Група вузла

Група вузла — характеристика вузла, що визначається як фундаментальна група його доповнення.

Визначення

Нехай ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{3}}$ — вузол. Тоді група вузла вузла визначається як фундаментальна група ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)}$.

Коментар

За іншими домовленостями вузол розглядається як вкладення кола в 3-сферу. В цьому випадку групу вузла визначають як фундаментальну групу його доповнення в ${\displaystyle S^{3}}$. Обидва визначення дають ізоморфні групи.

Властивості

• Два еквівалентних вузли мають ізоморфні групи вузлів, так що група вузла є інваріантом вузла і може бути використана для встановлення нееквівалентності пари вузлів. Однак два нееквівалентних вузли можуть мати ізоморфні групи вузлів (див. приклад нижче).

• Абелізація вузла завжди ізоморфна нескінченній циклічній групі ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Це випливає з того, що абелізація збігається з першою групою гомологій, яку легко обчислити.

• Групу вузлів (а також фундаментальну групу орієнтованих зачеплень у загальному випадку) можна обчислити за допомогою порівняно простих алгоритмів, використовуючи ^[en].

Приклади

• Група тривіального вузла ізоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.
  • Зворотне також істинне.
• Група трилисника ізоморфна групі кіс ${\displaystyle B^{3}}$, ця група має задання:

  ${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle }$ або ${\displaystyle \langle a,b\mid aba=bab\rangle }$.

• Група ${\displaystyle (p,q)}$-торичного вузла має задання:

  ${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle }$.

• Група вісімки має задання:

  ${\displaystyle \langle x,y\mid yxy^{-1}xy=xyx^{-1}yx\rangle }$.

• Прямий вузол і бабин вузол мають ізоморфні групи вузлів, але ці вузли не еквівалентні.

Див. також

• ^[en]

Примітки

1. Болтянский, 1982, с. 119.

Література

• Група вузла — стаття з Математичної енциклопедії
• , Наглядная топология. — М. : Наука, 1982. — 160 с.