Декартово замкнуті категорії — тип категорій у математиці у яких, грубо кажучи, кожен морфізм заданий на добутку двох об'єктів можна природно ідентифікувати із морфізмом на одному із множників. Декартово замкнуті категорії особливо широко використовуються у математичній логіці і програмуванні.
З точки зору програмування декартово замкнуті категорії реалізують інкапсуляції аргументів функцій — кожен аргумент представляється об'єктом категорії і використовується як чорний ящик. Разом з тим виразності декартово замкнутих категорій цілком достатньо, щоб оперувати з функціями способом, прийнятим в λ-численні. Це робить їх природними категорного моделями типізованого λ-числення.
Означення
Категорія C називається декартово замкнутою, якщо вона задовольняє трьом умовам:
- У C є термінальний об'єкт;
- Будь-які два об'єкти X, Y в C мають добуток X × Y;
- Для будь-яких двох об'єктів Y і Z у C існує експоненційний об'єкт ZY.
Категорія, така, що для будь-якого її об'єкта категорія об'єктів над ним є декартово замкнутою, називається локально декартово замкнутою.
Приклади декартово замкнутих категорій
- Категорія множин природним чином є декартово замкнутою категорією, оскільки функції з однієї множини в іншу утворюють множину і, отже, є об'єктом. Також в ній існують декартові добутки і термінальний об'єкт — синґлетон.
- Якщо G є групою, то категорія всіх G-множин є декартово замкнутою. Якщо Y і Z є G-множинами, то ZY є множиною всіх функцій із Y у Z із дією G заданою як (g.F)(y) = g.(F(g−1.y)) для всіх g у G, F:Y → Z і y у Y.
- Категорія всіх скінченних G-множин також є декартово замкнутою.
- Категорія Cat всіх малих категорій (і функторів, як морфізмів) є декартово замкнутою; експоненціалом CD є категорія функторів з D у C з натуральними перетвореннями, як морфізмами. Також існує категорія добутку і термінальний об'єкт — категорія 1 з одного об'єкта і одного морфізма.
- Елементарний топос є декартово замкнутою категорією за означенням.
- Категорія топологічних просторів із неперервними відображеннями і категорія гладких многовидів із гладкими відображеннями не є декартово замкнутими. Прикладами декартово замкнутих категорій у топології є категорія компактно породжених гаусдорфових просторів і .
- Алгебра Гейтінга також є стандартним прикладом декартово замкнутої категорії. Оскільки булева алгебра є її окремим випадком, вона теж завжди декартово замкнутою.
Основні побудови
Оцінювання
Згідно означення експоненційного об'єкта для об'єктів Z і Y існує морфізм оцінювання:
- .
Зокрема для категорії множин цей морфізм має стандартний вигляд:
Більш загально можна побудувати часткове відображення:
Композиція
Нехай дано морфізм p : X → Y між двома об'єктами декартово замкнутої категорії. Тоді можна отримати також важливі морфізми між експоненційними об'єктами:
Для означення першого розглянемо експоненційні відображення і морфізми оцінювання: і Тоді також одержується морфізм і з універсальної властивості експоненційних об'єктів існує єдиний морфізм що задовольняє додаткові умови комутативності діаграм.
У другому випадку розглядаються функтори і Другий функтор одержується через функтор Згідно із універсальної властивості експоненційних об'єктів існує єдиний морфізм що задовольняє додаткові умови комутативності діаграм.
Для pZ також використовують позначення p* і p∘-, для Zp також p* і -∘p.
Для морфізмів оцінки можна отримати композицію
Із універсальної властивості експоненційного об'єкта звідси одержується морфізм
який називається відображенням композиції.
Для категорії множин таким чином одержується звичайна композиція відображень:
Перетини
Для морфізма p:X → Y, припустимо, що існує розшарований добуток:
де стрілка справа є pY а стрілка знизу відповідає одиничному морфізму на Y. Тоді ΓY(p) називається об'єктом перетинів p. Він часто також позначається ΓY(X).
Якщо ΓY(p) існує для всіх морфізмів p у Y, то можна ввести функтор ΓY : C/Y → C, що є правим спряженим до функтора добутків:
Експоненційний об'єкт можна також записати як:
Застосування
У декартово замкнутій категорії «функція двох змінних» (морфізм f: X×Y → Z) завжди може бути представлена як «функція однієї змінної» (морфізм λf : X → ZY). У програмуванні ця операція відома як каррінг; це дозволяє інтерпретувати в будь-якій декартово замкнутій категорії. Декартово замкнуті категорії є категорною моделлю для і комбінаторної логіки.
надає ізоморфізм між інтуїціоністською логікою, просто типізованим лямбда-численням і декартово замкнутими категоріями. Певні декартово замкнуті категорії (топоси) пропонувалися як основні об'єкти альтернативних основ математики замість традиційної теорії множин.
