У теорії категорій, категорія коми — спеціальна конструкція, що надає спосіб вивчення морфізмів не як співвіднесення об'єктів категорії один з одним, а як самостійних об'єктів. Назва «категорія коми» з'явилася через початкове (введене [en]) позначення, яке включало знак коми. Згодом стандартне позначення змінилося з міркувань зручності.
Визначення
Загальний випадок
Нехай і — категорії, а і — функтори
Категорію коми можна побудувати так:
- Об'єкти — всі трійки вигляду , де — об'єкт , — Об'єкт , і — морфізм у .
- Морфізм з в — всі пари , де , — морфізми в і відповідно, такі, що комутує така діаграма:
Якщо останній вираз визначено, композиція морфізмів береться як . Тотожний морфізм об'єкта — це .
Два часткових випадки
Розглянемо два часткових випадки, які простіші й трапляються дуже часто.
Перший випадок — категорія об'єктів над . Нехай у попередньому визначенні , — тотожний функтор і (категорія з одним об'єктом та одним морфізмом). Тоді для деякого об'єкта категорії . У цьому випадку використовують позначення . Об'єкти вигляду — це просто пари , де . Іноді в цій ситуації позначають як . Морфізм з в — це морфізм , що замикає до комутативної таку діаграму:
Двоїстий випадок — категорія об'єктів під . Тут — функтор з 1 і — тотожний функтор. У цьому випадку використовують позначення , де — об'єкт , в який відображає . Об'єкти — пари , де . Морфізм між і — відображення , що замикає до комутативної таку діаграму:
Категорія стрілок
Ще один частковий випадок — коли і — тотожні функтори в (так що ). У цьому випадку категорію коми називають категорією стрілок . Її об'єкти — морфізми , а її морфізми — комутативні квадрати в .
Властивості
Для будь-якої категорії стрілок визначено два забутливі функтори з неї:
- Функтор прообразу , який відображає:
- об'єкти: ;
- морфізми: ;
- Функтор образу, , який відображає:
- об'єкти: ;
- морфізми: .
Приклади
- Категорія множин із відміченою точкою — це категорія коми , де — функтор, що вибирає деякий синґлетон, і — Тотожний функтор у категорії множин. У подібний спосіб можна утворити категорію топологічних просторів із зазначеною точкою .
- Категорія графів — це категорія коми , де — функтор, що відправляє в . Об'єкти вигляду складаються з двох множин та функції; — індексує множину для ребер, — множину вершин, тоді вибирає пару елементів для кожного , тобто вибирає певне ребро зі множини можливих ребер . Морфізми в цій категорії — функції індексувальній множині і множині вершин, такі, що образи вершин, які відповідали даному ребру, відповідатимуть його образу.
Спряження
Функтори і спряжені тоді й лише тоді, коли категорії коми і ізоморфні, причому еквівалентні елементи проєктуються на той самий елемент . Це дозволяє описати сполучені функтори, не використовуючи множини, і це було головною причиною появи конструкції категорій коми.
Природні перетворення
Якщо образи збігаються, то діаграма, що визначає морфізм у з збігається з діаграмою, що визначає натуральне перетворення . Відмінність між двома визначеннями полягає в тому, що натуральне перетворення — це певний клас морфізмів вигляду , тоді як об'єкти категорії коми — це все морфізми такого вигляду. Функтор у категорію коми може вибрати конкретне сімейство морфізмів. І справді, натуральному перетворенню , де відповідає функтор , який відображає об'єкт в і морфізми в . Це задає бієкцію між природними перетвореннями та функторами , які є лівими оберненими обох забутливих функторів з .
