Бабин вузол (теорія вузлів)

В теорії вузлів бабин вузол — це складений вузол, отриманий з'єднанням двох однакових трилисників. Вузол тісно пов'язаний з прямим вузлом, який теж можна описати як поєднання двох трилисників. Оскільки трилисник є найпростішим нетривіальним вузлом, прямий і бабин вузли є найпростішими складеними вузлами.

Бабин вузол

Бабин вузол є математичною версією побутового бабиного вузла.

Побудова

Бабин вузол можна побудувати з двох однакових трилисників, які повинні бути або обидва лівими, або обидва правими. Кожен з вузлів розсікається і вільні кінці попарно з'єднуються. В результаті з'єднання отримуємо бабин вузол.

Важливо, щоб бралися два однакових образи трилисника. Якщо взяти два дзеркальних трилисники, вийде прямий вузол.

Властивості

Число перетинів бабиного вузла дорівнює 6, що є мінімумом для складених вузлів. На відміну від прямого вузла, бабин вузол не є стрічковим або зрізаним.

Многочлен Александера бабиного вузла дорівнює

${\displaystyle \Delta (t)=(t-1+t^{-1})^{2},}$

що просто є квадратом многочлена Александера трилисника. Аналогічно, многочлен Александера — Конвея бабиного вузла дорівнює

${\displaystyle \nabla (z)=(z^{2}+1)^{2}.}$

Ці два многочлени такі самі, що й для прямого вузла, однак многочлен Джонса (правого) бабиного вузла дорівнює

${\displaystyle V(q)=(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})^{2}=q^{-2}+2q^{-4}-2q^{-5}+q^{-6}-2q^{-7}+q^{-8}.}$

Цей многочлен дорівнює квадрату многочлена Джонса для правого трилисника і він відрізняється від многочлена Джонса для прямого вузла.

Група бабиного вузла задається таким чином

${\displaystyle \langle x,y,z\mid xyx=yxy,xzx=zxz\rangle }$.

Ця група ізоморфна групі прямого вузла, і це найпростіший приклад двох різних вузлів з ізоморфними групами вузлів.

Див. також

• Подвійний вузол
• Бабин вузол
• Прямий вузол (теорія вузлів)

Примітки

1. Weisstein, Eric W. Granny Knot(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• А. Б. Сосинский. Узлы. Хронология математической теории. — Москва : МЦНМО, 2005. — С. 58. — .
• С. В. Дужин, С. В. Чмутов. Математическое просвещение. Сер. 3. — 1999. — С. 72—73.