Див. також
Література
- Awodey, Steve (2006), Category theory, Oxford logic guides, т. 49, Oxford University Press, ISBN .
- Crole, Roy L. (1994). Categories for Types. Cambridge University Press. ISBN .
- Lambek, Joachim; Scott, P.J. (1986). Introduction to Higher Order Categorical Logic. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 7. Cambridge University Press. ISBN .
- Pierce, Benjamin C. (1991). . MIT Press. ISBN . Архів оригіналу за 25 квітня 2021. Процитовано 18 березня 2020.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Dekartovo zamknuti kategoriyi tip kategorij u matematici u yakih grubo kazhuchi kozhen morfizm zadanij na dobutku dvoh ob yektiv mozhna prirodno identifikuvati iz morfizmom na odnomu iz mnozhnikiv Dekartovo zamknuti kategoriyi osoblivo shiroko vikoristovuyutsya u matematichnij logici i programuvanni Z tochki zoru programuvannya dekartovo zamknuti kategoriyi realizuyut inkapsulyaciyi argumentiv funkcij kozhen argument predstavlyayetsya ob yektom kategoriyi i vikoristovuyetsya yak chornij yashik Razom z tim viraznosti dekartovo zamknutih kategorij cilkom dostatno shob operuvati z funkciyami sposobom prijnyatim v l chislenni Ce robit yih prirodnimi kategornogo modelyami tipizovanogo l chislennya OznachennyaKategoriya C nazivayetsya dekartovo zamknutoyu yaksho vona zadovolnyaye trom umovam U C ye terminalnij ob yekt Bud yaki dva ob yekti X Y v C mayut dobutok X Y Dlya bud yakih dvoh ob yektiv Y i Z u C isnuye eksponencijnij ob yekt ZY Kategoriya taka sho dlya bud yakogo yiyi ob yekta kategoriya ob yektiv nad nim ye dekartovo zamknutoyu nazivayetsya lokalno dekartovo zamknutoyu Prikladi dekartovo zamknutih kategorijKategoriya mnozhin prirodnim chinom ye dekartovo zamknutoyu kategoriyeyu oskilki funkciyi z odniyeyi mnozhini v inshu utvoryuyut mnozhinu i otzhe ye ob yektom Takozh v nij isnuyut dekartovi dobutki i terminalnij ob yekt singleton Yaksho G ye grupoyu to kategoriya vsih G mnozhin ye dekartovo zamknutoyu Yaksho Y i Z ye G mnozhinami to ZY ye mnozhinoyu vsih funkcij iz Y u Z iz diyeyu G zadanoyu yak g F y g F g 1 y dlya vsih g u G F Y Z i y u Y Kategoriya vsih skinchennih G mnozhin takozh ye dekartovo zamknutoyu Kategoriya Cat vsih malih kategorij i funktoriv yak morfizmiv ye dekartovo zamknutoyu eksponencialom CD ye kategoriya funktoriv z D u C z naturalnimi peretvorennyami yak morfizmami Takozh isnuye kategoriya dobutku i terminalnij ob yekt kategoriya 1 z odnogo ob yekta i odnogo morfizma Elementarnij topos ye dekartovo zamknutoyu kategoriyeyu za oznachennyam Kategoriya topologichnih prostoriv iz neperervnimi vidobrazhennyami i kategoriya gladkih mnogovidiv iz gladkimi vidobrazhennyami ne ye dekartovo zamknutimi Prikladami dekartovo zamknutih kategorij u topologiyi ye kategoriya kompaktno porodzhenih gausdorfovih prostoriv i Algebra Gejtinga takozh ye standartnim prikladom dekartovo zamknutoyi kategoriyi Oskilki buleva algebra ye yiyi okremim vipadkom vona tezh zavzhdi dekartovo zamknutoyu Osnovni pobudoviOcinyuvannya Zgidno oznachennya eksponencijnogo ob yekta dlya ob yektiv Z i Y isnuye morfizm ocinyuvannya e v Y Z Z Y Y Z displaystyle mathrm ev Y Z Z Y times Y to Z Zokrema dlya kategoriyi mnozhin cej morfizm maye standartnij viglyad e v Y Z f y f y displaystyle mathrm ev Y Z f y f y Bilsh zagalno mozhna pobuduvati chastkove vidobrazhennya p a p p l y X Y Z Z X Y X Z Y X X e v X Z Y Z Y displaystyle mathrm papply X Y Z Z X times Y times X cong Z Y X times X xrightarrow mathrm ev X Z Y Z Y Kompoziciya Nehaj dano morfizm p X Y mizh dvoma ob yektami dekartovo zamknutoyi kategoriyi Todi mozhna