Зачеплення Гопфа

Зачеплення Гопфа — найпростіше нетривіальне зачеплення з двома і більше компонентами , складається з двох кіл, зачеплених одноразово і назване за ім'ям ^[en].

Зачеплення Гопфа
Позначення= L2a1
Число ниток = 2
Довжина коси= 2
Число перетинів= 2
Коефіцієнт зачеплення= 1
Гіперболічний об'єм= 0
Клас= тор

Геометричне подання

Конкретна модель складається з двох окремих кіл в перпендикулярних площинах, таких, що кожне проходить через центр іншого. Ця модель мінімізує ^[en] (довжина мотузки — інваріант теорії вузлів) зачеплення і до 2002 року зачеплення Гопфа було єдиним, у якого довжина мотузки була відома . Опукла оболонка цих двох кіл утворює тіло, зване олоїдом.

Властивості

Скейн-співвідношення для зачеплення Гопфа

Залежно від відносної орієнтації двох компонент коефіцієнт зачеплення Гопфа дорівнює ±1.

Зачеплення Гопфа є (2,2)-торичним зачепленням з описовим словом ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$.

Доповнення зачеплення Гопфа — ${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}\times S^{1}}$, циліндр над тором. Цей простір має локально евклідову геометрію, так що зачеплення Гопфа не є гіперболічним. Група вузлів зачеплення Гопфа (фундаментальна група його доповнення) — це ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ (вільна абелева група на двох генераторах) і вона відрізняє зачеплення Гопфа від двох незачеплених кіл, яким відповідає вільна група на двох генераторах.

Зачеплення Гопфа не може бути ^[ru]. Це безпосередньо випливає з факту, що зачеплення можна розфарбувати лише у два кольори, що суперечить другій частині визначення розмальовки. В кожному перетині буде максимум 2 кольори, так що при розфарбуванні ми порушимо вимогу мати 1 або 3 кольори в кожному перетині, або порушимо вимогу мати більше 1 кольору.

Розшарування Гопфа

Розшарування Гопфа — це неперервне відображення з 3-сфери (тривимірна поверхня в чотиривимірному евклідовому просторі) в більш звичну 2-сферу, таке, що прообраз кожної точки на 2-сфері є колом. Таким чином виходить розкладання 3-сфери на безперервне сімейство кіл і кожні два різних кола з цього сімейства утворюють зачеплення Гопфа. Цей факт і спонукав Гопфа зайнятися вивченням зачеплень Гопфа — оскільки будь-які два шари зачеплені, розшарування Гопфа є нетривіальним розшаруванням. З цього почалося вивчення ^[ru].

Історія

Герб ^[en]

Зачеплення названо ім'ям тополога Гайнца Гопфа, який досліджував його в в праці про розшарування Гопфа. Однак таке зачеплення використовував ще Гаусс, а поза математикою воно зустрічалося задовго до цього, наприклад, в якості герба японської буддійської секти ^[en], заснованої в XVI столітті.

Див. також

• Катенани, хімічні сполуки з двома механічно зчепленими молекулами
• Вузол Соломона, два кільця з подвійним зачепленням

Примітки

1. Adams, 2004.
2. Kusner, Sullivan, 1998.
3. Прасолов, Сосинский, 1997.
4. Cantarella, Kusner, Sullivan, 2002.
5. Dirnböck, Stachel, 1997.
6. Kauffman, 1987.
7. Turaev, 2010.
8. Hatcher, 2002.
9. Shastri, 2013.
10. Hopf, 1931.

Література

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М. : МЦНМО, 1997. — .
• Adams, Colin Conrad. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — .
• Cantarella J., Kusner R. B., Sullivan J. M. On the minimum ropelength of knots and links // Inventiones Mathematicae. — 2002. — Vol. 150, no. 2. — arXiv:math/0103224. — DOI:10.1007/s00222-002-0234-y.
• Dirnböck H., Stachel H. The development of the oloid // Journal for Geometry and Graphics. — 1997. — Vol. 1, no. 2.
• Hatcher, Allen. Algebraic Topology. — 2002. — .
• Hopf, Heinz. Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche // Mathematische Annalen. — Berlin : Springer, 1931. — DOI:10.1007/BF01457962.
• Kauffman, Louis H. On Knots. — Princeton University Press, 1987. — Vol. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — .
• Kusner R. B., Sullivan J. M. Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York : Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — DOI:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
• Shastri, Anant R. Basic Algebraic Topology. — CRC Press, 2013. — .
• Turaev, Vladimir G. Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds. — Walter de Gruyter, 2010. — Vol. 18. — (De Gruyter studies in mathematics). — .

Посилання

• Weisstein, Eric W. Hopf Link(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Hopf link [ 30 липня 2019 у Wayback Machine.], The Knot Atlas