Коефіцієнт зачеплення

Коефіцієнт зачеплення — ціле або дробове число, що зіставляється двом циклам ${\displaystyle z^{k-1}}$ і ${\displaystyle z^{n-k}}$, які не перетинаються, в орієнтованому многовиді ${\displaystyle M}$ розмірності ${\displaystyle n}$, класи гомологій яких належать підгрупам кручення в цілочисельних гомологіях ${\displaystyle H_{k-1}(M,\mathbb {Z} )}$ і ${\displaystyle H_{n-k}(M,\mathbb {Z} )}$ відповідно.

Найпростішим прикладом є коефіцієнт зачеплення двох замкнутих кривих ${\displaystyle L_{1},\ L_{2}}$, що не перетинаються, простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$: він дорівнює ^[ru]${\displaystyle \phi \colon L_{1}\times L_{2}\to S^{2}}$ визначається як

${\displaystyle \phi (x,y)=(y-x)/|y-x|,\ x\in L_{1},\ y\in L_{2}}$.

Коефіцієнт зачеплення не змінюється під час неперервних деформацій кривих, якщо протягом цієї деформації криві не перетинаються, тобто є інваріантом цього зачеплення. Якщо натягнути на одну криву орієнтовану поверхню, то індекс перетину буде дорівнювати кількості точок перетину першої кривої з цією поверхнею взятих з відповідними знаками.

Аналогічно визначається коефіцієнт зачеплення в разі замкнених орієнтованих многовидів ${\displaystyle M^{k-1}}$ та ${\displaystyle M^{n-k}}$, розташованих у просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

В загальному випадку коефіцієнт зачеплення визначається через ^[en] наступним чином: Якщо ${\displaystyle C^{k}}$ є ${\displaystyle k}$-вимірний ланцюг для якого ${\displaystyle \partial C^{k}=az^{k-1}}$і ${\displaystyle b}$ є індекс перетину ${\displaystyle C^{k}}$ з ${\displaystyle z^{n-k}}$, то індекс зачеплення дорівнює ${\displaystyle b/a}$. Це число не залежить від вибору плівки ${\displaystyle C^{k}}$.

Популярне визначення

Коефіцієнт зачеплення двох орієнтованих контурів x і y, які не перетинаються один з одним, визначається як сума коефіцієнтів зачеплення по всіх подвійних точках проєкції контура ${\displaystyle y}$ на контур ${\displaystyle x}$ і на деяку площину. Для кожної подвійної точки коефіцієнт зачеплення дорівнює ${\displaystyle 1}$, якщо під час руху в напрямку контура ${\displaystyle x}$ контур ${\displaystyle y}$ перетинає його зліва направо і ${\displaystyle -1}$, якщо контур ${\displaystyle y}$ перетинає його справа наліво. Якщо перетинаються дві ділянки одного й того ж контура або контур x проходить вище контура y, подвійній точці приписується коефіцієнт зачеплення ${\displaystyle 0}$.

Властивості

• Якщо поміняти ролями цикли ${\displaystyle z^{k-1}}$ і ${\displaystyle z^{n-k}}$, то коефіцієнт зачеплення помножиться на ${\displaystyle (-1)^{k(n-k)}}$.
• Якщо замінити будь-який з циклів гомологічним йому в додатку до іншого, то коефіцієнт зачеплення не зміниться. Цей факт є основою при інтерпретації ^[en] за допомогою зачеплень.
• Якщо замінити один із циклів будь-яким гомологічним з ним, коефіцієнт зачеплення зміниться на ціле число, завдяки чому визначено парування підгруп кручення в ${\displaystyle H_{k-1}(M,Z)}$ і ${\displaystyle H_{n-k}(M,Z)}$ зі значеннями у факторгрупі ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$. Це парування встановлює між ними дуальність Понтрягіна.
  • Зокрема, для підгрупи кручення в ${\displaystyle H_{m}(M,\mathbb {Z} )}$ у випадку ${\displaystyle n=2m+l}$ цим задається білінійна форма самозачеплень зі значеннями ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ яка є гомотопічним інваріантом многовиду.

Примітки

1. Болтянский, 1982, с. 92.

Література

• , Наглядная топология. — М. : Наука, 1982. — 160 с.