otrimati takozh vazhlivi morfizmi mizh eksponencijnimi ob yektami p Z X Z Y Z displaystyle p Z X Z to Y Z Z p Z Y Z X displaystyle Z p Z Y to Z X Dlya oznachennya pershogo rozglyanemo eksponencijni vidobrazhennya i morfizmi ocinyuvannya e v Z X X Z Z X displaystyle mathrm ev Z X X Z times Z to X i e v Z Y Y Z Z Y displaystyle mathrm ev Z Y Y Z times Z to Y Todi takozh oderzhuyetsya morfizm g e v Z X X Z Z Y displaystyle g circ mathrm ev Z X X Z times Z to Y i z universalnoyi vlastivosti eksponencijnih ob yektiv isnuye yedinij morfizm p Z X Z Y Z displaystyle p Z X Z to Y Z sho zadovolnyaye dodatkovi umovi komutativnosti diagram U drugomu vipadku rozglyadayutsya funktori e v X Z Z X X Z displaystyle mathrm ev X Z Z X times X to Z i e v Y Z Z Y Y Z displaystyle mathrm ev Y Z Z Y times Y to Z Drugij funktor oderzhuyetsya cherez funktor i d g e v Y Z Z Y X Z displaystyle id times g circ mathrm ev Y Z Z Y times X to Z Zgidno iz universalnoyi vlastivosti eksponencijnih ob yektiv isnuye yedinij morfizm Z p Z Y Z X displaystyle Z p Z Y to Z X sho zadovolnyaye dodatkovi umovi komutativnosti diagram Dlya pZ takozh vikoristovuyut poznachennya p i p dlya Zp takozh p i p Dlya morfizmiv ocinki mozhna otrimati kompoziciyu Z Y Y X X i d e v X Y Z Y Y e v Y Z Z displaystyle Z Y times Y X times X xrightarrow mathrm id times mathrm ev X Y Z Y times Y xrightarrow mathrm ev Y Z Z Iz universalnoyi vlastivosti eksponencijnogo ob yekta zvidsi oderzhuyetsya morfizm c X Y Z Z Y Y X Z X displaystyle c X Y Z Z Y times Y X to Z X yakij nazivayetsya vidobrazhennyam kompoziciyi Dlya kategoriyi mnozhin takim chinom oderzhuyetsya zvichajna kompoziciya vidobrazhen c X Y Z g f g f displaystyle c X Y Z g f g circ f Peretini Dlya morfizma p X Y pripustimo sho isnuye rozsharovanij dobutok G Y p X Y 1 Y Y displaystyle begin array ccc Gamma Y p amp to amp X Y downarrow amp amp downarrow 1 amp to amp Y Y end array de strilka sprava ye pY a strilka znizu vidpovidaye odinichnomu morfizmu na Y Todi GY p nazivayetsya ob yektom peretiniv p Vin chasto takozh poznachayetsya GY X Yaksho GY p isnuye dlya vsih morfizmiv p u Y to mozhna vvesti funktor GY C Y C sho ye pravim spryazhenim do funktora dobutkiv hom C Y X Y p 2 Y Z p Y hom C X G Y p displaystyle hom C Y X times Y xrightarrow pi 2 Y Z xrightarrow p Y cong hom C X Gamma Y p Eksponencijnij ob yekt mozhna takozh zapisati yak Z Y G Y Z Y p 2 Y displaystyle Z Y cong Gamma Y Z times Y xrightarrow pi 2 Y ZastosuvannyaU dekartovo zamknutij kategoriyi funkciya dvoh zminnih morfizm f X Y Z zavzhdi mozhe buti predstavlena yak funkciya odniyeyi zminnoyi morfizm lf X ZY U programuvanni cya operaciya vidoma yak karring ce dozvolyaye interpretuvati v bud yakij dekartovo zamknutij kategoriyi Dekartovo zamknuti kategoriyi ye kategornoyu modellyu dlya i kombinatornoyi logiki nadaye izomorfizm mizh intuyicionistskoyu logikoyu prosto tipizovanim lyambda chislennyam i dekartovo zamknutimi kategoriyami Pevni dekartovo zamknuti kategoriyi toposi proponuvalisya yak osnovni ob yekti alternativnih osnov matematiki zamist tradicijnoyi teoriyi mnozhin Div takozhEksponencijnij ob yektLiteraturaAwodey Steve 2006 Category theory Oxford logic guides t 49 Oxford University Press ISBN 978 0 19 856861 2 Crole Roy L 1994 Categories for Types Cambridge University Press ISBN 0521450926 Lambek Joachim Scott P J 1986 Introduction to Higher Order Categorical Logic Cambridge Studies in Advanced Mathematics T 7 Cambridge University Press ISBN 0 521 35653 9 Pierce Benjamin C 1991 MIT Press ISBN 978 0 262 66071 6 Arhiv originalu za 25 kvitnya 2021 Procitovano 18 bereznya 2020