктивності, на резисторі та напрузі на ємності, які в сумі повинні давати нуль:

${\displaystyle L{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+R{\frac {dq}{dt}}+{\frac {q}{C}}=0}$,

Розв'язок цього рівняння має вигляд:

${\displaystyle q(t)=A_{0}e^{-Rt/2L}\sin(\omega t+\alpha _{0})~,~~~\omega ={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}}}}$

де ${\displaystyle \omega }$ - резонансна частота контуру, ${\displaystyle A_{0}}$ - амплітуда коливань, ${\displaystyle \alpha _{0}}$ - фаза. Таким чином, при замиканні перемикача в RLC-контурі виникають затухаючі коливання. Тому цей контур і називають коливальним контуром. Декремент затухання коливань у контурі визначається активним опором за формулою:

${\displaystyle \beta ={\frac {R}{2L}}}$.

Через цей коефіцієнт затухання можна виразити миттєву амплітуду коливань заряду конденсатора:

${\displaystyle A=A_{0}e^{-Rt/2L}=A_{0}e^{-\beta t}\ }$.

Різниця потенціалів ${\displaystyle \Delta \phi \ }$ на обкладинках конденсатора пропорційна заряду ${\displaystyle q}$:

${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {q}{C}}={\frac {A_{0}}{C}}e^{-Rt/2L}\sin(\omega t+\alpha _{0})\ }$

Залежність сили струму в коливальному контурі від часу має вигляд:

${\displaystyle I=-{\frac {dq}{dt}}=A_{0}e^{-Rt/2L}{{\frac {R}{2L}}\sin(\omega t+\alpha _{0})\ -\omega \cos(\omega t+\alpha _{0})\ }}$.

Якщо в початковий момент часу ${\displaystyle t=0\ }$ заряд на обкладках конденсатора дорівнював ${\displaystyle q=q_{0}\ }$, а струм в контурі був відсутній, то початкову фаза коливань ${\displaystyle \alpha _{0}}$ та їхня амплітуда дорівнюють:

${\displaystyle \alpha _{0}={\text{arctg}}\;{\frac {\omega }{\beta }}={\text{arctg}}\ {\sqrt {{\frac {4L}{CR^{2}}}-1}}~,~~~A_{0}={\frac {q_{0}}{\sin \alpha _{0}}}={\frac {q_{0}}{\sqrt {1-{\frac {CR^{2}}{4L}}}}}}$.

Незатухаючі коливання

Якщо опір контуру зменшувати до нуля ${\displaystyle R\to \;0\ }$, тоді в ${\displaystyle LC-\ }$ контурі виникають незатухаючі коливання, для яких справедливі такі співвідношення:

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}~,~~~\alpha _{0}={\frac {\pi }{2}}\ }$.

Заряди, напруги та струми в коливальному контурі будуть у цьому випадку рівні:

${\displaystyle q=q_{0}\sin(\omega _{0}t+\pi /2)\ }$

${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {q_{0}}{C}}\sin(\omega _{0}t+\pi /2)\ }$

${\displaystyle I=-q_{0}\omega _{0}\cos(\omega _{0}t+\pi /2)\ }$

Період власних незатухаючих коливань дорівнює

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}=2\pi {\sqrt {LC}}}$ (12)

Ця формула вперше була отримана в 1853 році В. Томсоном, тому і називається формулою Томсона.

Струм ${\displaystyle I(t)}$ в контурі можна переписати у вигляді:

${\displaystyle I=-q_{0}\omega _{0}\cos(\omega _{0}t+\pi /2)\ =q_{0}\omega _{0}\sin \omega _{0}t\ }$.

Тобто він відстає по фазі від різниці потенціалів на обкладках конденсатора на ${\displaystyle \pi /2}$. Амплітуда ${\displaystyle I_{0}\ }$ сили струму, та амплітуда ${\displaystyle \Delta \phi }$ різниці потенціалів дорівнюють:

${\displaystyle I_{0}=q_{0}\omega _{0}=q_{0}/{\sqrt {LC}}~,~~~\Delta \phi =q_{0}/C\ }$

тому

${\displaystyle I_{0}=\Delta \phi _{0}\cdot {\sqrt {C/L}}=\Delta \phi _{0}/\rho ~,~~~\rho ={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$,

де величину ${\displaystyle \rho }$ називають хвилевим опором контуру.

Закон збереження енергії

Повна енергія контуру складається із суми двох енергій: енергії заряду ${\displaystyle q(t)}$, накопиченого на ємності, ${\displaystyle W_{C}}$ та магнітної енергії на індуктивності ${\displaystyle W_{L}}$:

${\displaystyle W_{LC}=W_{C}+W_{L}={\frac {q(t)^{2}}{2C}}+{\frac {LI(t)^{2}}{2}}={\frac {q(t)^{2}}{2C}}+{\frac {L}{2}}\left({\frac {dq(t)}{dt}}\right)^{2}}$.

Максимальна енергія, що накопичується на ємності дорівнює максимальній енергії, що накопичується на індуктивності і дорівнює повній енергії контуру

${\displaystyle W_{C0}={\frac {C\Delta \phi _{0}^{2}}{2}}={\frac {q_{0}^{2}}{2C}}={\frac {LI_{0}^{2}}{2}}=W_{L0}=W_{LC}}$.

Коливальні контури із джерелом напруги

Послідовний контур

Послідовний контур - це такий коливальний контур, в якому джерело живлення підключено послідовно.

Паралельний контур

Паралельний контур - це такий коливальний контур, в якому джерело живлення підключено паралельно.

Висновки

В класичному коливальному контурі максимальне значення заряду на обкладках конденсатора завжди визначається початковими умовами. Скільки заряду ${\displaystyle q_{0}\ }$ посадили на ємність, стільки ж і буде брати участь в коливаннях у випадку незатухаючих коливань. У випадку затухаючих коливань, кількість заряду буде перманентно зменшуватися.

Див. також

• Гармонічний осцилятор
• Резонанс

Література

• Яворский Б. М., Детлаф А. А., Милковская Л. Б. Курс физики. Том 2. Электричество и магнетизм. Изд. 3-е, испр. И доп., М.:Высшая школа, 1966.- 412с.