Примітки
- Adámek, Jiří; Horst Herrlich, and George E. Strecker. Abstract and Concrete Categories. — , 1990. — . Архівовано з джерела 21 квітня 2015
Література
- С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U teoriyi kategorij kategoriya komi specialna konstrukciya sho nadaye sposib vivchennya morfizmiv ne yak spivvidnesennya ob yektiv kategoriyi odin z odnim a yak samostijnih ob yektiv Nazva kategoriya komi z yavilasya cherez pochatkove vvedene Loverom en poznachennya yake vklyuchalo znak komi Zgodom standartne poznachennya zminilosya z mirkuvan zruchnosti Zmist 1 Viznachennya 1 1 Zagalnij vipadok 1 2 Dva chastkovih vipadki 1 3 Kategoriya strilok 2 Vlastivosti 3 Prikladi 4 Spryazhennya 5 Prirodni peretvorennya 6 Primitki 7 LiteraturaViznachennyared Zagalnij vipadokred Nehaj A B displaystyle mathcal A mathcal B nbsp i C displaystyle mathcal C nbsp kategoriyi a S displaystyle S nbsp i T displaystyle T nbsp funktori A S C T B displaystyle mathcal A xrightarrow S mathcal C xleftarrow T mathcal B nbsp Kategoriyu komi S T displaystyle S downarrow T nbsp mozhna pobuduvati tak Ob yekti vsi trijki viglyadu a b f displaystyle alpha beta f nbsp de a displaystyle alpha nbsp ob yekt A displaystyle mathcal A nbsp b displaystyle beta nbsp Ob yekt B displaystyle mathcal B nbsp i f S a T b displaystyle f S alpha rightarrow T beta nbsp morfizm u C displaystyle mathcal C nbsp Morfizm z a b f displaystyle alpha beta f nbsp v a b f displaystyle alpha beta f nbsp vsi pari g h displaystyle g h nbsp de g a a displaystyle g alpha rightarrow alpha nbsp h b b displaystyle h beta rightarrow beta nbsp morfizmi v A displaystyle mathcal A nbsp i B displaystyle mathcal B nbsp vidpovidno taki sho komutuye taka diagrama S a S g S a f f T b T h T b displaystyle begin matrix S alpha amp xrightarrow S g amp S alpha f Bigg downarrow amp amp Bigg downarrow f T beta amp xrightarrow T h amp T beta end matrix nbsp Yaksho ostannij viraz viznacheno kompoziciya morfizmiv g h g h displaystyle g h circ g h nbsp beretsya yak g g h h displaystyle g circ g h circ h nbsp Totozhnij morfizm ob yekta a b f displaystyle alpha beta f nbsp ce i d a i d b displaystyle mathrm id alpha mathrm id beta nbsp Dva chastkovih vipadkired Rozglyanemo dva chastkovih vipadki yaki prostishi j traplyayutsya duzhe chasto Pershij vipadok kategoriya ob yektiv nad A displaystyle A nbsp Nehaj u poperednomu viznachenni A C displaystyle mathcal A mathcal C nbsp S displaystyle S nbsp totozhnij funktor i B 1 displaystyle mathcal B textbf 1 nbsp kategoriya z odnim ob yektom displaystyle nbsp ta odnim morfizmom Todi T A displaystyle T A nbsp dlya deyakogo ob yekta A displaystyle A nbsp kategoriyi C displaystyle mathcal C nbsp U comu vipadku vikoristovuyut poznachennya C A displaystyle mathcal C downarrow A nbsp Ob yekti viglyadu a f displaystyle alpha f nbsp ce prosto pari a f displaystyle alpha f nbsp de f a A displaystyle f alpha rightarrow A nbsp Inodi v cij situaciyi f displaystyle f nbsp poznachayut yak p a displaystyle pi alpha nbsp Morfizm z B p B displaystyle B pi B nbsp v B p B displaystyle B pi B nbsp ce morfizm g B B displaystyle g B rightarrow B nbsp sho zamikaye do komutativnoyi taku diagramu nbsp Dvoyistij vipadok kategoriya ob yektiv pid A displaystyle A nbsp Tut S displaystyle S nbsp funktor z 1 i T displaystyle T nbsp totozhnij funktor U comu vipadku vikoristovuyut poznachennya A C displaystyle A downarrow mathcal C nbsp de A displaystyle A nbsp ob yekt C displaystyle mathcal C nbsp v yakij vidobrazhaye S displaystyle S nbsp Ob yekti pari B i B displaystyle B i B nbsp de i B A B displaystyle i B A rightarrow B nbsp Morfizm mizh B i B displaystyle B i B nbsp i B i B displaystyle B i B nbsp vidobrazhennya h B B displaystyle h B rightarrow B nbsp sho zamikaye do komutativnoyi taku diagramu nbsp Kategoriya strilokred She odin chastkovij vipadok koli S displaystyle S nbsp i T displaystyle T nbsp totozhni funktori v C displaystyle mathcal C nbsp tak sho A B C displaystyle mathcal A mathcal B mathcal C nbsp U comu vipadku kategoriyu