Дедекіндове кільце

Кільце Дедекінда — область цілісності R в якій кожен ненульовий власний ідеал представляється у вигляді добутку простих ідеалів. Розклад у добуток простих ідеалів при цьому є єдиним з точністю до порядку множників. Свою назву ці кільця одержали від імені Ріхарда Дедекінда, який їх вивчав у 70-их роках 19 століття. При цьому означенні поля є тривіальними прикладами кілець Дедекінда. Зважаючи на їх відмінність від інших видів кілець Дедекінда іноді в означенні вимагається, щоб кільце Дедекінда не було полем.

Приклади

• Кожна область головних ідеалів є кільцем Дедекінда.
• Якщо R є кільцем Дедекінда, L — скінченне алгебраїчне розширення його поля часток, то ціле замикання R^' кільця R в L знову буде кільцем Дедекінда.
• Дедекіндовими є кільце цілих алгебраїчних чисел і максимальні порядки полів алгебраїчних чисел, тобто цілі замикання кільця цілих чисел в скінченних алгебраїчних розширеннях поля раціональних чисел.

Еквівалентні означення

Нижче наведено кілька еквівалентних означень в яких також описуються основні властивості кілець Дедекінда.

• Комутативна область цілісності є кільцем Дедекінда тоді і тільки тоді, коли

1. R є кільцем Нетер,
2. кожен власний простий ідеал кільця R максимальний,
3. R цілозамкнуте кільце, тобто рівне своєму цілому замиканню в полі часток.

Іншими словами, кільце Дедекінда є нетеровим нормальним кільцем, розмірність Круля якого рівна одиниці.

• Кільце R є кільцем Дедекінда тоді і тільки тоді, коли напівгрупа дробових ідеалів цього кільця є групою. Кожен дробовий ідеал кільця Дедекінда R можна єдиним способом записати у вигляді добутку степенів (додатних або від'ємних) простих ідеалів кільця R.

• Кільце Дедекінда R можна охарактеризувати також як кільце Круля розмірності один.

• Кільцем Дедекінда називається нетерова область цілісності для якої всі локалізації по простих ідеалах є кільцями дискретного нормування.
• Кільцем Дедекінда називається область цілісності для якої локалізація по кожному максимальному ідеалу є кільцем дискретного нормування і кожен ненульовий елемент належить лише скінченній кількості простих ідеалів.
• Кільцем Дедекінда називається область цілісності R кожен ідеал якої є проективним модулем над R.

Властивості

• Для кільця Дедекінда R виконується так звана китайська теорема про залишки: для даного скінченного набору ідеалів I_i і елементів x_i кільця R, i=1,2,...,n система порівнянь ${\displaystyle x\equiv x_{i}{\pmod {I_{i}}}}$ має розв'язок ${\displaystyle x\in R}$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}{\pmod {I_{i}+I_{j}}}}$, для ${\displaystyle i\neq j}$.
• Для будь-якої мультиплікативної підмножини ${\displaystyle S}$ у кільці Дедекінда ${\displaystyle R}$ локалізація ${\displaystyle R_{S}}$ теж є кільцем Дедекінда.
• Кільце Дедекінда, що має лише скінченну кількість простих ідеалів є кільцем головних ідеалів.
• Фактор-кільце кільця Дедекінда за будь-яким ненульовим ідеалом є кільцем головних ідеалів.
• Кільце Дедекінда є факторіальним кільцем тоді й лише тоді, коли воно є кільцем головних ідеалів.
• Нехай ${\displaystyle R}$ — кільце Дедекінда, ${\displaystyle I}$ — його ненульовий ідеал і ${\displaystyle a\in I}$ — довільний елемент ідеалу. Тоді існує такий елемент ${\displaystyle b\in I}$, що елементи ${\displaystyle a,b}$ породжують ${\displaystyle I}$. Зокрема кожен ідеал кільця Дедекінда породжується щонайбільше двома елементами.
• Дробові ідеали кілець Дедекінда утворюють групу. Фактор-група цієї групи по підгрупі головних дробових ідеалів називається групою класів ідеалів. У 1966 році Клеборн довів, що для кожної абелевої групи ${\displaystyle G}$ існує кільце Дедекінда група класів ідеалів якого ізоморфна ${\displaystyle G}$. Лідам-Грін показав, що таке кільце можна завжди отримати як ціле замикання кільця головних ідеалів у квадратичному розширенні його поля часток.

Модулі над кільцем Дедекінда

Для кілець Дедекінда існує структурна теорема скінченнопороджених модулів яка є близькою до такої теореми для кілець головних ідеалів.

Нехай ${\displaystyle R}$ — кільце Дедекінда і ${\displaystyle M}$ — скінченнопороджений модуль над ним. Нехай ${\displaystyle T\subset M}$ позначає підмодуль кручення, тобто підмодуль таких елементів ${\displaystyle m\in M}$, що ${\displaystyle rm=0}$ для деякого ${\displaystyle 0\neq r\in R}$. Тоді ${\displaystyle M=T\oplus P}$, де ${\displaystyle P}$ — модуль без кручень.

Тому для класифікації скінченнопороджених модулів достатньо класифікувати всі такі модулі кручень і модулі без кручень.

Для модуля кручень ${\displaystyle T\cong R/I_{1}\oplus \ldots \oplus R/I_{n}}$, де для ідеалів виконуються включення ${\displaystyle I_{i}\supseteq I_{i+1}}$. Цей розклад є єдиним з точністю до ізоморфізму.

Для модулів без кручень ${\displaystyle P\cong R^{n}\oplus I}$, де ${\displaystyle I}$ — ідеал кільця і ${\displaystyle R^{n}\oplus I\cong R^{m}\oplus J\iff n=m\;\land \;I\cong J.}$

Див. також

• Область Прюфера
• Диферентний ідеал

Посилання

• Теорія алгебричних чисел. Конспект лекцій КНУ [ 17 січня 2015 у Wayback Machine.]

Література

• Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — 2-е изд. — Москва, 1972.(рос.)
• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
• Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2 изд. — М. : Наука, 1973. — 400 с.(рос.)