Коефіцієнт зачеплення — ціле або дробове число, що зіставляється двом циклам і , які не перетинаються, в орієнтованому многовиді розмірності , класи гомологій яких належать підгрупам кручення в цілочисельних гомологіях і відповідно.
Найпростішим прикладом є коефіцієнт зачеплення двох замкнутих кривих , що не перетинаються, простору : він дорівнює [ru] визначається як
- .
Коефіцієнт зачеплення не змінюється під час неперервних деформацій кривих, якщо протягом цієї деформації криві не перетинаються, тобто є інваріантом цього зачеплення. Якщо натягнути на одну криву орієнтовану поверхню, то індекс перетину буде дорівнювати кількості точок перетину першої кривої з цією поверхнею взятих з відповідними знаками.
Аналогічно визначається коефіцієнт зачеплення в разі замкнених орієнтованих многовидів та , розташованих у просторі .
В загальному випадку коефіцієнт зачеплення визначається через [en] наступним чином: Якщо є -вимірний ланцюг для якого і є індекс перетину з , то індекс зачеплення дорівнює . Це число не залежить від вибору плівки .
Популярне визначення
Коефіцієнт зачеплення двох орієнтованих контурів x і y, які не перетинаються один з одним, визначається як сума коефіцієнтів зачеплення по всіх подвійних точках проєкції контура на контур і на деяку площину. Для кожної подвійної точки коефіцієнт зачеплення дорівнює , якщо під час руху в напрямку контура контур перетинає його зліва направо і , якщо контур перетинає його справа наліво. Якщо перетинаються дві ділянки одного й того ж контура або контур x проходить вище контура y, подвійній точці приписується коефіцієнт зачеплення .
Властивості
- Якщо поміняти ролями цикли і , то коефіцієнт зачеплення помножиться на .
- Якщо замінити будь-який з циклів гомологічним йому в додатку до іншого, то коефіцієнт зачеплення не зміниться. Цей факт є основою при інтерпретації [en] за допомогою зачеплень.
- Якщо замінити один із циклів будь-яким гомологічним з ним, коефіцієнт зачеплення зміниться на ціле число, завдяки чому визначено парування підгруп кручення в і зі значеннями у факторгрупі . Це парування встановлює між ними дуальність Понтрягіна.
- Зокрема, для підгрупи кручення в у випадку цим задається білінійна форма самозачеплень зі значеннями яка є гомотопічним інваріантом многовиду.
Примітки
- Болтянский, 1982, с. 92.
Література
- , Наглядная топология. — М. : Наука, 1982. — 160 с.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Koeficiyent zacheplennya cile abo drobove chislo sho zistavlyayetsya dvom ciklam zk 1 displaystyle z k 1 i zn k displaystyle z n k yaki ne peretinayutsya v oriyentovanomu mnogovidi M displaystyle M rozmirnosti n displaystyle n klasi gomologij yakih nalezhat pidgrupam kruchennya v cilochiselnih gomologiyah Hk 1 M Z displaystyle H k 1 M mathbb Z i Hn k M Z displaystyle H n k M mathbb Z vidpovidno Najprostishim prikladom ye koeficiyent zacheplennya dvoh zamknutih krivih L1 L2 displaystyle L 1 L 2 sho ne peretinayutsya prostoru R3 displaystyle mathbb R 3 vin dorivnyuye ru ϕ L1 L2 S2 displaystyle phi colon L 1 times L 2 to S 2 viznachayetsya yak ϕ x y y x y x x L1 y L2 displaystyle phi x y y x y x x in L 1 y in L 2 Koeficiyent zacheplennya ne zminyuyetsya pid chas neperervnih deformacij krivih yaksho protyagom ciyeyi deformaciyi krivi ne peretinayutsya tobto ye invariantom cogo zacheplennya Yaksho natyagnuti na odnu krivu oriyentovanu poverhnyu to indeks peretinu bude dorivnyuvati kilkosti tochok peretinu pershoyi krivoyi z ciyeyu poverhneyu vzyatih z vidpovidnimi znakami Analogichno viznachayetsya koeficiyent zacheplennya v razi zamknenih oriyentovanih mnogovidiv Mk 1 displaystyle M k 1 ta Mn k displaystyle M n k roztashovanih u prostori Rn displaystyle mathbb R n V zagalnomu vipadku koeficiyent zacheplennya viznachayetsya cherez en nastupnim chinom Yaksho Ck displaystyle C k ye k displaystyle k vimirnij lancyug dlya yakogo Ck azk 1 displaystyle partial C k az k 1 i b displaystyle b ye indeks peretinu Ck displaystyle C k z zn k displaystyle z n k to indeks zacheplennya dorivnyuye b a displaystyle b a Ce chislo ne zalezhit vid viboru plivki Ck displaystyle C k Populyarne viznachennyaKoeficiyent zacheplennya dvoh oriyentovanih konturiv x i y yaki ne peretinayutsya odin z odnim viznachayetsya yak suma koeficiyentiv zacheplennya po vsih podvijnih tochkah proyekciyi kontura y displaystyle y na kontur x displaystyle x i na deyaku ploshinu Dlya kozhnoyi podvijnoyi tochki koeficiyent zacheplennya dorivnyuye 1 displaystyle 1 yaksho pid chas ruhu v napryamku kontura x displaystyle x kontur y displaystyle y peretinaye jogo zliva napravo i 1 displaystyle 1 yaksho kontur y displaystyle y peretinaye jogo sprava nalivo Yaksho peretinayutsya dvi dilyanki odnogo j togo zh kontura abo kontur x prohodit vishe kontura y podvijnij tochci pripisuyetsya koeficiyent zacheplennya 0 displaystyle 0 VlastivostiYaksho pominyati rolyami cikli zk 1 displaystyle z k 1 i zn k displaystyle z n k to koeficiyent zacheplennya pomnozhitsya na 1 k n k displaystyle 1 k n k Yaksho zaminiti bud yakij z cikliv gomologichnim jomu v dodatku do inshogo to koeficiyent zacheplennya ne zminitsya Cej fakt ye osnovoyu pri interpretaciyi en za dopomogoyu zacheplen Yaksho zaminiti odin iz cikliv bud yakim gomologichnim z nim koeficiyent zacheplennya zminitsya na cile chislo zavdyaki chomu viznacheno paruvannya pidgrup kruchennya v Hk 1 M Z displaystyle H k 1 M Z i Hn k M Z displaystyle H n k M Z zi znachennyami u faktorgrupi Q Z displaystyle mathbb Q mathbb Z Ce paruvannya vstanovlyuye mizh nimi dualnist Pontryagina Zokrema dlya pidgrupi kruchennya v Hm M Z displaystyle H m M mathbb Z u vipadku n 2m l displaystyle n 2m l cim zadayetsya bilinijna forma samozacheplen zi znachennyami Q Z displaystyle mathbb Q mathbb Z yaka ye gomotopichnim invariantom mnogovidu PrimitkiBoltyanskij 1982 s 92 Literatura Naglyadnaya topologiya M Nauka 1982 160 s