komi nazivayut kategoriyeyu strilok C displaystyle mathcal C rightarrow nbsp Yiyi ob yekti morfizmi C displaystyle mathcal C nbsp a yiyi morfizmi komutativni kvadrati v C displaystyle mathcal C nbsp 1 Vlastivostired Dlya bud yakoyi kategoriyi strilok viznacheno dva zabutlivi funktori z neyi Funktor proobrazu S T A displaystyle S downarrow T to mathcal A nbsp yakij vidobrazhaye ob yekti a b f a displaystyle alpha beta f mapsto alpha nbsp morfizmi g h g displaystyle g h mapsto g nbsp Funktor obrazu S T B displaystyle S downarrow T to mathcal B nbsp yakij vidobrazhaye ob yekti a b f b displaystyle alpha beta f mapsto beta nbsp morfizmi g h h displaystyle g h mapsto h nbsp Prikladired Kategoriya mnozhin iz vidmichenoyu tochkoyu ce kategoriya komi S e t displaystyle bullet downarrow mathbf Set nbsp de displaystyle bullet nbsp funktor sho vibiraye deyakij singleton i S e t displaystyle mathbf Set nbsp Totozhnij funktor u kategoriyi mnozhin U podibnij sposib mozhna utvoriti kategoriyu topologichnih prostoriv iz zaznachenoyu tochkoyu T o p displaystyle bullet downarrow mathbf Top nbsp Kategoriya grafiv ce kategoriya komi S e t D displaystyle mathbf Set downarrow D nbsp de D S e t S e t displaystyle D mathbf Set rightarrow mathbf Set nbsp funktor sho vidpravlyaye s displaystyle s nbsp v s s displaystyle s times s nbsp Ob yekti viglyadu a b f displaystyle a b f nbsp skladayutsya z dvoh mnozhin ta funkciyi a displaystyle a nbsp indeksuye mnozhinu dlya reber b displaystyle b nbsp mnozhinu vershin todi f a b b displaystyle f a rightarrow b times b nbsp vibiraye paru elementiv b displaystyle b nbsp dlya kozhnogo a displaystyle a nbsp tobto f displaystyle f nbsp vibiraye pevne rebro zi mnozhini mozhlivih reber b b displaystyle b times b nbsp Morfizmi v cij kategoriyi funkciyi indeksuvalnij mnozhini i mnozhini vershin taki sho obrazi vershin yaki vidpovidali danomu rebru vidpovidatimut jogo obrazu Spryazhennyared Funktori F C D displaystyle F mathcal C rightarrow mathcal D nbsp i G D C displaystyle G mathcal D rightarrow mathcal C nbsp spryazheni todi j lishe todi koli kategoriyi komi F i d D displaystyle F downarrow id mathcal D nbsp i i d C G displaystyle id mathcal C downarrow G nbsp izomorfni prichomu ekvivalentni elementi proyektuyutsya na toj samij element C D displaystyle mathcal C times mathcal D nbsp Ce dozvolyaye opisati spolucheni funktori ne vikoristovuyuchi mnozhini i ce bulo golovnoyu prichinoyu poyavi konstrukciyi kategorij komi Prirodni peretvorennyared Yaksho obrazi S T displaystyle S T nbsp zbigayutsya to diagrama sho viznachaye morfizm u S T displaystyle S downarrow T nbsp z a b a b g h displaystyle alpha beta alpha beta g h nbsp zbigayetsya z diagramoyu sho viznachaye naturalne peretvorennya S T displaystyle S to T nbsp Vidminnist mizh dvoma viznachennyami polyagaye v tomu sho naturalne peretvorennya ce pevnij klas morfizmiv viglyadu S a T a displaystyle S alpha to T alpha nbsp todi yak ob yekti kategoriyi komi ce vse morfizmi takogo viglyadu Funktor u kategoriyu komi mozhe vibrati konkretne simejstvo morfizmiv I spravdi naturalnomu peretvorennyu h S T displaystyle eta S to T nbsp de S T A C displaystyle S T mathcal A to mathcal C nbsp vidpovidaye funktor A S T displaystyle mathcal A to S downarrow T nbsp yakij vidobrazhaye ob yekt a displaystyle alpha nbsp v a a h a displaystyle alpha alpha eta alpha nbsp i morfizmi g displaystyle g nbsp v g g displaystyle g g nbsp Ce zadaye biyekciyu mizh prirodnimi peretvorennyami S T displaystyle S to T nbsp ta funktorami A S T displaystyle mathcal A to S downarrow T nbsp yaki ye livimi obernenimi oboh zabutlivih funktoriv z S T displaystyle S downarrow T nbsp Primitkired Adamek Jiri Horst Herrlich and George E Strecker Abstract and Concrete Categories John Wiley amp Sons 1990 ISBN 0 471 60922 6 Arhivovano z dzherela 21 kvitnya 2015Literaturared S Maklejn Kategorii dlya rabotayushego matematika M FIZMATLIT 2004 352 s ISBN 5 9221 0400 4 Otrimano z https uk wikipedia org w index php title Kategoriya komi amp oldid 38712680